Atividade sobre Círculos - G.A.

Considere as retas:

[math]l: \begin{cases}x=1+t\\ y=3t\end{cases}, \quad m:2x+y-2=0[/math]

Ache as equações dos círculos [math]\Gamma_1[/math] e [math]\Gamma_2[/math] de raio 3, com centro [math]C[/math] sobre a reta [math]l[/math] e cujos[br]pontos de interseção [math]P[/math] e [math]Q[/math] com a reta [math]m[/math] distam 4 um do outro.

Roteiro:

Passo 1: Faça um esboço com apenas um dos círculos, as retas [math]l[/math] e [math]m[/math], o centro [math]C[/math], os pontos de interseção [math]P[/math] e [math]Q[/math]. [br][br]Passo 2: Trace o raio do círculo que é perpendicular à reta [math]m[/math]. Chame de [math]L[/math] o ponto de interseção entre este raio e [math]m[/math].[br][br]Passo 3: [math]CLP[/math] é um triângulo retângulo. Calcule o comprimento de [math]\overline{CL}[/math]. Lembrando que o centro [math]C[/math] pertence à reta [math]l[/math], escreva as coordenadas [math](x, y)[/math] de [math]C[/math] em função do parâmetro [math]t[/math].[br][br]Passo 4: Descubra os valores de [math]t[/math] para os quais a distância entre [math]C[/math] e a reta [math]m[/math] seja igual ao comprimento de [math]\overline{CL}[/math].[br][br]Passo 5: Escreva as equações dos círculos.[br][br]

Passo 1

[br]Desenhe as retas no Applet abaixo. Use o campo de entrada para escrever as equações das retas e depois clique em "Conferir". [br][br][b]Atenção digite as retas no seguinte formado => m: ay+bx+c=0 e l: ay+bx+c=0 [O applet buga se renomear a reta depois de criada.][/b][br][br]Caso as retas estejam corretas, use a ferramenta de ponto e marque um ponto [math]C[/math] sobre a reta [math]l[/math] e com a ferramenta Circunferência (Centro,Raio) desenhe um círculo de raio 3 que intercepte a reta [math]m[/math] em dois pontos distintos. Esses pontos serão [math]P[/math] e [math]Q[/math]. Você pode mover o ponto [math]C[/math] sob a reta [math]l[/math] o quanto quiser.

Passo 2:

[br]O raio foi desenhado, assim como os pontos [math]P[/math],[math]Q[/math] e [math]L[/math]. Mova o centro do círculo, ponto [math]C[/math], livremente e veja como os pontos [math]P[/math] e [math]Q[/math] se relacionam.

Passo 3

[br]O desenho abaixo ilustra os triângulos possíveis formados.

Quais as coordenadas de C em função de t?

O lado [math]\overline{CL}[/math] pode ser encontrado com a fórmula [math]d(P,r) = \frac{|\alpha x_p+ \beta y_p + \gamma|}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}} [/math] , onde [math]P=(x_p, y_p) [/math] e [math]r:\alpha x+ \beta y + \gamma [/math]. Substituindo as coordenadas de [math]C[/math] e a reta [math]m[/math] qual a distância entre os pontos [math]C[/math] e [math]L[/math]? [br]

[math]d(C,m) = \frac{|2(1+t)+1(3t)-2|}{\sqrt{2^2+1^2}}[/math] [math]d(C,m) = \frac{|2(3t)+1(1+t)-2|}{\sqrt{2^2+1^2}}[/math]

Passo 4:

[br]O triângulo [math]\text{CLP }[/math] é um triângulo retângulo, portanto podemos usar a fórmula de Pitágoras [math] \overline{CP}^2=\overline{LP}^2+\overline{CL}^2[/math]. Sabemos que a distância de [math]\overline{PQ}[/math] é igual a 4 unidades, portanto [math]\overline{PL}[/math] é igual à metade disso. [br][br]Substituindo os valores na fórmula:[br][br][math] 3^2 = 2^2 + \left(\frac{|2(1+t)+1(3t)-2|}{\sqrt{2^2+1^2}}\right)^2[/math]

Quais o valores de t que fazem a equação acima verdade?

t=

Quais as possíveis coordenadas de C?

[math]C=(-3,0)[/math] [math]C=(2,3)[/math] [math]C=(0,-3)[/math] [math]C=(3,2)[/math]

Passo 5:

[br]Agora que já sabemos os centros e o valor do raio do círculo, é com vocês. [br][br]Quais as equações de [math]\Gamma_1[/math] e [math]\Gamma_2[/math]?