Mit Hilfe dieses dynamischen Arbeitsblatts kannst du dich davon überzeugen, dass man jede beliebige Exponentialfunktion der Form[math] f(x)=b\cdot a^x[/math] mit Hilfe einer vorgegebenen festen Basis darstellen kann.[br][br][b]Bemerkung:[/b][br]Das ist deshalb von Bedeutung, weil man aufgrund dieser Tatsache in der gesamten Mathematik eigentlich nur noch mit Exponentialfunktionen zu einer ganz bestimmten Basis arbeitet. Diese Basis ist die Eulersche Zahl e = 2,718...[br]Warum man gerade eine so seltsame Zahl als Standard-Basis nimmt, wirst du demnächst erfahren, wenn es um die Ableitung von Exponentialfunktionen geht.

Im Grafikfenster oben siehst du zwei Exponentialfunktionen. Bei der schwarzen kannst du die Basis [math]a_1[/math] und Streckfaktor b verändern. Bei der roten gibt es die Parameter p und q, die im Exponenten stehen, sowie die Basis [math]a_2[/math].[br][br][list=1][*]Erzeuge mit Hilfe der schwarzen Schieberegler eine Exponentialfunktion deiner Wahl.[/*][*]Wähle für die rote Funktion eine beliebige Basis [math]a_2[/math]. [/*][*]Ziel ist es nun, zu zeigen, dass man p und q so einstellen kann, dass sich der Graph der roten Funktion mit dem der schwarzen deckt. Versuche das durch "spielen" an den Schiebereglern für p und q.[/*][*]Versuche auch, ob du es hinbekommst, wenn du  [math]a_1>1[/math] und [math]a_2<1[/math] wählst.[/*][/list][br][b]Fazit:[/b][br]Mit einigen Versuchen wirst du dich davon überzeugt haben, dass man tatsächlich immer eine Lösung für p und q findet. Wenn es mal nicht geht, scheitert es höchstens daran, dass die Werte nicht genau genug wählbar sind oder außerhalb des Bereichs der Schieberegler liegen.[br]Was wir hier nicht berücksichtigt haben, ist die vertikale Verschiebung. Doch die könnte man ohne Probleme noch durch anfügen von " + d " an beide Funktionsterme einbauen.[br][br][b]Wir halten also fest:[br]Man kann mit einer beliebig vorgegebenen Basis jede beliebige Exponentialfunktion darstellen.[/b]