Mathematik Nachhilfe
Mathematik Nachhilfe
Table of Contents
- Kapitel 1 - Einheitskreis
- Der Einheitskreis
- Einheitskreis Teil 2
- Winkelfunktionen
- Symmetrien am Einheitskreis
- Kapitel 2 - Sinus, Kosinus und Tangens
- Die Sinus- und die Kosinusfunktion
- Die Tangensfunktion
- Die Tangensfunktion 2
- Kapitel 3 - Funktionen und Funktionsgraphen
- Verschiedene Funktionstypen
- Kapitel 4 - Dreiecke und Vermessungsaufgaben
- Sinussatz und Kosinussatz
Der Einheitskreis
Sinus und Kosinus
Als [b][color=#ff7700]Einheitskreis[/color][/b] bezeichnet man einen Kreis mit dem [b][color=#ff7700]Radius von 1[/color][/b], dessen Mittelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems liegt.
Einheitskreis
[left][/left]Überlege welche Werte [b][color=#0000ff]Sinus[/color][/b] und [color=#6aa84f][b]Kosinus[/b][/color] annehmen können. Wie groß können Sinus und Kosinus maximal werden? (Begründung mit [color=#1e84cc][url=https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_des_Pythagoras]Satz des Pythagoras[/url][/color])
Verständnisfrage
Bei welchem Winkel [math]\alpha[/math] < 360° ist der Sinus -1? Lies den Wert an der Darstellung ab und gib nur die Zahl ohne Einheit an.
Zur Vertiefung
Welche Größe beschreibt einen Winkel kleiner als 360 Grad im Einheitskreis [b]eindeutig[/b]? Mehrere Antworten sind möglich!
Die Sinus- und die Kosinusfunktion
Die Sinusfunktion
Der [b][color=#ff7700]Sinus[/color][/b] ist eine [b][color=#ff7700]ungerade Funktion[/color][/b]. Das bedeutet [math]sin\left(-\alpha\right)=-sin\left(\alpha\right)[/math][br]Der Zusammenhang ist unten verdeutlicht. Mit dem Schieberegler kannst du α verstellen. Überlege, wie viele Nullstellen die Sinusfunktion hat!
Die Kosinusfunktion
Der [color=#ff7700][b]Kosinus[/b][/color] ist eine [b][color=#ff7700]gerade Funktion[/color][/b]. Das bedeutet [math]cos\left(-\alpha\right)=cos\left(\alpha\right)[/math][br]Den Zusammenhang siehst du wieder unten. Wie unterscheiden sich die Nullstellen der Kosinusfunktion von jenen der Sinusfunktion?
Verständnisfrage
Im Vergleich zum Sinus ist der Graph der Kosinusfunktion um ... Einheiten nach links verschoben. Ergänze!
Zur Vertiefung
Wie könnte man die [b]Menge aller Nullstellen der Sinusfunktion[/b] beschreiben?
[b][color=#ff7700]Sinus[/color][/b] und [b][color=#ff7700]Kosinus[/color][/b] teilen eine weitere zentrale Eigenschaft: die [b][color=#ff7700]Periodizität[/color][/b]. Das bedeutet, sie wiederholen sich nach einer bestimmten Zeit wieder und wieder. Auf der Grafik wird das bei der Sinusfunktion durch die Strecke [color=#6aa84f]w[/color] ([i]Periodizität Sinusfunktion[/i] muss angewählt sein) verdeutlicht.
Verständnisfrage
Wie groß ist w?
Verschiedene Funktionstypen
Die Polynomfunktion
[b][color=#ff7700]Polynomfunktionen[/color][/b] werden auch als [b][color=#ff7700]ganzrationale Funktionen[/color][/b] beschrieben. Im Allgemeinen haben sie die Form [math]f\left(x\right)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+a_{n-3}x^{n-3}+\ldots+a_1x^1+a_0x^0=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0[/math][br]Dabei ist [math]n\in\mathbb{N}[/math] eine natürliche Zahl und [math]a_n[/math] bis [math]a_0[/math] (das sind die sogenannten [b][color=#ff7700]Koeffizienten[/color][/b] der Funktion) reelle Zahlen. Außerdem darf [math]a_n[/math] nicht 0 sein. Die Zahl [math]n[/math] heißt [b][color=#ff7700]Grad der Funktion[/color][/b] und der erste Koeffizient, [math]a_n[/math], wird als [b][color=#ff7700]Leitkoeffizient[/color][/b] bezeichnet.[br][br]Betrachten wir zwei [b]Beispiele[/b], um die neuen Begriffe zu verdeutlichen:[br][list][*]Die Funktion mit der Funktionsgleichung [math]f\left(x\right)=-2x^3+x^2-5x+7[/math] ist eine Polynomfunktion von [b]Grad[/b] [b]3[/b] mit dem Leitkoeffizienten [math]a_3=-2[/math]. Die anderen Koeffizienten sind [math]a_2=1[/math], [math]a_1=-5[/math] und [math]a_0=7[/math].[/*][*]Die Funktion mit der Funktionsgleichung [math]f\left(x\right)=x^5+4x^3-\sqrt{2}x^2+\pi[/math] ist eine Polynomfunktion [b]5. Grades[/b] mit dem Leitkoeffizienten [math]a_5=1[/math]. Außerdem sind [math]a_4=0[/math], [math]a_3=4[/math], [math]a_2=-\sqrt{2}[/math], [math]a_1=0[/math] und [math]a_0=\pi[/math].[/*][/list]
Verständnisfrage
Welchen Grad hat die Funktion mit der Funktionsgleichung [math]f\left(x\right)=x^2+2[/math]? Gib deine Antwort als Zahl ein!
Verständnisfrage 2
Was ist der Leitkoeffizient der Funktion aus der vorherigen Frage?
Spezialfälle
Ist der Grad einer Polynomfunktion [math]n=2[/math], so haben wir es mit einer [b][color=#ff7700]quadratischen Funktion[/color][/b] zu tun. Diese haben allgemein die Form [math]f\left(x\right)=a_2x^2+a_1x+a_0[/math].[br][br][u][b]Beispiel:[/b][/u] Die quadratische Funktion [math]f\left(x\right)=7x^2-2x+1[/math] hat die Koeffizienten 7, -2 und 1.[br][br]Nun kannst du selbst testen, wie die drei Parameter [math]a_2[/math], [math]a_1[/math] und [math]a_0[/math] eine quadratische Funktion verändern. Probiere alle Schieberegler aus!
Quadratische Funktion
Verständnisfrage
Welcher der drei Parameter verschiebt den Funktionsgraphen ausschließlich entlang der y-Achse?
Ist der Grad unserer Polynomfunktion [math]n=1[/math], so spricht man von einer [b][color=#ff7700]linearen Funktion[/color][/b]. [br]Eine [b][color=#ff7700]lineare Funktion[/color][/b] hat die Form [math]f\left(x\right)=a_1x+a_0[/math]. Dabei ist [math]a_1[/math] die [b][color=#ff7700]Steigung[/color][/b] und [math]a_0[/math] der [b][color=#ff7700]y-Achsenabschnitt[/color][/b].
Verständnisfrage
Welche Steigung hat die Funktion [math]f\left(x\right)=-x+0.5[/math]?
Nun kannst du wieder die Parameter der Funktion testen. Wie verändert sich der Graph, wenn die Steigung negativ wird? Wie verändert sich der Graph, wenn man [math]a_0[/math] vergrößert?
Verständnisfrage
Was ist der Funktionswert der Funktion [math]f\left(x\right)=3x-2[/math] an der Stelle [math]x=2[/math]? Du kannst den Wert entweder ausrechnen oder an der Graphik ablesen.
Sinussatz und Kosinussatz
Herleitung der Fläche eines Dreiecks
Im folgenden Applet basteln wir Schritt für Schritt ein Dreieck und leiten dabei dessen Flächeninhalt her. Die einzelnen Schritte sind unten genau beschrieben.
[list=1][*][u]Schritt:[/u] Wähle drei Punkte A,B und C[/*][*][u]Schritt:[/u] Seite c liegt [b]gegenüber[/b] des Punktes C und verbindet A mit B[/*][*][u]Schritt:[/u] [math]h_c[/math] ist eine Strecke, die [b]durch den Punkt C[/b] geht und die die Seite [b]c im rechten Winkel[/b] schneidet[/*][*][u]Schritt:[/u] Seite [b]b liegt gegenüber von Punkt B[/b][/*][*][u]Schritt:[/u] Seite [b]a liegt gegenüber von Punkt A[/b][/*][*][u]Schritt:[/u] Die Fläche [math]c\cdot h_c[/math] ist eingezeichnet[/*][*][u]Schritt:[/u] Beachte, dass die Seiten a und b jeweils einen Teil der Fläche [math]c\cdot h_c[/math] in die [b]Hälfte[/b] teilen[/*][*][u]Schritt:[/u] Der [b]Flächeninhalt unseres Dreiecks[/b] ist [math]\frac{c\cdot h_c}{2}[/math][/*][/list]
Herleitung des Sinussatzes
Die Winkel [math]\alpha[/math] und [math]\beta[/math] zeichnen wir bei den Punkten A und B ein. Wie wir einfach mit der Formel [math]sin=\frac{GK}{H}[/math] errechnen können, ergeben sich [math]sin\left(\alpha\right)=\frac{h_c}{b}[/math] und [math]sin\left(\beta\right)=\frac{h_c}{a}[/math]. Diese beiden Formeln können wir nun nach [math]h_c[/math] umformen und erhalten: [math]h_c=sin\left(\alpha\right)\cdot b=sin\left(\beta\right)\cdot a[/math].[br]Für den Flächeninhalt unseres Dreiecks gilt daher: [math]\frac{c\cdot h_c}{2}=\frac{c\cdot b\cdot sin\left(\alpha\right)}{2}=\frac{c\cdot a\cdot sin\left(\beta\right)}{2}[/math][br]Die obigen 8 Schritte hätten wir uns genauso mit b und [math]h_b[/math] (im Bild eingezeichnet) oder mit a und [math]h_a[/math] überlegen können. Für den Flächeninhalt A des Dreiecks gilt [math]A=\frac{a\cdot h_a}{2}=\frac{b\cdot h_b}{2}=\frac{c\cdot h_c}{2}[/math][br][math]h_b[/math] können wir auch (siehe Abbildung) mit [math]a\cdot sin\left(\gamma\right)[/math] ausdrücken. Wir erhalten für den Flächeninhalt:[br][math]A=\frac{a\cdot h_a}{2}=\frac{b\cdot a\cdot sin\left(\gamma\right)}{2}=\frac{c\cdot b\cdot sin\left(\alpha\right)}{2}=\frac{c\cdot a\cdot sin\left(\beta\right)}{2}[/math][br]Durch Division durch [math]\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot c[/math] erhalten wir:[br][math]\frac{sin\left(\gamma\right)}{c}=\frac{sin\left(\alpha\right)}{a}=\frac{sin\left(\beta\right)}{b}[/math][br]Das ist der [b][color=#ff7700]Sinusssatz[/color][/b]