La prima unità di misura che di solito impariamo a conoscere sono i gradi: un angolo giro misura 360°, un angolo piatto è la sua metà e quindi misura 180° e così via. I sottomultipli dei gradi sono i primi (servono 60' per avere 1°) ed i secondi (servono 60'' per avere 1'): si tratta di un sistema sessagesimale, cioè a base 60 (per ottenere il multiplo successivo servono 60 unità). Questa base sembra indicare che molto probabilmente tale sistema ha origine nella misurazione del tempo, e nell'utilizzo di forme circolari (e di angoli definiti al loro interno) per la misura dello stesso, attraverso strumenti quali meridiane ed orologi analogici.[br][br]Un sistema alternativo per la misura degli angoli è la misura in radianti, il cui concetto è illustrato nell'animazione qui sotto.

[b][color=#ff0000]LA DEFINIZIONE DI MISURA IN RADIANTI[/color][/b] è quindi [color=#ff0000]il rapporto tra la misura dell'arco sotteso ad un certo angolo e quella del raggio della circonferenza su cui è stato preso l'arco stesso[/color].

Come visto nell'animazione, dato che una circonferenza intera misura [math]\large{2\pi R}[/math] l'angolo giro misura [math]\large{2\pi}[/math], e da questo si possono dedurre proporzionalmente tutti i suoi sottomultipli. In particolare l'angolo piatto misura la metà, quindi [math]\large{\pi}[/math], il che ci permette di dedurre una semplice regola di conversione tra gradi e radianti: [b][color=#ff0000]ogni 180° si hanno [math]\large{\pi}[/math] radianti e viceversa[/color][/b]. Questo rende possibile appoggiarsi ad una proporzione: se devo convertire un angolo [math]\large{\alpha}[/math] in radianti ho:[br][br][math]\Large{180°:\textcolor{red}{\pi}=\alpha: \textcolor{red}{x}}[/math][br][br][così come 180° corrispondono a [math]\large{\textcolor{red}{\pi}}[/math] radianti, [math]\large{\alpha}[/math] gradi corrispondono ad [math]\large{\textcolor{red}{x}}[/math] radianti][br][br]Risolvendo la proporzione otteniamo[br][br][math]\Large{\textcolor{red}{x}=\frac{\alpha}{180°}\cdot \textcolor{red}{\pi}}[/math][br][divido l'angolo [math]\large{\alpha}[/math] per 180° per scoprire "quanti" 180° contiene, e per ognuno di essi considero un [math]\large{\pi}[/math].[br][br]Ad esempio [math]\textcolor{blue}{90°}[/math], essendo la metà di 180°, sarà[br][br][math]\Large{\textcolor{red}{x}=\frac{\textcolor{blue}{90°}}{180°}\cdot \textcolor{red}{\pi} = \frac{1}{2}\pi}[/math][br][br]La definizione di radianti che abbiamo dato porta inoltre a due conseguenze. La prima è un'altra definizione di radianti, e cioè che un angolo misura un radiante quando insiste su di un arco lungo quanto il raggio. Non riteniamo che sia molto utile, tuttavia, e la riportiamo, verificandone la coerenza nell'immagine qui sotto, solo perché potresti trovarla in certi testi.

La seconda considerazione è che [b][color=#ff0000]se si utilizza una circonferenza di raggio unitario, la misura dell'angolo coincide con la lunghezza dell'arco sotteso[/color][/b]. Questa osservazione è estremamente utile, anche se ce ne accorgeremo in futuro quando studieremo certi particolari esempi di limiti in analisi e vedremo che grazie ad essa la misura in radianti è la più comoda e "naturale" in assoluto per svolgere certi conti.