Die erste Ableitungsfunktion - Steigungen

Nach oben oder nach unten?

Unten ist eine Animation, in der ein Funktionsgraph [math]f(x)[/math] und ein Punkt mit einer Tangente eingefügt ist. Der Punkt lässt sich über den Schieberegler am unteren Ende der Animation bewegen.[br][br]Außerdem kann man sich den Funktionsgraphen der Ableitungsfunktion [math]f'(x)[/math] anzeigen lassen. Die Tangentensteigungen und die Ableitungsfunktion [math]f'(x)[/math] sind phantastische Werkzeuge, um Eigenschaften der Funktion [math]f(x)[/math] zu analysieren:

Steigend oder fallend?

Wie kann man an der Ableitungsfunktion [math]f'(x)[/math] erkennen, wo der Funktionsgraph von [math]f(x)[/math] steigt und wo erfällt?

Wo [math]f(x)[/math] fällt, da hat [math]f'(x)[/math] negative Funktionswerte, d.h. der Funktionsgraph von [math]f'(x)[/math] verläuft unterhalb der Abszisse. Wo [math]f(x)[/math] steigt, da hat [math]f'(x)[/math] positive Funktionswerte, d.h. der Funktionsgraph von [math]f'(x)[/math] liegt oberhalb der Abszisse. Wo [math]f(x)[/math] fällt, hat [math]f(x)[/math] Nullstellen. Wo [math]f(x)[/math] fällt, da fällt auch [math]f'(x)[/math] Wo [math]f(x)[/math] steigt, da steigt auch [math]f'(x)[/math].

Extrempunkte

Ein [b]Extrempunkt[/b] (auch Extremum genannt. Die Mehrzahl heißt "Extrema") ist ein [b]Hoch-[/b] oder ein [b]Tiefpunkt[/b]. Im übertragenden Sinne also ein "Berggipfel" oder eine "Talsohle". Einen Hochpunkt nennt man auch "Maximum" (die Mehrzahl heißt "Maxima") und einen Tiefpunkt "Minimum" (die Mehrzahl heißt "Minima").[br][br]Der Funktionsgraph der oben stehenden Animation hat einigen Hoch- und Tiefpunkte.[br]Solche Extrempunkte kann man hervorragend an Hand der Tangentensteigung erkennen. Untersuche in der folgenden Animation den [color=#980000][b]Zusammenhang zwischen Extrempunkten und der Tangentensteigung[/b][/color] einer Funktion: [br]

Notwendige Bedingung für Extremstellen

[color=#980000][b][size=150]Mit der Ableitungsfunktion f'(x) berechnet man die Tangentensteigungen einer Funktion an einer Stelle x. D.h. f'(4) ist die Steigung einer Tangente von f(x) an der Stelle x=4. [/size][/b][/color][color=#ff0000][b][size=150] [br][br]Wenn an einer Stelle x = x[sub]E[/sub] eine Extremstelle ist, welche Bedingung bezüglich der Ableitungsfunktion ist dann für f '(x[sub]E[/sub]) immer erfüllt?[/size][/b][/color]

Die Ableitungsfunktion ist an der Stelle [math]x=x_E[/math][sub][/sub] gleich Null: [math]f'(x_E)=0[/math] Die Ableitungsfunktion ist an der Stelle [math]x=x_E[/math][sub][/sub] immer positiv: [math]f'(x_E)>0[/math] Die Ableitungsfunktion hat an der Stelle [math]x=x_E[/math][sub][/sub] negative Funktonswerte: [math]f'(x_E)<0[/math] Die Ableitungsfunktion hat an der Stelle [math]x=x_E[/math] einen Hochpunkt.

Vokabeln zur Analyse von Funktionen

[list][*]Wenn der Funktionsgraph in einem Intervall[b][i] nur steigt[/i][/b], dann sagt man dieser Funktionsgraph ist [color=#980000][b]streng monoton steigend[/b][/color]. An solchen Stellen sind die Funktionswerte der Ableitungsfunktion immer größer als Null, d.h. der Funktionsgraph der Ableitungsfunktion liegt oberhalb der Abszisse.[/*][br][*]Wenn ein Funktionswert in einem Intervall steigt oder an einigen Stellen die Steigung Null hat, dann ist er hier nur [color=#980000][b]monoton steigend[/b][/color], d.h. der Funktionsgraph der Ableitungsfunktion ist oberhalb oder auf der Abszisse.[br][/*][br][*]Wenn der Funktionsgraph in einem Intervall [i][b]nur fällt[/b][/i], dann sagt man dieser Funktionsgraph ist [color=#3c78d8][b]streng [color=#1e84cc]monoton fallend[/color][/b][/color][color=#1e84cc].[color=#000000] An solchen Stellen ist die Funktionswerte der Ableitungsfunktion immer kleiner als Null,[/color][/color] d.h. der Funktionsgraph der Ableitungsfunktion liegt unterhalb der Abszisse.[/*][br][*]Wenn ein Funktionswert in einem Intervall fällt oder an einigen Stellen die Steigung Null hat, dann ist er hier nur [color=#1e84cc][b]monoton fallend[/b][/color][color=#1e84cc][color=#000000],[/color][/color] d.h. der Funktionsgraph der Ableitungsfunktion liegt unterhalb oder auf der Abszisse.[/*][/list]

Üben der Ableitungsregeln

Die obenstehende Funktion ist schon sehr kompliziert. Ihr Funktionsterm lautet:[br][br][math]f(x)=\frac{1}{7}x^7-2x^6+\frac{47}{5}x^5-14x^4-12x^3+40x^2-10[/math][br][br]Wie lautet die Funktionsgleichung von [math]f'(x)[/math]?