[size=85]Adott a síkban két pont ([i]A,B) [/i]és egy ([i]e[/i]) egyenes. Adjuk meg az [i]ABC [/i]háromszögek[br][/size][size=85]d) koré írt körei középpontjainak[/size][br][size=85]mértani helyét, ha a [i]C[/i] végigfut az [i]e[/i] egyenesen![br][br][/size][size=85]A háromszög [url=https://www.geogebra.org/m/tajmd2CS]köré írt körének középpontja[/url] az oldalfelező merőlegesek metszéspontja. Ebből következően a keresett mértani hely az [i]AB[/i] szakaszfelező merőlegesének része. Hogy milyen része? Ez vizsgálható meg az alábbi GeoGebra fájllal[/size]

[size=85]Úgy tűnik, hogy [br][list][*][size=85][size=85]ha [i]e[/i] párhuzamos az [i]AB[/i]-vel, akkor a mértani hely egy félegyenes;[/size][/size][/*][*][size=85]ha az [i]e[/i] az [i]AB [/i]szakaszon kívül metszi az [i]AB[/i] egyenest, akkor a mértani hely két félegyenes;[/size][/*][*][size=85]egyébként egyenes.[br][br][/size][/*][/list][/size][size=85]Legyen [math]e:y=mx+b[/math], [math]A\left(-1;0\right),B\left(1;0\right)[/math][/size]!

[size=85]Ekkor a köré írt kör középpontjának második koordinátája a [i]C[/i] első koordinátájának másodfokú függvénye, aminek értékkészlete a [math]\rfloor-\infty;\frac{b^2-1}{2b}\rceil[/math][/size] [size=85]vagy [math]\lfloor\frac{b^2-1}{2b};\infty\lceil[/math][/size] [size=85]intervallum, így a keresett mértani hely egy félegyenes.[/size]

[size=85]A következő GeoGebra fájl alkalmas arra, hogy a fent kapott függvényt vizsgáljuk,[/size]

[size=85]Ha a helyi szélsőérték helyeket keressük, akkor deriválni kell [math]c_1[/math][/size] [size=85]szerint a függvényt.[/size]

[size=85]Helyi szélsőérték csak akkor létezik, ha a négyzetgyök jel alatti kifejezés nemnegatív.[/size]

[size=85]Innen azt kaptuk, két különböző lehetséges lokális szélsőérték akkor lehet, ha [math]|\lambda|>0[/math][/size], [size=85]azaz [math]|\frac{b}{m}|>1[/math]. (Az [i]e [/i]az [i]AB [/i]szakaszon kívül metszi az [i]AB [/i]egyenest.) [/size][size=85]Ez esetben a lehetséges szélsőértékhelyeket a második deriváltba helyettesítve a kapott értékek szorzata:[/size]

[size=85]Ez negatív, így az egyik helyi szélsőérték minimum, a másik maximum.[/size]