Exponentialfunktionen und Wachstum
Diese Geogebra-Reihen dient einem Grundkurs des 11 Jahrgangs als Einstieg in das Thema. Zuerst soll das Vorwissen aus der 10. Klasse wiederholt und ausgearbeitet werden und anschließend weitere Erkenntnisse zu den Exponentialfunktionen und ihren Umkehrfunktionen zu entdecken.
Table of Contents
- Wiederholung Klasse 10
- Die Parameter der Exponentialfunktion
- Logarithmus - Eine Umkehrung des Potenzierens
- Natürliche Exponentialfunktion
- Lineare Kettenregel
- Natürlicher Logarithmus
- Exponentielles Wachstum
Die Parameter der Exponentialfunktion
Eine Exponentialfunktion ist eine Funktion der Form[math]f\left(x\right)=c\cdot a^x[/math][br][br][b]Aufgabe[/b][br]Wähle verschiedene Wert für den Faktor c und die Basis a (Wachstumsfaktor).[br]Beschreibe die Eigenschaften der Exponentialfunktion für a > 1 und a < 1 sowie c < 0 und c > 0.[br][br]
Logarithmus - Eine Umkehrung des Potenzierens
Eine [b]Umkehrung des Potenzierens[/b] ist das [b]Logarithmieren.[/b][br][br]Der Exponent in der Gleichung [math]a^b=c[/math] heißt Logarithmus von b zur Basis a ([math]a,b,c\in\mathbb{R}^+;a\ne1[/math]): [size=150][code][/code][/size][math]b=log_ac[/math][br] [br]Die Logarithmusfunktion [math]f\left(x\right)=log_bx[/math] ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion [math]f\left(x\right)=b^x[/math][br][br][b][size=150]Es gilt[/size]: [math]log_bx=b^x[/math][br][/b][br]Die Simulation veranschaulicht den Verlauf einer Exponentialfunktion und ihrer Umkehrung, der Logarithmusfunktion.
[b]Wie verläuft die Exponential-/Logarithmusfunktion?[/b][br][br][b]Aufgaben[/b][br][list=1][*]Stellt auf dem obigen Applet folgende Parameter ein: [math]a=2[/math] und [math]c=1[/math]. Beobachte die Graphen der Funktionen[/*][*]Verändere nun die Konstante c: [math]c=3[/math] , Welche Veränderung stellst du fest?[/*][*]Welche Auswirkungen haben die Basis [math]a[/math] und der Faktor [math]c[/math] auf den Verlauf der Funktionen? [math]a \in \mathbb{R}[/math]; [math]c \in \mathbb{R}[/math].[br][/*][/list]Überprüft eure Vermutung anhand der Simulation, verwendet dazu die Schieberegler.
Vervollständige den Satz
Exponentialfunktionen sind Funktionen, die sich dadurch auszeichnen, dass die Variable im …. steht.
Welche Funktion wächst schneller als jede Polynomfunktion (Potenzfunktion)?