Sea [math]\alpha:\left(a,b\right)\longrightarrow\mathbb{R}^2[/math] una curva regular. Definimos un sistema de referencia para cada punto de la curva apartir de dos vectores ortonormales:[br][br] [math]T=\frac{\alpha'\left(t\right)}{\parallel\alpha'\left(t\right)\parallel}[/math] , [math]N=\frac{T'}{\parallel T'\parallel}[/math][br][br][br][br][br]Ejemplo: Sea [math]\alpha\left(t\right)=\left(3cos\left(t\right),3sin\left(t\right)\right)[/math] en el intervalo [math]\left(0,2\pi\right)[/math]. Su sistema de referencia para cada uno de sus puntos está dado por:[br][br][math]T=\frac{1}{\sqrt{\left(-3sin\left(t\right)\right)^2+\left(3cos\left(t\right)\right)^2}}\cdot\left(-3sin\left(t\right),3cos\left(t\right)\right)=\frac{1}{\sqrt{9sin^2\left(t\right)+9cos^2\left(t\right)}}\cdot\left(-3sin\left(t\right),3cos\left(t\right)\right)=\frac{1}{3}\cdot\left(-3sin\left(t\right),3cos\left(t\right)\right)=\left(-sin\left(t\right),cos\left(t\right)\right)[/math][br][br][math]N=\frac{1}{\sqrt{\left(-cos\left(t\right)\right)^2+\left(-sin\left(t\right)\right)^2}}\cdot\left(-cos\left(t\right),-sin\left(t\right)\right)=\frac{1}{\sqrt{cos^2\left(t\right)+sin^2\left(t\right)}}\cdot\left(-cos\left(t\right),-sin\left(t\right)\right)=\left(-cos\left(t\right),sin\left(t\right)\right)[/math]

Podemos extender esta idea a [math]\mathbb{R}^3[/math], conservando estos dos vectores ortonormales y agregando uno más que sea ortogonal a estos dos, el cual está dado por:[br][br] [math]B=TXN[/math][br][br][math]B[/math] es llamado vector binormal. Al conjunto de estos tres vectores [math]\left\{T,N,B\right\}[/math] se les conoce como el triedro de Frenet-Serret.[br][br][br]Ejemplo: Sea [math]\alpha\left(t\right)=\left(cos\left(t\right),sin\left(t\right),t\right)[/math] en el intervalo [math]\left(0,2\pi\right)[/math]. Su triedro de Frenet-Serret está dado por:[br][br][math]T=\frac{1}{\parallel\alpha'\left(t\right)\parallel}\cdot\left(-sin\left(t\right),cos\left(t\right),1\right)=\frac{1}{\sqrt{\left(-sin\left(t\right)\right)^2+\left(cos\left(t\right)\right)^2\left(1\right)^2}}\cdot\left(-sin\left(t\right),cos\left(t\right),1\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\left(-sin\left(t\right),cos\left(t\right),1\right)=\left(\frac{-sin\left(t\right)}{\sqrt{2}},\frac{cos\left(t\right)}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)[/math][br][br][br][math]N=\frac{1}{\parallel T'\parallel}\cdot T'=\frac{1}{\sqrt{\left(\frac{-cos\left(t\right)}{\sqrt{2}}\right)^2+\left(\frac{-sin\left(t\right)}{\sqrt{2}}\right)^2+\left(0\right)^2}}\cdot\left(\frac{-cos\left(t\right)}{\sqrt{2}},\frac{-sin\left(t\right)}{\sqrt{2}},0\right)=\frac{1}{1}\cdot\left(\frac{-cos\left(t\right)}{\sqrt{2}},\frac{-sin\left(t\right)}{\sqrt{2}},0\right)=\left(\frac{-cos\left(t\right)}{\sqrt{2}},\frac{-sin\left(t\right)}{\sqrt{2}},0\right)[/math][br][br][br][math]B=TXN=\left(\frac{-sin\left(t\right)}{\sqrt{2}},\frac{cos\left(t\right)}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)X\left(\frac{-cos\left(t\right)}{\sqrt{2}},\frac{-sin\left(t\right)}{\sqrt{2}},0\right)=\left(\frac{sin\left(t\right)}{\sqrt{2}},\frac{-cos\left(t\right)}{\sqrt{2}},\frac{1}{2}\right)[/math]