Сферическая теорема Пифагора формулируется следующим образом:[br][table][tr][td]   [br][/td][td][b]Косинус гипотенузы прямоугольного сферического треугольника равен [br]произведению косинусов его катетов.[/b][/td][/tr][/table][img]https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/62/Tetrahedron_for_proofs.png/210px-Tetrahedron_for_proofs.png[/img][br] Доказательство проведём с помощью трехгранного угла OA[sub]1[/sub]B[sub]1[/sub]C[sub]1[/sub] со сторонами (лучами) OA[sub]1[/sub], OB[sub]1[/sub], OC[sub]1[/sub] и вершиной в точке O, плоские углы A[sub]1[/sub]OC[sub]1[/sub] и C[sub]1[/sub]OB[sub]1[/sub] которого равны катетам b и a данного треугольника, плоский угол A[sub]1[/sub]OB[sub]1[/sub] равен его гипотенузе c, двугранный угол между гранями A[sub]1[/sub]OC[sub]1[/sub] и C[sub]1[/sub]OB[sub]1[/sub]равен 90 градусов, а остальные два двугранных угла равны соответствующим углам сферического прямоугольного треугольника. Этот трёхгранный угол пересечен плоскостью A[sub]1[/sub]B[sub]1[/sub]C[sub]1[/sub], перпендикулярной лучу OB[sub]1[/sub]. Тогда углы A[sub]1[/sub]C[sub]1[/sub]O и A[sub]1[/sub]C[sub]1[/sub]B[sub]1[/sub] будут прямыми.[br]Заметим, что[br][math]cos\frac{ }{ }AB=cos\angle A_1OB_1=\frac{OB_1}{OA_1}[/math][br][math]cos\frac{ }{ }AC=cos\angle A_1OC_1=\frac{OC_1}{OA_1}[/math][br][math]cos\frac{ }{ }CB=cos\angle C_1OB_1=\frac{OC_1}{OB_1}[/math][br]Отсюда следует[br][math]cos\frac{ }{ }AB=\frac{OB_1}{OA_1}=\frac{OC_1}{OA_1}\cdot\frac{OC_1}{OB_1}=cos\frac{ }{ }AC\cdot cos\frac{ }{ }CB[/math][br]Что и требовалось доказать[br][br]На рисунке представлен трехгранный угол, в котором можно перемещать точки А,В и С.