[b][u][color=#1e84cc][size=150]Introducción al Teorema de la función implícita.[/size][/color][/u][/b][br][br]En esta sección discutimos el Teorema de la función implícita para funciones de dos variables [math]f(x,y)[/math]. La versión del teorema para funciones de más de dos variables se presentará en una sección siguiente.[br][br]Cuando se discutió el tema de curvas de nivel de una función [math]C^{1}[/math] de dos variables, veíamos que los conjuntos de nivel eran, para la mayoría de niveles, efectivamente curvas. Pero, vale hacerse la pregunta, ¿Es esto siempre así? ¿Pueden ser los conjuntos de nivel algo diferente, conjuntos no tan agradables? La respuesta la da, en parte, el teorema de la función implícita. [br][br]En breves palabras, lo que dice el teorema de la función implícita es que si [math](x_{0},y_{0})[/math] es un punto en el conjunto de nivel [math]f(x,y)=N[/math], es decir [math]f(x_{0},y_{0})=N[/math], y el gradiente de [math]f(x,y)[/math] en [math](x_{0},y_{0})[/math] no es cero, entonces en un entorno rectangular de [math](x_{0},y_{0})[/math], el conjunto de nivel puede expresarse como el gráfico de una cierta función [math]x\rightarrow y(x)[/math] o el gráfico de una cierta función [math]y\rightarrow x(y)[/math]. Es decir, en un entorno del punto el conjunto de nivel es efectivamente una curva. Lo que decide qué tipo de gráfico es, es si, respectivamente, [math]\partial_{y}f(x_{0},y_{0})\neq 0[/math], o [math]\partial_{x}f(x_{0},y_{0})\neq 0[/math].[br][br]Se desprende del teorema que si la función no tiene punto críticos, es decir si [math]\nabla f(x,y)\neq 0[/math] en todo [math](x,y)[/math] del dominio, entonces sus conjuntos de nivel son siempre curvas! [br][br]Por otro lado, suele suceder que el conjunto de puntos críticos es finito. En dicho caso, los conjuntos de nivel a cualquier nivel excepto aquellos iguales al valor de la función en los finitos puntos críticos, son curvas. En otras palabras, en dicho caso todos los conjuntos de nivel, excepto un número finito de ellos, son curvas. [br][br]Veamos un ejemplo muy simple. Consideremos la función [math]f(x,y)=x^{2}/2+y^{2}[/math]. Los conjuntos de nivel son: (i) el conjunto vacío si el nivel es [math]N<0[/math], (ii) el punto [math](0,0)[/math] si [math]N=0[/math], o (iii) el conjunto [math]x^{2}/2+y^{2}=N[/math] si [math]N>0[/math]. [br][br]Los conjuntos de nivel en el caso (iii) son curvas cerradas y de hecho sabemos que son elipses. Pero, ¿Puede garantizarse que son curvas usando el teorema de la función implícita y no la expresión particular de [math]f(x,y)[/math]? Para simplificar tomemos el nivel [math]N=1[/math]. Supongamos entonces que [math]x_{0}^{2}/2+y_{0}^{2}=1[/math]. Naturalmente que si [math]x_{0}^{2}/2+y_{0}^{2}=1[/math] entonces o bien [math]x_{0}\neq 0[/math] o bien [math]y_{0}\neq 0[/math]. Por lo tanto [math]\nabla f(x_{0},y_{0})=(x_{0},2y_{0})\neq (0,0)[/math]. De acuerdo al teorema de la función implícita, puedo expresar el conjunto de nivel en un entorno del punto [math](x_{0},y_{0})[/math] como el gráfico de una curva. Como el punto [math](x_{0},y_{0})[/math] del conjunto de nivel era arbitrario, deducimos que que el conjunto de nivel es de hecho una curva.[br][br]Por ejemplo, si [math](x_{0},y_{0})=(0,1)[/math] entonces, el conjunto de nivel en un entorno de dicho punto es el gráfico de, [br][br][math]y\in [-\epsilon,\epsilon]\rightarrow y(x)=\sqrt{1-\frac{1}{2}x^{2}}[/math],[br][br]con [math]\epsilon[/math] pequeño. En este caso es [math]\partial_{x}f(1,0)=1\neq 0[/math] y por lo tanto puedo expresar a [math]x[/math] en función de [math]y[/math]. En cambio alrededor del [math](1,1)[/math] no puedo expresar a [math]y[/math] en función de [math]x[/math] (porqué?), algo que es consistente con el teorema de la función implícita ya que [math]\partial_{y}f(1,0)=0[/math].[br][br][color=#ff7700][b]Ejemplo.[/b] [/color]Debajo se muestra el conjunto de nivel discutido anteriormente, [math]\frac{1}{2}x^{2}+y^{2}=1[/math] así como el punto [math](0,1)[/math] en azul, y el gráfico en rojo de la curva[br][br][math]y(x)=\sqrt{1-\frac{1}{2}x^{2}}[/math],[br][br]entre [math]-0.7[/math] y [math]0.7[/math], que naturalmente es una parte de todo el conjunto de nivel. Este hecho no solamente ocurre en el [math](0,1)[/math] sino en cualquier otro punto de dicho conjunto de nivel ya que el gradiente no es cero en cada uno de sus puntos. El conjunto de nivel es por lo tanto una curva.

Es importante notar que un conjunto de nivel que pase por un punto crítico puede ser aún una curva. Por ejemplo el conjunto de nivel a nivel [math]0[/math] de [math]f(x,y)=y^{3}[/math] es la recta [math]y=0[/math] que es una curva, sin embargo todos los puntos de dicho conjunto de nivel son puntos críticos. [br][br]El conjunto de nivel a nivel cero de [math]f(x,y)=xy[/math] son el par de rectas [math]x=0[/math] y [math]y=0[/math] que se intersectan en el único punto crítico de la función que es [math](0,0)[/math]. Dicho conjunto de nivel no es una curva alrededor de ese punto. [br][br]La discusión anterior se hizo sin prestarle atención a las hipótesis que requiere el Teorema de la función implícita. Veamos ahora el enunciado formal del teorema.[br][br][color=#980000][b]Teorema de la función implícita (para funciones de dos variables).[/b] [/color]Sea [math]f:D\subset \mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}[/math] una función de dos variables [math]C^{1}[/math] definida en un abierto [math]D[/math]. Sea [math](x_{0},y_{0})[/math] un punto del conjunto del nivel [math]f(x,y)=N[/math] para cierto nivel [math]N[/math]. Si,[br][br][math][br]\partial_{y}f(x_{0},y_{0})\neq 0,[br][/math][br][br]entonces existen [math]\epsilon>0[/math] y [math]\delta>0[/math] y una función [math]C^{1}[/math], [math]g: [x_{0}-\epsilon,x_{0}+\epsilon]\rightarrow [y_{0}-\epsilon,y_{0}+\epsilon][/math] tal que,[br][br][math][br]f(x,y)=N\ {\rm con}\ (x,y)\in [x_{0}-\epsilon,x_{0}+\epsilon]\times [y_{0}-\delta,y_{0}+\delta]\quad {\rm sí\ y\ solo\ sí}\quad y=g(x).[br][/math][br][br]Además,[br][br][math][br]g'(x)=-\frac{\partial_{x}f(x,g(x))}{\partial_{y} f(x,g(x))}[br][/math][br][br][math]\Box[/math][br][br]Por supuesto que si [math]\partial_{x}f(x_{0},y_{0})\neq 0[/math] entonces se puede despejar a [math]x[/math] en función de [math]y[/math], [math]x=g(y)[/math].[br][br]La función [math]g(x)[/math] se llama función implícita y en cierto sentido [math]y=g(x)[/math] "despeja" [math]y[/math] en función de [math]x[/math] de la ecuación [math]f(x,y)=N[/math]. La función [math]g(x)[/math] no tiene en general una expresión "explícita", más bien está dada "implícitamente" en la ecuación [math]f(x,g(x))=N[/math], (de allí el nombre de función implícita).[br][br]La importancia del teorema de la función implícita no debe menospreciarse. Permite extraer conclusiones locales y globales sobre el conjunto solución de la ecuación (conjunto de nivel) de [math]f(x,y)=N[/math] que de otra manera no serían posibles.[br][br][color=#ff7700][b]Ejemplo.[/b] [/color]Consideremos el conjunto de nivel,[br][br][math][br]f(x,y)=x^{2}+y^{2}-6\sin(x+y)=0.[br][/math][br][br]Es decir el conjunto de los puntos [math](x,y)[/math] tal que [math]f(x,y)=x^{2}+y^{2}-6\sin(x+y)=0[/math].[br][br]En este caso no puede despejarse explíticamente a [math]y[/math] en función de [math]x[/math] ni a [math]x[/math] en función de [math]y[/math]. Eso nos ayudaría mucho pero no es posible. Entonces, ¿Qué tipo de conjunto de nivel es? ¿Qué propiedades tiene? ¿Es cerrado? ¿Es acotado? ¿Es una curva? ¿Tiene una o varias componentes conexas? [br][br]En primer lugar el conjunto de nivel es no vacío ya que [math](x,y)=(0,0)[/math] es solución. ¿Qué más se puede decir? Calculemos la derivada parcial con respecto a [math]y[/math], tenemos,[br][br][math][br]\frac{\partial f(0,0)}{\partial y}=2y-6\cos (x+y)\bigg|_{(x,y)=(0,0)}=-6\neq 0.[br][/math][br][br]Por lo tanto, de acuerdo al teorema de la función implícita, en un entorno de [math](0,0)[/math] puedo despejar a [math]y[/math] en función de [math]x[/math]. Es decir, en un entorno de [math](0,0)[/math] el conjunto de nivel es una pequeña curva [math]y=g(x)[/math]. De hecho el teorema de la función implícita nos dá más información, nos dice que,[br][br][math][br]g'(0)=-\frac{\partial_{x}f(0,0)}{\partial_{y}f(0,0)}=-1.[br][/math][br][br]El decir que la curva tangente tiene como recta tangente [math]x+y=0[/math]. Antes de continuar, apelemos a un gráfico para ganar más información sobre el conjunto de nivel y luego intentar responder las otras preguntas que nos planteamos anteriormente. El gráfico se presenta debajo.

En rojo se muestra el eje [math]x[/math] y en verde el eje [math]y[/math]. La curva cerrada en rojo es el conjunto de nivel y la recta es la recta tangente al conjunto de nivel en el punto [math](0,0)[/math], que es la recta [math]x+y=0[/math]. La figura entonces sugiere que el conjunto de nivel es un conjunto compacto, no solo eso, sino que es una curva cerrada. [br][br]Eso es efectivamente así. En primer lugar, todo conjunto de nivel de una función continua es cerrado (puede probarlo?). Pero además debe ser acotado y por lo tanto compacto. Para ver eso supongamos por contradicción que no es acotado. Entonces existe una sucesión de puntos [math](x_{n},y_{n})[/math] en el conjunto de nivel, es decir con,[br][br][math][br]x_{n}^{2}+y^{2}_{n}-6\sin(x_{n}+y_{n})=0,[br][/math][br][br]y tal que [math]\|(x_{n},y_{n})\|^{2}=x_{n}^{2}+y_{n}^{2}\rightarrow \infty[/math], es decir que se alejan cada vez más del origen. Pero como el seno es una función acotada entre [math]-1[/math] y [math]1[/math] tenemos,[br][br][math][br]0=x_{n}^{2}+y^{2}_{n}-6\sin(x_{n}+y_{n})\geq x_{n}^{2}+y^{2}_{n}-6\rightarrow \infty[br][/math][br][br]lo que es una contradicción. Por lo tanto el conjunto de nivel es acotado. Otra forma de ver que está acotado es escribiendo,[br][br][math][br]x^{2}+y^{2}=6\sin(x+y)\leq 6[br][/math][br][br]es decir que el conjunto de nivel se encuentra dentro del disco de centro el origen y radio [math]\sqrt{6}[/math], que puede verse representado en la figura anterior en verde.[br][br]Pero, ¿Cómo podemos deducir que el conjunto de nivel es efectivamente una curva cerrada? Sabemos que es una curva en un entorno del origen, pero ¿Cómo se puede ver que es efectivamente una curva en un entorno de cualquier otro punto del conjunto? La respuesta la da nuevamente el teorema de la función implícita. Solo se debe probar que el gradiente de la función en cada punto del conjunto de nivel no es cero. Esto equivale a probar que el sistema de ecuaciones,[br][br][math][br]\left\{[br]\begin{align}[br]& f(x,y)=0,\\[br]& \nabla f(x,y)=0[br]\end{align}[br]\right.[br][/math][br][br]no tiene soluciones. Explícitamente,[br][br][math][br]\left\{[br]\begin{align}[br]& x^{2}+y^{2}=6\sin (x+y),\\[br]& 2x=6\cos(x+y),\\[br]& 2y=6\cos(x+y)[br]\end{align}[br]\right.[br][/math][br][br]Por lo tanto debe ser [math]x=y[/math], y de aquí que,[br][br][math][br]\left\{[br]\begin{align}[br]& x^{2}=3\sin 2x,\\[br]& x=3\cos 2x[br]\end{align}[br]\right.[br][/math][br][br]Este sistema no tiene soluciones (puede probarlo?).[br]