Realizar esta actividad con GeoGebra resulta muy sencillo. Hay solo una pequeña variación en el redondeo a las diezmilésimas.
Estadística y Probabilidad. Actividades para el aula.
Libro dedicado a actividades de GeoGebra para Estadística y Probabilidad, para alumnos de ESO y Bachillerato.
Table of Contents
- 1.1. Estadística Unidimensional.
- Los grupos sanguíneos.
- 1.2. Estadística Bidimensional.
- 1.2.1. Las ejecuciones y lanzamientos inmobiliarias. Stop desahucios.
- 1.2.1.B. Las ejecuciones y lanzamientos inmobiliarias. Resolución.
- La despoblación en Castilla La Mancha.
- 2. Probabilidad
- Carrera de Coches. Probabilidad para Primaria.
- La Ley de los Grandes Números.
- Experimento aleatorio, con urnas y bolas numeradas.
- Lanzamiento de dos dados. Probabilidades.
- Lotería Primitiva.
- El Problema de Monty Hall
- Tabla de Contingencia.
- 3. Distribuciones de Probabilidad.
- Relación entre la Distribución Binomial y la Normal.
- 4. Inferencia Estadística
- ¿Cómo se hallan los Valores Críticos asociados a un Nivel de Confianza?
- Intervalos característicos en una Distribución Normal, correspondientes a una probabilidad.
- 4.1. Intervalo de Confianza para las medias muestrales.
- 4.2. Tamaño de las muestras en problemas de distribuciones de medias muestrales.
- 3 problemas con el Error Admisible, utilizando intervalos de confianza, en la distribución de las medias muestrales.
- Intervalos para estimar la proporción, con un determinado valor de confianza.
- Inferencia Estadística: Estimación de una proporción. Problema práctico.
- 2 problemas de errores con intervalos en la distribución de las proporciones muestrales.
- 5. Contrastes de Hipótesis.
- Contraste de Hipótesis para la media.
- Contraste de Hipótesis para la proporción.
- 6. Otras aplicaciones de la probabilidad.
- El Método Monte Carlo. Estimación del Valor de Pi.
- Cálculo de una integral definida, utilizando el Método Monte Carlo.
- La Aguja de Buffon-Laplace.
- La Aguja de Buffon-Laplace, con cuadrículas.
- Ley de Benford aplicada a los habitantes de los pueblos de Castilla La Mancha.
Los grupos sanguíneos.
1. Introducción.
Los grupos sanguíneos es la clasificación que se hace para agrupar la sangre humana en función de las características que tienen la superficie de los glóbulos rojos y el suero sanguíneo. Esto es muy importante por que afecta a las transfusiones sanguíneas, ya que los grupos sanguíneos no son compatibles todos entre sí.[br][br]El factor Rh también es muy importante en los embarazos. Si no se sabe el grupo sanguíneo y el rh, la madre puede perder al bebé.[br][br]Las clasificaciones más importantes en los humanos son los antígenos o sistema ABO y el factor Rh.[br]Según estas clasificaciones tendríamos los grupos siguientes:[br][br][list][*]O-, O+[/*][*]A-, A+[/*][*]B-, B+[/*][*]AB-, AB+[br][/*][/list][br] Aunque hay más grupos sanguíneos, nos quedaremos con esta clasificación para realizar la actividad.
2. Actividad.
En un hospital desean organizar su banco de sangre ajustándose de forma matemática a las[br]características de la población que les rodea. Para ello, realizan un estudio estadístico de la población para conocer la probabilidad de que un individuo tenga un tipo sanguíneo u otro.[br][br]Para ello acuden a un instituto de secundaria de la localidad y realizan encuestas a los alumnos para[br]conocer el grupo sanguíneo al que pertenecen. [br][br]La actividad consiste pues en lo siguiente:[br][br][list=1][*]Realiza una tabla estadística con los datos del instituto, donde aparezcan los diferentes grupos sanguíneos, la frecuencia absoluta de estos (el número de alumnos que pertenece a cada grupo) y la frecuencia relativa (frecuencia absoluta entre el número de alumnos total).[/*][*]La frecuencia relativa nos indica la probabilidad de que una persona de ese instituto tenga ese grupo sanguíneo en particular. Pero ¿se puede extender este resultado a toda la población?[/*][*]Comparalos datos obtenidos con los nacionales. ¿Se parecen o son diferentes?[/*][/list]
3. Resolución.
Antes de todo, realizar esta actividad en un instituto no es sencillo, por que muchos alumnos no conocen su grupo sanguíneo. Muchos de ellos te dicen el grupo sanguíneo mal por que lo conocen de oidas. [br]Esto se puede saber mejor si se les informa de la importancia de conocer su grupo sanguíneo y se les da tiempo para que acudan a las farmacias, para hacerse una sencilla prueba que en mmuchos casos es gratuita o cuando se hagan un análisis de sangre por motivos médicos, pregunten por su grupo sanguíneo. [br]Así que despues de un tiempo prudencial los resultados salen más acordes a los reales.[br][br]En mi instituto recogimos la información que pudimos para hacer las tablas con los datos. Se obtuvo la siguiente información:[br][br][table][tr][td]Grupos Sanguíneos[/td][td]fi(Instituto)[/td][td]hi(Instituto)(%)[/td][td]Datos de España (%)[/td][/tr][tr][td]O+[/td][td]75[/td][td]32[/td][td]36[/td][/tr][tr][td]O-[/td][td]34[/td][td]15[/td][td]9[/td][/tr][tr][td]A+[/td][td]78[/td][td]33[/td][td]35[/td][/tr][tr][td]A-[/td][td]13[/td][td]6[/td][td]7[/td][/tr][tr][td]B+[/td][td]12[/td][td]5[/td][td]7[/td][/tr][tr][td]B-[/td][td]8[/td][td]3[/td][td]2[/td][/tr][tr][td]AB+[/td][td]10[/td][td]4[/td][td]3[/td][/tr][tr][td]AB-[/td][td]4[/td][td]2[/td][td]1[/td][/tr][tr][td]Totales[/td][td]234[/td][td][/td][td][/td][/tr][/table][br]Como se puede observar los datos no concuerdan al 100 % con los datos nacionales. Es normal por que solo se pudo recoger la información de 234 chavales. Con más alumnos los datos se habrían parecido mucho más a los reales de España. Lo que si se ve es que los grupos predominantes son el O+ y el A+, tal como ocurre en el resto de España. También se observa que los demás grupos son minoritarios, sobresaliendo un poco el O- como ocurre en el resto de España.[br][br]La información se recoge en la siguiente actividad de GeoGebra.
4. Conclusión.
Si un hospital quiere tener su banco de almacenamiento de sangre equilibrado, debería intentar tener los mismos porcentajes que los datos nacionales. [br]Ahora bien, dado que el grupo O- es donante universal y puesto que los que tienen este grupo solo pueden recibir de donantes que sean O- también, sería interesante que de este grupo sanguíneo tuvieran en mayor cantidad de lo que indica la estadística.[br]Para lograr ésto se debe potenciar que la gente conozca su grupo sanguíneo y mediante campañas publicitarias de información y concienciación, intentar que las donaciones de O- aumenten, ya que al ser donantes universales su sangre puede ayudar a más pacientes, que el resto de grupos.
1.2.1. Las ejecuciones y lanzamientos inmobiliarias. Stop desahucios.
Desde el año 2007, España ha vivido una crisis económica muy fuerte. Durante estos años millones de personas han perdido sus empleos o tienen trabajos con contratos muy precarios cuyo sueldo apenas les llega para cubrir sus necesidades básicas. Esto llevó a que muchas familias no pudieran pagar el alquiler o la hipoteca de sus casas. [br]En estos años muchos bancos y prestamistas acudieron a los tribunales para pedir las ejecuciones hipotecarias, que es como se llama a pedir el desahucio de aquellos inquilinos que no podían pagar sus deudas. Miles de familias perdieron sus hogares.[br]La presión social y de muchos colectivos, provocó una mayor concienciación sobre el problema y animó a que los gobiernos en España cambiaran la regularización sobre este tema. [br]Queremos estudiar mediante la estadística si se ha producido un cambio en la sociedad respecto a este tema. También queremos verlo comparándolo con el crecimiento del Producto Interior Bruto de España (PIB) y comprobar si este factor influye en el problema. [br][br]La actividad consiste en:[br][br]1.- Investiga en internet que es una ejecución inmobiliaria y un lanzamiento inmobiliario.[br]2.- Encuentra utilizando la información que se encuentra en internet, desde 1994 los datos siguientes:[br] 2.1.- Número de lanzamientos hipotecarios desde el año 1994 hasta el 2017.[br] 2.2.- Crecimiento del PIB en España desde 1914 hasta el 2017.[br]3.- Introduce estos valores en la Hoja de Cálculo de GeoGebra y crea los gráficos siguientes:[br] 3.1.- Gráfico donde la X es desde el año 1994 hasta el 2017 y la variable Y son los Lanzamientos hipotecarios.[br] 3.2.- Gráfico donde la X es desde el año 1994 hasta el 2017 y la variable Y es el crecimiento del PIB en España.[br]4.- Compara esta dos gráficas y estudia su comportamiento, destacando cuando los valores crecen en una de las gráficas, lo que sucede en la otra. Esto lo haremos creando una gráfica de estadística bidimensional con ayuda de GeoGebra, donde la X será el crecimiento del PIB y la Y los lanzamientos hipotecarios que sucedieron en ese periodo. Explica que comportamiento tienen las dos variables y los motivos que piensas que influyen para que sea de esa forma la gráfica. Ajusta mediante regresión lineal los datos obtenidos. Prueba otros tipos de regresiones para ver si alguna es mejor que la lineal.[br]5.- En los años más recientes ha habido un pequeño cambio en la tendencia de los lanzamientos hipotecarios. Además del crecimiento del PIB, puede que haya influido un cambio en las leyes españolas. Averigua cuando se produjo este cambio regulatorio y en que consiste el cambio en las leyes españolas.[br]
2. Resolución.
Al ser un estudio muy amplio, se ha creado una nueva actividad, con la resolución. Lo puedes encontrar en el siguiente [url=https://www.geogebra.org/m/m5frffet]enlace[/url].
Carrera de Coches. Probabilidad para Primaria.
Actividad de probabilidad pensada para alumnos desde 10 a 12 años. [br][br]Consiste en que GeoGebra lanza un dado numerado del 1 al 6 y el coche que lleva ese número se mueve 1 unidad.[br][br]Gana aquel coche que traspase el primero la meta.
Carrera de Coches. Probabilidad para Primaria.
Elige un coche. Realiza 20 carreras y apunta tanto el número del coche que gana en cada carrera, como el número de tiradas que se ha necesitado para tener un ganador.[br][br]A) ¿Cuál ha sido tu coche favorito?[br]B) ¿Cuántas veces ha ganado?[br]C) ¿Qué coche es el que más veces ha ganado?[br]D) ¿Todos los coches han ganado alguna carrera?[br]E) Después de lo observado, si hicieras una carrera 21 ¿qué coche sería tu favorito?[br]F) Haz una lista con el número de tiradas que se ha necesitado en cada carrera para tener un ganador. ¿Cuántos lanzamientos del dado necesitamos como mínimo hacer para tener un ganador?¿Cuántos como máximo?¿Tiene estos resultados algún motivo matemático?[br]G) Los sucesos de un experimento aleatorio se llaman equiprobables cuando tienen las mismas posibilidades de suceder. ¿Dirías que en las carreras todos los coches tienen las mismas posibilidades de ganar? ¿Tiene alguno más posibilidades que otro de ganar?¿Crees que estos sucesos son equiprobables?[br]H) Si hicieras mil carreras, ¿cuántas veces crees que ganaría cada coche?
Relación entre la Distribución Binomial y la Normal.
1. Introducción.
Las distribuciones binomial y normal están muy relacionadas entre sí. En ocasiones realizar algunas actividades con la distribución binomial resulta muy difícil o laborioso. En esos casos la distribución normal con unos sencillos ajustes, puede resultarnos muy útil para los cálculos.
2. Actividad.
Una empresa de móviles sabe que está fabricando aproximadamente el 12 % de sus aparatos con algún defecto.[br]Una empresa distribuidora afirma que ha recibido 18 móviles en mal estado en una compra que ha hecho de 100. Contesta a las siguientes preuntas:[br][list=1][*]Si llamamos x al número de móviles defectuosos que envía la fábrica ¿qué distribución de probabilidad se ajusta mejor al problema y por qué?[/*][*]Calcula la probabilidad de enviar 18 móviles en mal estado de 100.[/*][*]La empresa distribuidora afirma que en todos los envíos de 100 móviles, le están llegando entre 16 y 24 móviles en mal estado. Calcula la probabilidad de que en un envío se manden entre 18 y 24 móviles defectuosos.[/*][*]¿Se puede calcular el apartado 3 empleando una distribución normal? Si es así, explica el por qué e indica el tipo. Realiza los cálculos que consideres oportunos.[/*][*]¿Se puede calcular el apartado 2 utilizando una distribución normal? [br][/*][/list]
3. Resolución.
1. El ejercicio se ajusta a una distribución binomial, puesto que:[br][list][*]Los sucesos son independientes entre sí. El que un móvil esté defectuoso no implica que el siguiente lo esté o no.[/*][*]El experimento se realiza muchas veces, en concreto 100.[/*][*]Hay dos probabilidades que son éxito sacar un móvil defectuoso y fracaso no sacarlo.[/*][/list]Por tanto todo esto se ajusta a una distribución binomial del tipo [b]B(100,0'12)[/b].[br][br]2. Para calcular la probabilidad de sacar exactamente 18 móviles en mal estado de 100 hacemos los siguientes cálculos:[br][br][center][math]P\left(x=18\right)=\binom{100}{18}\left(0.12\right)^{18}\cdot\left(0.88\right)^{82}=\frac{100!}{18!\cdot82!}\left(0.12\right)^{18}\cdot\left(0.88\right)^{82}=0.02281[/math][/center]
Cálculos de una binomial en GeoGebra.
3. Para realizar este ejercicio con una binomial, tendríamos que hacer los siguientes cálculos:[br][br][justify][math]P\left(16\le x\le24\right)=P\left(x=16\right)+\ldots+P\left(x=24\right)=[/math][br][br][math]=\binom{100}{16}\left(0.12\right)^{16}\cdot\left(0.88\right)^{84}+\ldots+\binom{100}{24}\left(0.12\right)^{24}\cdot\left(0.88\right)^{76}=0.1412[/math][br][/justify][justify][br]Estos cálculos son bastante largos y complicados. Solo con ayuda de una buena calculadora se pueden realizar. [br]En este caso GeoGebra es una magnífica herramienta que permite la resolución fácilmente:[br][/justify]
Geogebra nos permite ver todos los resultados de cada una de las probabilidades y ver también el resultado final.
4. Si nos fijamos en las gráficas de los apartados anteriores, la binomial se parece mucho a una campana de Gauss. Esto nos indica que entre las dos distribuciones de probabilidad, hay mucha relación.[br][br]La teoría matemática nos dice que si:[br][br][math]n\cdot p\ge5[/math], y, [math]n\cdot q\ge5[/math], entonces la Binomial y la normal son muy aproximadas. En concreto, en este ejercicio:[br][br][math]\mu=n\cdot p=100\cdot0.12=12\ge5[/math][br][math]n\cdot q=100\cdot0.88=88[/math][br][math]\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot q}=\sqrt{100\cdot0.12\cdot0.88}=3.2496[/math][br][br]De esto se deduce que [math]B\left(100,0'12\right)\approx N\left(12,3'2496\right)[/math][br][br]Podemos ver que son aproximadas en la siguiente construcción de GeoGebra.
Actividad de GeoGebra que relaciona la Distribución Binomial con la Normal.
En esta actividad de GeoGebra podemos modificar los valores y veremos como se calculan las probabilidades en la Binomial y la Normal y salen muy aproximadas. El problema es que las dos gráficas no ajustan igual. [br]La Binomial son rectángulos de base 1 y altura la probabilidad de ese valor.[br]La Normal es una curva llamada campana de Gauss y la probabilidad es el área entre los dos valores que nos piden. Ésto se hace mediante una operación matemática llamada integral definida. [br][br]Si nos fijamos entre la binomial y la normal quedan unos pequeños picos que se compensan con los huecos que hay dentro. Para ello, hay que utilizar un valor de 0,5 a los valores que nos interesan, unas veces sumados y otras restados, para que nos quedemos exactamente con los rectángulos de la binomial que nos interesan. Al final los números que se calculan mediante la binomial y los de la normal salen muy parecidos. Jugando con la gráfica de la actividad de GeoGebra se puede ver lo necesarios que son esos 0,5 que utilizamos.[br][br]En este apartado calculando tenemos que:[br][br]Si [math]x\in B\left(100,0'12\right)[/math] y [math]x'\in N\left(12,3'2496\right)[/math], haciendo los cálculos necesarios obtenemos que:[br][br][math]P\left(16\le x\le24\right)=P\left(15.5\le x'\le24.5\right)=0.1407[/math][br][br]Aunque los resultados no son iguales salen muy aproximados.[br][br]
5. Aunque la distribución normal no calcula probabilidades para valores puntuales, puesto que esta probabilidad es 0 en variable continua (recordar que la probabilidad es el área debajo de una curva y para un valor concreto de x no puede haber área pues sería solo una línea), también podemos aplicar la normal al problema del apartado 2. En este caso jugaremos con ese 0'5 que restamos y añadimos al valor que nos pidan. En este caso el ercicio quedaría así:[br][br][math]P\left(x=18\right)=P\left(17.5\le x'\le18,5\right)=0.0225[/math][br][br]El valor se aproxima muchísimo al resultado del apartado 2.
4. Conclusión.
Como vemos la distribución binomial y la normal se parecen mucho bajo unas determinadas circunstancias.[br][br]Ahora con la construcción de GeoGebra en pantalla, podemos hacer probaturas con otros tipos de distribuciones binomiales, ver las normales que se aproximan a ellas y realizar algunos ejercicios con la binomial, viendo si los resultados nos salen aproximados con la distribución normal.[br][br]Ahora bien, si dispones de una calculadora Casio fx-570 SPX ó 991 SPX, puedes resolver resolver estos problemas de una manera muy sencilla. Aquí dejo un vídeo que enseña a realizar este tipo de ejercicios con ayuda de la calculadora.
Distribución Binomial y Normal con Casio fx-570SP X/991SP X y GeoGebra
¿Cómo se hallan los Valores Críticos asociados a un Nivel de Confianza?
1. Introducción.
En la mayoría de los ejercicios de Inferencia Estadística, utilizamos el concepto de Nivel de Confianza, que es un valor que se puede dar en porcentaje o en cantidad decimal entre 0 y 1, que corresponde a la confianza o fiabilidad con la que damos un resultado.[br][br]Cada nivel de confianza lleva asociado un valor llamado Valor Crítico [math]z_{\alpha}[/math]. [br][br]Vamos a crear una actividad de GeoGebra que nos va a enseñar a encontrar esos valores críticos que utilizaremos posteriormente para resolver los problemas.
2. Actividad.
Crea una actividad que permita encontrar los valores críticos asociados a los niveles de confianza que deseemos. En particular:[br][br][list=1][*]Encontrar el valor crítico asociado a un nivel de confianza del 90 %.[/*][*]Idem al 95 %.[/*][*]Idem al 99 %.[/*][*]Idem al 92 %.[/*][/list][br]En la actividad deben aparecer los dos métodos que nos permiten hallar estos valores críticos.[br][br]Además se debe comprobar que los intervalos característicos en la N(0,1) asociados a estos valores críticos, tienen de probabilidad el nivel de confianza propuesto en el ejercicio correspondiente.
Actividad de GeoGebra destinada a encontrar valores críticos asociados a un nivel de confianza.
3. Explicación de la actividad.
Esta actividad está pensada para encontrar valores críticos asociados a un nivel de confianza determinado.[br][br]En la casilla nivel de confianza podemos poner cualquier número entre 1 y 100 %. El deslizador nos ayuda a ir variando el nivel de confianza de una forma más sencilla.[br][br]Podemos ver los dos métodos para encontrar los valores críticos. [br][br]Al final encontramos un campo de texto que nos dice cual es ese valor crítico asociado al nivel de confianza.[br][br]Como comprobación podemos ver en la parte superior, la gráfica de la normal N(0,1), con el intervalo característico [math]\left[-z_{\alpha},z_{\alpha}\right][/math], y señalado en morado el área de dicho intervalo, cuyo valor debe coincidir con el nivel de confianza que estábamos estudiando. [br][br]Ahora para resolver los distintos apartados de la actividad, solo tendremos que ir introduciendo los niveles de confianza y nos irán apareciendo los distintos valores críticos asociados, así como los métodos para encontrar dichos valores.[br][br]Podemos jugar con el deslizador, proponiendo otros niveles de confianza y encontrando sus valores críticos correspondientes.
Contraste de Hipótesis para la media.
1. Problema
Problema propuesto en la PAEG de Junio de 2015 (El problema ha sido reformulado para que se ajuste a la actividad de GeoGebra que he preparado).[br][br]En un aeropuerto, el tiempo de espera de un viajero frente a la cinta transportadora hasta que sale su maleta sigue según la empresa encargada, una distribución normal de media μ = 16 y desviación típica σ=3 minutos. Se tomó una muestra aleatoria de 50 viajeros y se observó que el tiempo medio de espera era de 17 minutos.[br]¿Se puede admitir que la media poblacional sea μ = 16 con un nivel de confianza del 95%?[br][br][br] [br][br] [br][br] [br][br] [br]
2. Resolución.
Este problema se puede resolver mediante un contraste de hipótesis. Las dos hipótesis que vamos a contrastar son:[br][br][math]H_0:\mu=16[/math][br][math]H_1:\mu\ne16[/math][br][br]Los pasos que tendremos que hacer son los siguientes:[br][br][list=1][*]Construir un intervalo característico al 95 % de nivel de confianza (5 % de nivel de significación), tomando como media 16 y la desviación típica sería [math]\frac{\sigma}{\sqrt{50}}[/math] , que es la que corresponde a la distribución de las medias muestrales de tamaño 50.[/*][*]Vemos si el valor de la media de la muestra está dentro del intervalo característico o fuera.[/*][*]Toma de decisión:[/*][/list][br] a) Si la media de la muestra está dentro del intervalo característico, aceptamos [math]H_0[/math].[br] b) Si la media de la muestra está fuera del intervalo característico, rechazamos [math]H_0[/math] y aceptamos [math]H_1[/math]. [br][br]Para estudiar el problema y hacer los cálculos vamos a utilizar GeoGebra.[br][br]Primero utilizaremos una construcción hecha por mi y posteriormente utilizaremos una herramienta que tiene GeoGebra específica para el contraste de hipótesis.
Actividad de GeoGebra para realizar contrastes de hipótesis para las medias muestrales.
Como vemos el intervalo característico al 95 % es (15.168 , 16.832).[br]Puesto que la media de la muestra es 17 y queda fuera de dicho intervalo, esto nos lleva a rechazar [math]H_0[/math] y aceptamos [math]H_1[/math]. [br][br]Esto es que los datos de la empresa no son correctos y por tanto la media de espera de los viajeros para recibir sus equipajes no es 16 minutos.
3. Resolviendo con la herraienta de GeoGebra para contrastes de hipótesis.
GeoGebra tiene una herramienta específica para hacer contrastes de hipótesis. La podemos ver si vamos a:[br][list=1][*]Menú.[/*][*]Vista.[/*][*]Calculadora de probabilidad.[/*][*]Pestaña estadísticas.[/*][*]Opción del menú desplegable "Test Z de una media".[/*][/list][br]Introducimos los valores que nos da el ejercicio y vemos que aparece:
Los valores que nos interesan para el ejercicio son z y p.[br][br]Veamos de donde sale el valor de z que aparece en la herramienta de GeoGebra. Vamos a calcular el nivel de confianza que corresponde a la media muestral, con los datos que nos da el problema:[br][br][math]z_m=\frac{x-\mu_0}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}=\frac{17-16}{\frac{3}{\sqrt{50}}}=2,3570[/math][br][br]El intervalo de aceptación para una N(0,1) con un 5% de nivel de significación o lo que es lo mismo un 95% de nivel de confianza es (-1,96 , 1,96). Como z=2,357 queda fuera de la zona de aceptación, rechazar [math]H_0[/math] y aceptamos [math]H_1[/math]. [br][br]Ahora veamos que es la p. El valor de la probabilidad que corresponde a z sería:[br][br][math]P\left(z\le2,357\right)=0,9907[/math][br][br]Hay que tener en cuenta que es un intervalo característico centrado en la media 16. Vamos a sumar la probabilidad que hay a los dos lados del intervalo característico:[br][br]1-0,9907=0,0093[br]0,0093 · 2=0,0186.[br][br]Este valor, un poco más exacto en GeoGebra, es el que corresponde al valor p que aparece. Este valor va asociado a un nivel de significación del 1,86%, es decir a un 98,14% de nivel de confianza. Este nivel de confianza es mucho mayor que el que aparecía en el problema, en el que solo nos piden un 95%. Cuanto mayor es el nivel de confianza, mayor es el intervalo característico. Pues bien, este valor p, exige un nivel de confianza mayor que el requerido, por lo que el valor de la media de la muestra se queda fuera del intervalo característico. Una vez más rechazamos [math]H_0[/math] y aceptamos [math]H_1[/math].
4. Conclusión y otras posibles contrastes de hipótesis.
Bueno, a la vista del ejercicio, creo que la actividad de GeoGebra que he preparado, permite realizar un contraste de hipótesis de una forma más sencilla, que con la herramienta que lleva el propio GeoGebra.[br][br]Ahora, se puede proponer a los alumnos las siguientes preguntas:[br][br][list=1][*]Coln los mismos valores del ejercicio, ¿se podría aceptar la media de 16 minutos que da la compañía, si la media de la muestra fuera 16,6 minutos?[/*][*]Con los mismos valores, nos gustaría saber, si la compañía dice que los [br]pasajeros esperan 16 minutos o menos, si aceptaríamos o no lo que ellos [br]dicen, con una media para la muestra de 17 minutos.[br][/*][*]En el ejercicio inicial, ¿qué pasaría si aumentamos el nivel de confianza al 99%?¿Y si lo disminuimos al 90%?[/*][*]En el ejercicio inicial, ¿qué pasaría si aumentamos el tamaño de la muestra a 200 individuos? ¿Y si lo disminuimos a 30?[br][/*][/list]
El Método Monte Carlo. Estimación del Valor de Pi.
¿Qué es el Método Monte Carlo?
El método Monte Carlo es un método en el que por medio de la estadística y la probabilidad podemos determinar valores o soluciones de ecuaciones que calculados con exactitud son muy complejas, pero que mediante este método resulta sencillo calcular una aproximación al resultado que buscamos.[br][br]El método Monte Carlo fue desarrollado en 1944 en Laboratorio Nacional de Los Álamos, como parte de los estudios que condujeron al desarrollo de la bomba atómica. En un principio lo desarrollaron los matemáticos John Von Neumann y Stanislaw Ulam aunque fueron otros matemáticos quienes con su trabajo le dieron una solidez científica, Harris y Herman Kahn.[br][br]La idea le surgió a Ulam, mientras jugaba a las cartas. Se le ocurrió un método en el que mediante la generación de números aleatorios, pudieran determinar soluciones a ecuaciones complejas que se aplican en el estudio de los neutrones. Era como generar los números con la ayuda de una ruleta, de ahí su nombre.
Calculando el valor de Pi, con la ayuda del Método Monte Carlo.
Lo primero construir el entorno de trabajo. Este sería:[br][br][list][*]Construiremos un cuadrado de lado 4. Lógicamente su área será 16.[/*][*]Construimos un círculo inscrito en el cuadrado, que tiene de centro, el centro del cuadrado y de radio 2. Su área será [math]4·\pi[/math].[br][/*][*]Generaremos puntos al azar dentro del cuadrado. Para entenderlo mejor es como lanzar dardos sobre una diana con los ojos vendados, de tal forma que siempre acertamos dentro de los límites de ese cuadrado. [br][/*][/list][br]Aplicamos ahora el Método Monte Carlo:[list][*]Contaremos el total de puntos generados.[/*][*]Contaremos el total de puntos que cayeron dentro del círculo.[/*][*]Realizaremos el siguiente razonamiento:[br][/*][/list][br][math]\frac{Area-del-circulo}{Area-del-cuadrado}=\frac{Numero-de-puntos-dentro-del-circulo}{Numero-de-puntos-totales}[/math][br][br][br]En la construcción de GeoGebra observaremos todos los cálculos. Vemos que se hace un sencillo despeje y generaremos aproximaciones al número Pi, bastante buenas.[br][br]El deslizador n es el que genera los puntos aleatorios.
Curiosidad
Observamos, al menos en esta construcción de GeoGebra, que la aproximación de Pi no mejora dependiendo del número de puntos que generemos.
Aproximaciones de Pi, mediante el Método Monte Carlo.
Conclusión.
GeoGebra nos brinda la oportunidad de realizar un experimento miles de veces y sacar conclusiones de él. [br]El Método Monte Carlo es un método matemático muy interesante, tanto por su historia como por la potencialidad. Nos permite estudiar soluciones de ecuaciones, estimar el valor de [math]\pi[/math] y estimar el valor de una integral definida. En este mismo libro de GeoGebra encontrarás una actividad elaborada por mi que lo explica.[br][br]Dejo aquí un vídeo que explica como construir la actividad que acabamos de ver.