Hipercubo
Proyecciones del hipercubo en 3D
Table of Contents
- Dimensiones
- Dimensiones
- El Teseracto
- El Teseracto
- Proyección cónica con un solo punto de fuga central
- Proyección cónica con punto de fuga central
- Proyección axonométrica isométrica
- Proyección axonométrica isométrica
- El Octodelto
- El Octodelto
- Delto
- Delto
- Despiece
- Despiece
- Esto no es un cubo
- Esto no es un cubo
- Proyecciones de los ejes cartesianos
- Proyecciones de los ejes cartesianos
Dimensiones
[color=#0000ff]01 - Dimensiones[br][br]Vamos a construir un cubo por traslación.[br][br]Empezamos por un punto (A).[br][br]Lo desplazamos en una cierta dirección, una distancia determinada para obtener un segmento.[br][br]Ese segmento será una arista de nuestro cubo.[br][br]Ahora desplazamos ese segmento, la misma distancia, en una dirección que forme un ángulo de 90º con la dirección anterior. Obtenemos así un cuadrado, que es una de las seis caras de nuestro cubo.[br][br]A continuación, desplazamos ese cuadrado, la misma distancia, en una dirección perpendicular a las otras dos.[br][br]Ya hemos construído el cubo, con sus 6 caras, 12 aristas y 8 vertices.[br][br][br]En la applet de abajo, puedes ver el proceso.[br][br]• Se parte de un solo punto A.[br][br]• Pulsando el botón "Segmento", A se desplaza, creando la arista.[br][br]• A continuación, pulsando "Cuadrado", es la arista la que se desplaza, creando una cara del cubo.[br][br]• Por último, pulsando "Cubo", se desplaza esa cara, obteniéndose finalmente el cubo.[br][br]• Si quieres repetir el proceso, pulsa Punto.[/color]
[color=#0000ff]La pregunta es, [br]¿podríamos seguir adelante, desplazando ahora el cubo en una dirección perpendicular a las otras tres?[br][br]La respuesta es que si, aunque no en el espacio tridimensional, que es donde vivimos y nos movemos. [br]El único que somos capaces de experimentar.[br][br]Sobre el plano, dada una recta cualquiera y un punto sobre ella, solo podemos trazar una única perpendicular a la recta por ese punto. [br][br]Los ejes de coordenadas cartesianos se definen así. Sobre el plano se trazan dos rectas perpendiculares, que corresponden a los ejes X e Y y que se cortan en un punto al que llamamos origen de coordenadas.[br][br]La posición de cualquier punto sobe el plano, vendrá determinada por 2 coordenadas, que son la distancia del punto a los ejes Y y X respectivamente.[br][br]Decimos que estamos trabajando en dos dimensiones. [br][br]Efectivamente, para definir la posición de un punto, necesitamos dos coordenadas. [br][br]A = (x, y)[br][br]Si pasamos al espacio tridimensional, entonces si podemos trazar una tercera perpendicular a nuestro origen de coordenadas. Pero ninguna más. Así que no podemos desplazar el cubo en una dirección perpendicular a las tres que hemos utilizado para crearlo.[br][br]Sin embargo, nada nos impide imaginar espacios de un número cualquiera de dimensiones. [br]Incluso podemos estudiarlos y deducir sus propiedades, igual que lo hacemos con el mundo tridimensional. Solo que nos tendremos que conformar con un estudio puramente algebráico, pues nos resulta imposible imaginar físicamente esos espacios de más de tres dimensiones.[br][br]El cuerpo que obtenemos desplazando el cubo sobre una cuarta dimensión, perpendicular a las otras tres, se conoce como hipercubo.[br][br]Podemos dibujar objetos tridimensionales sobre el plano, mediante diversas formas de proyección. También podemos dibujar su desarrollo.[br][br]Vamos a intentar lo mismo con el hipercubo. Trazando un objeto tridimensional que sea su proyección sobre el espacio que conocemos.[/color]
El Teseracto
[color=#0000ff]El Teseracto es una proyección del hipercubo sobre el espacio tridimensional.[br][br]Está formado por ocho celdas cúbicas de seis caras, que son la proyección del hipercubo en perspectiva cónica, con una de sus celdas cúbicas paralela al plano de proyección y con el punto de fuga central, en una recta perpendicular al plano de proyección que pasa por el centro de esa celda cúbica.[br][br]Se lo debemos a Charles Howard Hinton que, en la década de 1880-90, lo definió en su obra A New Era of Though.[br][br]En la proyección cónica-centrada de un cubo, las seis caras de la proyección no son iguales. [br][br]Resultan dos cuadrados de distinto tamaño y cuatro trapecios intercalados entre ambos.[br][br]El caso del Teseracto es análogo. Dos de las celdas cúbicas resultan en dos cubos centrados entre si, de diferente tamaño y seis celdas cúbicas, de forma tronco-piramidal, intercaladas entre ambos cubos.[br][br]El Teseracto se representa como si fuese transparente, para que sea posible distinguir sus celdas cúbicas. [br][br]Solo una celda es visible directamente —el cubo más grande— todas las demás, están ocultas en el interior de ésta.[br][br]El applet de abajo, si arrancas la animación, te ayudará a distinguir las ocho celdas cúbicas del Teseracto.[/color]
Proyección cónica con punto de fuga central
[color=#0000ff]El Teseracto es una proyección cónica-central del hipercubo.[br][br]Observa la analogía con la proyección cónica del cubo, si el plano de proyección es paralelo a una de las caras y el punto de fuga está sobre la recta que pasa por el centro de esa cara y su opuesta.[br][br]En el caso del cubo, la proyección resulta en seis cuadriláteros. [br][br]Dos cuadrados de diferente tamaño, centrados entre si, que corresponden a las caras paralelas al plano de proyección y cuatro trapecios simétricos, que corresponden a las cuatro caras restantes.[br][br]En el applet puedes ver la proyección cónica-centrada de un cubo. [br][br]Puedes experimentar desplazando directamente el punto de fuga sobre la recta perpendicular al plano que pasa por el centro del cubo y acercando o alejando el plano de proyección mediante el deslizador.[/color]
Proyección axonométrica isométrica
[color=#0000ff]En una proyección cónica centrada, como es el caso del Teseracto, solo resulta visible una celda cúbica, mientras las otras siete quedan ocultas en su interior.[br][br]Lo mismo sucede al proyectar así el cubo sobre el plano. Solo resulta visible una cara del cubo. [br]Las otras cinco quedan ocultas.[br][br]Por el contrario, en otro tipo de proyecciones, como la axonométrica-isométrica, son tres las caras del cubo que quedan a la vista y tres ocultas. [br][br]Además, la proyección resulta igual para todas las caras del cubo.[br][br]¿Se puede proyectar un hipercubo en axonométrico-isométrico y ver así, en el espacio, cuatro de sus celdas cúbicas?[br][br]La respuesta es si.[br][br]La figura resultante es un rombo-dodecaedro que llamaré Octodelto en honor a mi padre que estudió esta proyección. [br][br]Él llamaba Deltos a las celdas cúbicas que aparecen en la proyección. [br]Dado que hay ocho Deltos, cuatro visibles y cuatro ocultos, el conjunto de los ocho Deltos forma el Octodelto.[br][br]En el applet a continuación vemos la proyección de un cubo sobre un plano en axonométrico-isométrico. Las seis caras del cubo quedan representadas por 6 rombos iguales formados por dos triángulos equiláteros. de manera que, si llamamos D y d a las diagonales de esos rombos, se cumplirá D = d√3.[/color]
El Octodelto
[color=#0000ff]La proyección axonométrica-isométrica del hipercubo sobre el espacio tridimensional, puede verse en el applet de abajo.[br][br]Los ocho Deltos que constituyen el Octodelto son paralelepípedos oblicuos iguales, cuyas caras son seis rombos iguales, que cumplen la relación D = d√2[br][br]De estos ocho Deltos, resultan visibles cuatro, que en el applet se distinguen mediante los colores rojo, verde, azul y amarillo.[br][br]En la proyección axonométrica-isométrica, además, los cuatro ejes coordenados X, Y, Z y W, resultan visibles proyectados sobre el espacio tridimensional. [br][br]En el applet, estos ejes se distinguen, también, por sus colores, rojo, verde, azul y amarillo, para X, Y, Z y W respectivamente.[br][br]Para hacer patentes los Deltos ocultos, la animación del applet esconde los Deltos que impiden verlos.[br][br]Estos Deltos ocultos, son las celdas opuestas a los Deltos visibles. Y están sobre el mismo eje de coordenadas. En el applet aparecen del mismo color, pero con mayor transparencia.[/color]
Delto
[color=#0000ff]Como ya hemos dicho, los Deltos son paralelepípedos oblicuos, cuyas caras son seis rombos iguales, que cumplen la relación D = d√2.[br][br]Las caras contiguas de un Delto, forman ángulos de 60º y 120º.[br][br]Las seis diagonales mayores de sus caras forman dos triángulos equiláteros, paralelos entre si y perpendiculares al eje de coordenadas sobre el que se proyecta el Delto.[br][br]En el Octodelto, los Deltos contiguos forman ángulos de 120º entre si.[br][br]Estas propiedades puedes verlas en los siguientes applets.[/color]
Despiece
[color=#0000ff]En cualquier tipo de proyección sobre el plano de un cubo, resultan caras visibles y caras ocultas. [br][br]Si quisiéramos ver las seis caras simultaneamente, podríamos efectuar un despiece ([i]exploding[/i] en inglés) del cubo.[br][br]Puedes experimentar con el applet de abajo. [br][br]Observa que las proyecciones de las caras se desplazan, dos a dos, sobre la representación de los tres ejes X, Y, Z.[/color]
[color=#0000ff]Análogamente, podríamos ver simultaneamente los ocho deltos de Octodelto haciendo un despiece del mismo.[br][br]Puedes experimentarlo con el applet de abajo. Primero arranca la animación, para hacer girar el Octodelto. [br][br]Después, con el deslizador, puedes ver el despiece y los ocho Deltos simultaneamente.[br][br]Si te fijas bien, también puedes ver como se encajan los ocho deltos formando el Octodelto.[/color]
Esto no es un cubo
[color=#0000ff]En la proyección central sobre el plano, uno de los tres ejes es perpendicular al plano de proyección, por lo que, aparece como un punto.[br][br]Por contra, en otro tipo de proyecciones, como es el caso de la axonométrica-isométrica, los tres ejes X, Y y Z pueden aparecer sobre el plano de proyección.[br][br]Esto hace posible obtener la proyección de un cubo mediante el método utilizado en el capítulo 1. [br][br]Es decir:[br][br]Desplazando primero un punto sobre una de las proyecciones de los ejes, hasta obtener un segmento, que será una arista del cubo.[br][br]A continuación, desplazando el segmento obtenido en la dirección de la proyección de otro de los ejes, hasta obtener un cuadrado.[br][br]Y finalmente, desplazar el cuadrado sobre la proyección del tercer eje, hasta obtener un cubo.[/color]
[color=#0000ff]Pero ¿es un cubo lo que obtenemos?[br][br]No es un cubo, sino su representación sobre el plano.[br]Al igual que la Pipa de René Magritte no es una pipa, sino tela y pintura.[br][br]Aún y así, para los imaginarios seres de Planilandia, esta proyección, que permite ver las proyecciones de los tres ejes cartesianos y las figuras, como el cubo que creamos en el applet de arriba, les permite tener un atisbo de como puedan ser las figuras del mundo tridimensional.[/color]
[color=#0000ff]Si recurrimos a la proyección axonométrica-isométrica del espacio tetradimensional sobre nuestro espacio tridimensional, podremos también "construir" una proyección del hipercubo por el mismo método de construcción del cubo (punto, segmento, cara, cubo).[br][br]Lo que obtenemos no es un hipercubo, sino su proyección tridimensional. Que al ser la proyección axonométrica-isométrica, resulta ser un Octodelto.[br][br]Puedes hacer girar la figura y hacer zoom.[/color]
Proyecciones de los ejes cartesianos
[color=#0000ff]De la misma forma que los tres ejes cartesianos X, Y, Z pueden obtenerse trazando las rectas que pasan por el centro de las caras opuestas de un cubo, las proyecciones de los cuatro ejes X, Y, Z y W se pueden obtener trazando las rectas que pasan por el centro de las caras opuestas de un octaedro.[br][br]¿Por qué?[br][br]Pues el caso es que no lo sé.[br][br]Sé solo lo justo de geometría proyectiva, como para comprobar que es así.[br][br]Fue mi padre, que era un enamorado de la geometría proyectiva, quien llegó a esa conclusión.[/color]
[color=#0000ff]¿Hay alguna forma más sencilla de trazar las proyecciones de estos ejes? [br][br]La hay.[br][br]Como el cubo es el poliedro dual del octaedro regular, las proyecciones de los cuatro ejes tetradimensionales sobre el espacio tridimensional, también pueden trazarse uniendo entre si los vértices opuestos de un cubo.[/color]
[color=#0000ff]El ángulo sólido comprendido entre las proyecciones de los cuatro ejes es 4π/6 sr = 2π/3 sr[/color]