[b]Contenido[br][br][/b]- Alturas y ortocentro[br][br]- Mediatrices y circuncentro[br][br]- Medianas y baricentro[br][br]- Bisectrices e incentro[br][br]- Recta de Euler[br][br][br][b]Rectas y puntos notables del triángulo[/b][br][br]Las rectas notables del triángulo son [b]altura, mediatriz, mediana [/b]y[b] bisectriz[/b].[br][br]Para cada una de las rectas notables se dispone de un applet y un applet adicional que permite analizar en un mismo triángulo, dos o más de las rectas y puntos notables y lo que sucede con el triángulo isósceles y con el triángulo equilátero.[br][b][br][br]Alturas de un triángulo[/b][br][br][b]Altura [/b]de un triángulo es el [b]segmento de recta perpendicular, trazado desde un vértice al lado opuesto o a su prolongación[/b].

La altura sobre el lado [b]a[/b] es el segmento AE[br][br]La altura sobre el lado [b]b[/b] es el segmento BF[br][br]La altura sobre el lado [b]c[/b] es el segmento CD[br][br]Se puede observar que dependiendo de la clase triángulo, la altura sobre un lado puede ser interior al triángulo, puede ser exterior al triángulo o puede coincidir con uno de los lados. Cuando es exterior, la altura va desde el vértice hasta la prolongación del lado opuesto.[br][br]Las tres alturas de todo triángulo siempre se intersecan en un punto llamado [b]ortocentro[/b] (punto O). El nombre deriva del término griego [i]orto = recto[/i], en referencia al ángulo formado entre las bases y las alturas.[br][br]La ubicación relativa del ortocentro con relación al triángulo depende del tipo de triángulo según sus ángulos:[br][br]- Si el triángulo es acutángulo, el ortocentro se ubica dentro del triángulo. Las tres alturas son interiores.[br][br]- Si el triángulo es obtusángulo, el ortocentro se ubica por fuera del triángulo. En este caso es necesario prolongar las tres alturas.[br][br]- Si el triángulo es rectángulo, el ortocentro se ubica en el vértice del ángulo recto. En este caso, [b]dos[/b] alturas coinciden con los catetos (los lados que forman el ángulo recto).[br][br][br][b]Mediatrices [b]de un triángulo[/b][/b][br][br][b]Mediatriz[/b] de un triángulo es la [b]perpendicular trazada por el punto medio de cada lado del triángulo[/b].

Los puntos H, I, J son los puntos medios de los lados [b]b, a [/b]y[b] c[/b], respectivamente.[br][br]La mediatriz del lado [b]a[/b] es el segmento IL; la del lado [b]b[/b] es HK y la del lado [b]c[/b] es JM.[br][br]Las tres mediatrices de todo triángulo se intersecan en un punto llamado [b]Circuncentro[/b] (punto [b]C[/b][b][sub]c[/sub][/b]). Este punto [b]C[/b][b][sub]c[/sub][/b] es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo, es decir, que pasa por los tres vértices. Los segmentos AC[sub]c[/sub], BC[sub]c[/sub] y CC[sub]c[/sub] son radios de la circunferencia circunscrita.[br][br]La ubicación relativa del [b]circuncentro[/b] depende del tipo de triángulo según sus ángulos:[br][br]- Si el triángulo es acutángulo, el circuncentro es interior al triángulo. [br][br]- Si el triángulo es obtusángulo, el circuncentro es exterior al triángulo y se obtiene por la prolongación de las mediatrices.[br][br]- Si el triángulo es rectángulo, el circuncentro se ubica en el punto medio de la hipotenusa. El radio de la circunferencia circunscrita equivale a la mitad de la medida de la hipotenusa.[br][br][i]La propiedad de que el circuncentro de un triángulo rectángulo se ubica en el punto medio de la hipotenusa permite dibujar un triángulo rectángulo a partir de la hipotenusa. Este proceso es una de las construcciones de la sección siguiente.[br][br][br][/i][b]Medianas [b]de un triángulo[/b][/b][br][br][b]Mediana [/b]de un triángulo es [b]el segmento de recta que une el punto medio de cada lado con el vértice opuesto[/b]. 

Los puntos F, D y E son los puntos medios de los lados [b]a[/b], [b]b[/b] y [b]c[/b] respectivamente.[br][br]La mediana sobre el lado [b]a[/b] es el segmento AF; la del lado [b]b[/b] es BD y la del lado [b]c[/b] es CE.[br][br]Las tres medianas de todo triángulo se intersecan en un punto llamado [b]Baricentro[/b] (punto [b]G[/b]) y siempre es interior al triángulo. [br][br]El baricentro también se llama centroide o centro de gravedad del triángulo. [br][br]Otras características de las medianas:[br][br]- Cada mediana divide al triángulo en dos triángulos de igual área dado tienen igual base (la mediana) y las alturas son congruentes:[br][br] Con la mediana AF se obtienen los triángulos AFC y AFB. [br] [br] Con la mediana BD se obtienen los triángulos BDA y BDC.[br][br] Con la mediana CE se obtienen los triángulos CEA y CEB. [br][br]- El baricentro divide cada mediana en dos segmentos con una relación 2:1, es decir, la longitud de un segmento es el doble de la longitud del otro: AG y GF; BG y GD; CG y GE.[br][br][br][b]Bisectrices [b]de un triángulo[/b][/b]  [br][br][b]Bisectriz [/b]de un ángulo interior de un triángulo es la [b]recta que pasa por el vértice del ángulo y divide al ángulo en dos ángulos congruentes[/b].

Las tres bisectrices de todo triángulo se intersecan en un punto llamado [b]Incetro[/b] (punto [b]I[sub]c[/sub][/b]). Este punto I[sub]c[/sub] es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo, es decir, la circunferencia más grande contenida en el triángulo y que es tangente a cada uno de los lados. [br][br]El radio de la circunferencia inscrita es cada uno de los segmentos entre el incentro I[sub]c [/sub]y los puntos de tangencia.[br][br]El incentro, al igual que el baricentro, siempre es interior al triángulo.[br][br][br][b]Casos especiales: Rectas y puntos notables en triángulos isósceles y el triángulos equiláteros[/b][br][br]En todo triángulo se pueden trazar 12 rectas notables: 3 alturas, 3 mediatrices, 3 medianas y 3 bisectrices y por lo tanto, se obtienen 4 puntos notables.[br][br]En el triángulo del applet que sigue se pueden mostrar todas o algunas de las rectas y puntos.

Se pueden obtener tres conclusiones de este análisis:[br][br]- En los triángulos isósceles, la altura sobre el lado no congruente coincide con la mediatriz, con la mediana y con la bisectriz.[br][br]- En los triángulos equiláteros, cada recta notable cumple la función de ser altura, mediatriz, mediana y bisectriz. Además de esto, los cuatro puntos de intersección de ellas, coinciden en uno solo, siendo a la vez ortocentro, circuncentro, baricentro e incentro.[br][br]- En todo triángulo que no sea equilátero, los puntos ortocentro (de alturas), circuncentro (de mediatrices) y baricentro (de medianas) están situados sobre una recta llamada [b]recta de EULER[/b] en honor de Leonhard Euler, matemático y físico suizo (1707 – 1783), quien demostró esta propiedad en 1765.[br][br]Si el triángulo es isósceles el incentro (de bisectrices) también queda alineado en la recta de Euler.