Si el punto pedal está a distancia x, y, z, de los vértices de [math]\text{Δ}ABC[/math], el triángulo pedal tiene lados[br][br][math]\frac{ax}{2R},\frac{by}{2R},\frac{cz}{2R}[/math].[br][br][b]Demostración: [/b]Observemos la siguiente figura
Antes de comenzar la demostración, hagamos algunas observaciones y definiciones.[br][br]Sea P un punto cualquiera dentro de [math]\text{Δ}ABC[/math] y consideremos las perpendiculares [math]PA_1,PB_1,PC_1[/math] en los lados [math]BC,CA,AB[/math]. Estas perpendiculares son los lados de [math]\text{Δ}A_1B_1C_1[/math], al cual lo llamamos el [b]triángulo pedal [/b]de [math]\text{Δ}ABC[/math] para el [b]punto pedal[/b] [math]P[/math]. P debe ser un punto dentro del triángulo, pero de no serlo, no puede estar en la circunferencia del circuncírculo de [math]\text{Δ}ABC[/math]. Ahora, demostremos el teorema.[br][br]Los ángulos rectos en [math]B_1[/math] y [math]C_1[/math] nos indican que estos puntos yacen en el círculo con diámetro AP; en otras palabras, P yace en el circuncírculo de [math]\text{Δ}ABC_1[/math]. Aplicando la Ley de Senos a este triángulo y a [math]\text{Δ}ABC[/math] obtenemos:[br][br][math]\frac{B_1C_1}{senA}=AP[/math], [math]\frac{\alpha}{senA}=2R[/math] entonces, [math]C_1A_1=b\frac{BP}{2R}[/math] y [math]A_1B_1=c\frac{CP}{2R}[/math]
El tercer triángulo pedal es semejante al triángulo original.[br][br][b]Demostración[/b]: Observemos la siguiente figura
Al unir P con A, notamos que como P yace en el circuncírculo de todos los triángulos [math]AB_1C_1,A_2B_1C_1,A_3B_3C_2,A_2B_2C_1[/math] y [math]A_3B_2C_3[/math] tenemos:[br][br][math]\angle C_1AP=\angle C_1B_1P=\angle A_2B_1P=\angle A_2C_2P=\angle B_3C_2P=\angle B_3A_3P[/math] y[br][math]\angle PAB_1=\angle PC_1B_1=\angle PC_1A_2=\angle PB_2A_2=\angle PB_2C_3=\angle PA_3C_3[/math][br][br]Las dos partes en la que AP divide a [math]\angle A[/math] tienen cosas iguales [math]B_1[/math] y [math]C_1[/math] y de nuevo en [math]C_2[/math] y [math]B_2[/math] y finalmente en [math]A_3[/math]. Similarmente, tienen ángulos iguales en [math]B[/math] y [math]B_3[/math].