[b][size=150][b]このワークシートは[url=https://www.geogebra.org/m/twxxx3yq]Math by Code[/url]の一部です。[br][/b][br]＜ド・モアブルと無限＞[/size][/b][br]オイラーのすごいところは、無限大と無限小を自在に活用した想像力だ。[br][br]ド・モアブルの定理[b]（cosθ±[i][color=#0000ff] i [/color][/i]sinθ)[sup]n[/sup]=cos(nθ)± [i]i [/i]sin(nθ)　を大胆に利用する。[br][br][/b][b]（cosθ+[i][color=#0000ff] i [/color][/i]sinθ)[sup]n[/sup]+[/b][b]（cosθ-[i][color=#0000ff] i [/color][/i]sinθ)[sup]n[/sup]=2cos(n θ)[br][/b][b]（cosθ+[i][color=#0000ff] i [/color][/i]sinθ)[sup]n [/sup]-（cosθ-[/b][i][color=#0000ff] i [/color][/i][b]sinθ)[/b][sup]n[/sup][b]=2i sin(n θ)[br][br][/b][size=100]はすぐにわかる。[br]ここで[math]θ=\frac{x}{n}[/math]（実数[math]x＝nθ[/math] )とおくと、ｎを無限大にするとθは無限小になる。[br][br]すると、θを約０と見ることができるから、[b]cosθ=1, sinθ=θ=x/nとなり、[br][/b][br][/size][b]（1+[i][color=#0000ff] i x/n[/color][/i])[sup]n[/sup]+[/b][b]（1―[i][color=#0000ff] i [/color][/i][b][i][color=#0000ff]x/n[/color][/i][/b])[sup]n[/sup]=2cos(x)[br][/b][b]（1+[i][color=#0000ff] i[/color][/i][b][i][color=#0000ff] x/n[/color][/i][/b])[sup]n [/sup]-（1[b]―[/b][/b][i][color=#0000ff] i[/color][/i][b][b][i][color=#0000ff] x/n[/color][/i][/b])[/b][sup]n[/sup][b]=2i sin(x)[br][/b][br]一方で、ｎを無限大にすると、[math]e^a=(e^{\frac{a}{n}})^n=(1+\frac{a}{n})^n[/math][sup][/sup][br]であることもオイラーは見出していたから、[br][br][math]e^{ix}+e^{-ix}=2cos(x)[/math][br][math]e^{ix}-e^{-ix}=2i\cdot sin(x)[/math][br][br]２式の辺ごとの和は[br][math]2e^{ix}＝2cos(x)＋2i\cdot sin(x)[/math]だから、[br][br][math]e^{ix}＝cos(x)＋i\cdot sin(x)[/math]　[br][br]これを[b][color=#9900ff][size=200]オイラー公式(formula)[/size][/color][/b]と呼ぼう。[br]複素数の指数関数が、三角関数を成分とする複素数と等しいというすごい式だ。[br][br][color=#0000ff][b][size=150][size=200]e[sup]ix[/sup]=cos(x) +i sin(x)[br][/size][/size][/b][/color][br]ここで、x=πを代入しよう。[br][br][b][size=200][color=#38761d]e[sup]iπ[/sup]=-1[/color][/size][/b][br]これが、[color=#9900ff][b][size=200]オイラー等式(Identity）[/size][/b][/color]という素晴らしい式だね。[br]

[color=#9900ff][b][u][size=150]質問：オイラー等式を見える化するにはどうしたらいいですか。[br][/size][/u][/b][/color][br]Euler(x)= e[sup]ix[br][/sup]という関数を作ります。[br]この式にx=pi つまり、πを入れると、[br]複素数の-1+0 i が返ります。

[color=#9900ff][b][u][size=150]質問：オイラー等式を見える化するにはどうしたらいいですか。[br][/size][/u][/b][/color][br]Euler(x)= e[sup]ix[br][/sup]という関数を作ります。[br]この式にx=pi つまり、πを入れると、[br]複素数の-1+0 i が返ります。

オイラーの公式があれば、x=πを代入するだけで、オイラー等式ができた。[br]オイラーの公式をグラフにすると、x=πのときに、グラフは-1+0iを通る。[br]オイラー等式はゴールにする場合もある。[br][br]しかし、オイラー公式はゴールではない。[br]むしろ、いろいろと使い勝手がよい。[br][br][color=#9900ff][b][u][size=150]質問：オイラー公式の使い道はどんなものがあるかを考えてみましょう。[br][/size][/u][/b][/color][br]オイラー公式の指数関数部分のｘ＝a+bと加算を代入してみる。[br]すると、三角関数もｘ＝a+bになるから、三角関数の加法になる。[br][br][color=#0000ff][b]一方の指数関数部分の加法だから、指数法則によって乗法に分解できるね。[br][/b][/color]そして、分解された指数関数も三角関数で表現できる。[br][br]式を使って表現すると、[br][math]e^{i\left(a+b\right)}=e^{ia}e^{ib}[/math] ただの指数法則でしかないようでも、[br][math]cos\left(a+b\right)+i\cdot sin\left(a+b\right)=\left(cos\left(a\right)+i\cdot sin\left(a\right)\right)\left(cos\left(b\right)+i\cdot sin\left(b\right)\right)[/math][br]=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b) + i (sin(a) cos(b)+ cos(a) sin(b)) [br]展開した虚部がsin、実部がcosの加法定理。[br][br]つまり、オイラー公式を知っていれば、sin,cosの加法定理が思い出させてくれるということだね。[br]すばらしい！[br]