Kopie von Momentane Änderungsrate
Sei die Funktion [math]f\left(x\right)=2\cdot x^2[/math].
1. Bestimme die mittlere Änderungsrate der Funktion in folgenden Intervallen [br][1;2][br][1;1,5][br][1;1,1][br][1;1,01][br]Gib die 4 Werte an!
Momentane Änderungsrate
2. Welchem Wert nähern sich die mittleren Änderungsraten für Intervalle [1; 1+h] mit kleiner werdender Schrittweite h an? Gib den numerischen Wert wieder!
3. Momentane Änderungsrate mit der h-Methode ermitteln
4. Die h-Methode im Einsatz
Mit dem CAS-Applet von Geogebra lässt sich die Sekantensteigungsfunktion msek(x,h) an einer beliebigen Stelle x sehr einfach als geschlossener Term ausdrücken in der Schrittweite h als Variable ausdrücken.[br]Beispiel: Wie lautet der Ausdruck für msek(2,h) für die Funktion f(x)=x² ?[br]Eingabe: ((2+h)² -2² )/h[br]Ausgabe: 4+h[br]Du kannst auch ohne Geogebra zum Ergebnis gelangen (siehe Video). Probiere beide Varianten aus
Vereinfachung des Differenzenquotienten durch Termumformung
5. h-Methode
Ermittle den Ausdruck msek(1,h) für die Funktion f(x)=2x² . Ermittle zuerst schriftlich und überprüfe dann mit der CAS-Funktion!
6. Momentane Änderungsrate und h-Methode
Ermittle die momentane Änderungsrate für die Funktion f(x)=2x² an der Stelle x=1. Bilde dazu den Grenzwert [math]lim_{h\rightarrow0}msek\left(1,h\right)=m[/math]
Momentane Änderungsraten im Kontext
Ein Turmspringer springt aus 5m ins Wasser. Der fallende Springer kann wie oben durch eine Funktion beschrieben werden H(t)=10-5t[sup]2[/sup] . (t in Sekunden, H in Metern)
Turmspringer
Ermittle rechnerisch die mittlere Fallgeschwindigkeit vom Anfang bis zum Moment des Eintauchens. Genauigkeit bis auf 1 Nachkommastelle
Mit welcher Momentangeschwindigkeit taucht der Springer ein?
7. h-Methode (Übung)
Ermittle mit der h-Methode für folgende Funktionen die momentanen Änderungsrate an den Stellen a=1 bzw. a=2[br][br]1) f(x)=x² +x [br]2) f(x)=x^3