[size=85][url=https://www.geogebra.org/m/f9rqwmkm]Korábban láttuk[/url], hogy egyenes képe lehet egyenes és kör is. Ebből következően indokoltnak látszik annak megvizsgálása, hogy kör képe mi lehet geometriai inverzió esetén. [url=https://www.geogebra.org/m/dfyyjpak]Azt is megállapítottuk[/url], hogy az alapkör pontjai [url=https://hu.wikipedia.org/wiki/Fixpont]fixpont[/url]ok, így az [b]alapkör fixkör[/b]. (1)[br][br]Továbblépve nézzük meg azt, hogy van-e a transzformációnak az alapkörtől különböző [url=https://tudasbazis.sulinet.hu/hu/matematika/matematika/matematika-9-osztaly/a-geometriai-transzformacio-fogalma-tulajdonsagai/a-geometriai-transzformacio-tulajdonsagai]invariáns[/url] köre! Egy [url=https://www.geogebra.org/m/dfyyjpak]alapkörön kívüli kör minden pontjának képe alapkörön belüli pont, és fordítva[/url]. Ebből következően, ha van az alapkörön kívül invariáns kör, akkor az metszi az alapkört. [br][/size]

[size=85]Ha megállapodunk abban, hogy két egymást metsző kör hajlásszögén a metszéspontjaikba húzott érintőinek hajlásszögét értjük, akkor bebizonyítottuk azt a[b] tétel[/b]t, hogy az alapkörtől különböző invariáns körök merőlegesen metszik az alapkört. A megfordítás bizonyítása az előzőek alapján már triviálisnak mondható,[br]Ezek után kimondható a [b]tétel[/b], hogy egy alapkörtől különböző kör akkor és csak akkor invariáns, ha merőlegesen metszi az alapkört. (2)[/size]

[size=85][url=https://www.geogebra.org/m/f9rqwmkm]Láttuk[/url], hogy a pólusra nem illeszkedő egyenesek képe a pólusra illeszkedő (a pólustól megfosztott) kör. Értelmesnek tűnik a megfordítást megnézni. Mi a képe a pólusra illeszkedő (pólustól megfosztott) körnek.[br][/size][size=85]Először vizsgáljuk azt az esetet, amikor a kör az alapkör egy sugarának [url=https://www.geogebra.org/m/pvzy9kv5]Thalész-kör[/url]e![/size]

[size=85]Megmutattuk, hogy a kör bármely pontjának képe a sugár végpontjába húzott érintőre illeszkedik. A geometriai inverzió [url=https://www.geogebra.org/m/f9rqwmkm]szimmetrikus[/url] tulajdonsága és a [url=https://www.geogebra.org/m/f9rqwmkm]korábbiak[/url] miatt igaz az is, hogy az érintő minden pontja képe egy körön levő pontnak.[br][br][/size][size=85]Bebizonyítottuk azt a [b]tétel[/b]t, hogy az alapkör egy sugara (pólustól megfosztott) Thalész körének a képe az alapkör sugár végpontjára illeszkedő érintője. (3)[/size]

[size=85]Vizsgáljunk most egy tetszőleges, az alapkör pólusára illeszkedő (pólustól megfosztott) kört![/size]

[size=85]A [i]k[/i][sub]1[/sub] olyan kör aminek középpontja az [i]O[/i] pólus és kívülről érinti a [i]k[/i]-t. A (3) szerint a [i]k k[/i][sub]1[/sub]-re vonatkozó az [i]e[/i]. [url=https://www.geogebra.org/m/f9rqwmkm]Az azonos pólusú inverziókról bizonyítottak[/url] szerint a [i]k k[/i][sub]o[/sub]-ra vonatkozó képe, [i]k'[/i] középpontosan hasonló [i]e-[/i]hez, ezért az egyenes.[br]Bebizonyítottuk a[b] tétel[/b]t, hogy a pólusra illeszkedő (pólustól megfosztott) körök képe egyenes. (4) [br]A bizonyításból az is látszik, hogy a képek merőlegesek a körök pólusra illeszkedő átmérőjére.[br][/size]

[size=85]Már csak annak vizsgálata van hátra, hogy a pólusra nem illeszkedő, nem invariáns köröknek mi a képe.[/size]

[size=85]A [i]k[/i][sub]1 [/sub]merőlegesen metszi [i]k-[/i]t, így erre vonatkozó inverz képe - a (2) szerint önmaga. [url=https://www.geogebra.org/m/f9rqwmkm]Az azonos pólusú inverziókról bizonyítottak[/url] szerint a [i]k k[/i][sub]o[/sub]-ra vonatkozó képe, [i]k' [/i]középpontosan hasonló [i]k[/i][i]-[/i]hoz, ezért a póluson át nem menő kör,[/size][br][br][size=100]Összefoglalva:[br][list=1][*][size=100][size=85]A póluson átmenő (pólustól megfosztott) kör képe a póluson át nem menő egyenes.[/size][/size][/*][*][size=100][size=85]A póluson át nem menő kör képe póluson át nem menő kör.[/size][/size][/*][/list][size=85]Kicsit rövidebben: Kör vagy egyenes képe kör van egyenes. Ezt szokás úgy is mondani, hogy "[url=http://mnaszodi.web.elte.hu/teaching/fejElemiHints/InverzioA/InverzioA.xml]kögyenes[/url]" képe "kögyenes". A geometriai inverzió "[url=http://www.math.u-szeged.hu/~nagyg/?pos=11&oraid=geoszig]kögyenestartó[/url]" transzformáció.[/size][/size]