Un ballon de masse m est lancé depuis le sol avec une vitesse initiale v0 (de norme v0 notée v_0) [br]faisant un angle α (alpha) avec l'horizontale. [br]Ce ballon est soumis à la force de pesanteur g et à une force de frottement Ff du type Ff=−bv avec b>0.On choisit comme référentiel le sol, et comme repère un système d'axes cartésiens dont l'axe Ox est horizontal, [br]dirigé dans le sens du tir et l'axe Oy est vertical, dirigé vers le haut. [br]L'origine est placée à la position de tir. On cherche à déterminer les équations horaires du ballon.[br]On écrit la seconde loi de Newton sous la forme : ma−ΣFext=0.

mettre le code ci dessous dans un bouton ok (Geogebra script tab properties du ok button)[br]avant derniere icône du menu click sur  "ok" ,ensuite clik sur fleche select. pour sortir du mode depose bouton et click sur le bouton.[br][br]#F_a=F_g + F_f avec F_g=-mg (le sens positif de l'axe y est vers le haut, l'action de la gravité est donc negative )[br]#F_f=-b*y' proportionelle a la vitesse mais de sens opposé a la vitesse,la vitesse y' etant negative,[br]#F_f sera bien positive, donc de sens opposé a F_g.[br]#F=-mg - b*y'[br]#m*y''=-m*g - b*y'[br]#forme standard[br]#y'' + (b/m)*y'=-g[br]################ solution equ homogene[br]#y_h=y'' + (b/m)*y'=0[br]#P(r)==(r-0) *(r-(-b/m))[br]#y_h solutions= c_1*e^(0*t) + c_2*e^((-b/m)*t)[br]#solution particuliere[br]#y'' +(b/m)*y'=-g*e^(0*t)[br]##zero est racine on ne peut prendre comme solution particuliere -g*e^(r*t)/P(r) on prend donc -g*t*e^(r*t) /P'(r)[br]#P'(r)=2*r +(b/m) => P'(0)=(b/m)[br]#y_p=(-g*t*e^(0*t))/P'(0)=-g*t/(b/m)[br]#y_h+y_p=c_1*e^(0*t) + c_2*e^(-(b/m)*t) - g*t*m/b[br]#y_h+y_p=c_2*e^(-(b/m)*t) + (c_1*b-g*m*t)/b[br]#y(t)=c_2*e^(-(b/m)*t) -g*m*t/b + c_1[br]#y(0)=0 => c_1+c_2=0[br]#y'(t)=c_2*-(b/m)*e^(-(b/m)*t) - g*m/b[br]#y'(0)=vy_0=c_2*-(b/m)- g*m/b [br]#-vy_0=c_2*(b/m)+ g*m/b [br]#-vy_0 -  g*m/b=c_2*(b/m) [br]#c_2=-(vy_0 + g*m/b)*m/b[br]#c_1=(vy_0 + g*m/b)*m/b[br]#y(t)=-(vy_0 + g*m/b)*m/b*e^(-(b/m)*t) -g*m*t/b +(v_0 + g*m/b)*m/b[br]#vy_0=v_0*sin(theta)[br]#y(t)=((v_0*sin(theta) + g*m/b)*m/b)*(1-e^(-(b/m)*t)) -g*m*t/b [br]############### coordonne x #########################[br]#Fx_a=  Fx_f[br]#x'' + (b/m)*x'=0[br]#x(t)=c_1*e^(0*t) + c_2*e^((-b/m)*t)[br]#x(0)=c_1 + c_2[br]#x'(t)= c_2*(-b/m)*e^((-b/m)*t)[br]#x'(0)=v_0*cos(theta) => c_2*(-b/m)=v_0*cos(theta)[br]#c_2=( v_0*cos(theta)*(-m/b))[br]#c_1=(-v_0*cos(theta)*(-m/b))[br]#x(t)=(-v_0*cos(theta)*(-m/b)) + (v_0*cos(theta)*(-m/b))*e^((-b/m)*t)[br]################# coordonne y[br]#y(t)=0*t[br]#############################################################[br]#############################################################[br]################### Geogebra [br]################## Ballon avec frottement[br]g=9.81[br]b=Slider[ 0.01, 1, 0.01][br]SetValue[b, 0.76 ][br]m=Slider[ 1, 10, 0.1][br]SetValue[m, 2.75 ][br]v_0=Slider[ 0, 20, 0.01][br]SetValue[v_0, 17 ][br]theta=Slider[ 0, pi/2, 0.001][br]SetValue[theta, 0.72 ][br]#distance maxi atteignable[br]X_{max}(t)=(-v_0*cos(theta)*(-m/b))[br]#[br]X(t)=(-v_0*cos(theta)*(-m/b)) + (v_0*cos(theta)*(-m/b))*e^((-b/m)*t)[br]Y(t)=((v_0*sin(theta) + g*m/b)*m/b)*(1-e^(-(b/m)*t)) -g*m*t/b[br]C = Curve[X(t),Y(t), t, 0, 10][br]SetColor[X_{max}, "Red" ][br]SetColor[X, "green" ][br]SetColor[Y, "blue" ][br]SetColor[C, "black" ]