0. Was ist eine ganzrationale Funktion?[br]1. Untersuchung des Grenzwertverhaltens[br] Teste dich! - Teil 1[br] Teste dich! - Teil 2[br]2. Untersuchung auf Elementarsymmetrie[br] Teste dich! - Teil 3[br]3. Schnittpunkt mit der y-Achse (y-Achsenabschnitt)[br]4. Schnittpunkt(e) mit der x-Achse (Nullstellen)[br] Teste dich! - Teil 4[br] Teste dich! - Teil 5[br] Teste dich! - Teil 6[br] Teste dich! - Teil 7

Eine ganzrationale Funktion (auch Polynom genannt) ist eine Funktion der Form[br][math]f\left(x\right)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_2x^2+a_1x+a_0[/math].[br]Dabei ist [math]n[/math] eine natürliche Zahl ([math]n\in\mathbb{N}[/math]) und wird als Grad der Funktion bezeichnet. Die Vorfaktoren [math]a_i[/math] mit [math]i\in\left[0;n\right][/math] nennt man auch Koeffizienten.[br][br]Beispiele für ganzrationale Funktionen:[br][list][*][math]n=0[/math]: Konstante Funktion: [math]f\left(x\right)=a_0[/math][/*][*][math]n=1[/math]: Lineare Funktion: [math]f\left(x\right)=a_1x+a_0[/math][br][/*][*][math]n=2[/math]: Quadratische Funktion: [math]f\left(x\right)=a_2x^2+a_1x+a_0[/math][br][/*][*][math]n=3[/math]: Kubische Funktion: [math]f\left(x\right)=a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0[/math][br][/*][*][math]n=4[/math]: Funktion vom Grad 4: [math]f\left(x\right)=a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0[/math][/*][/list]

[table][tr][td][/td][td]Grad [math]n[/math] gerade[br]([math]n=0,2,4,...[/math])[br][br][/td][td]Grad [math]n[/math] ungerade[br]([math]n=1,2,3,5,...[/math])[br][/td][/tr][tr][td]Koeffizient [math]a_n[/math] positiv[/td][td][math]\lim_{x\to\infty}f\left(x\right)=+\infty[br][br][/math][br][math]\lim_{x\to-\infty}f\left(x\right)=+\infty[/math][br][color=#1e84cc]Beispiel: [math]f\left(x\right)=3x^4-2x^2+4[/math][br][br][/color][/td][td][math]\lim_{x\to\infty}f\left(x\right)=+\infty[/math][br][math]\lim_{x\to-\infty}f\left(x\right)=-\infty[/math][br][color=#1e84cc]Beispiel: [math]f\left(x\right)=4x^3+7x^2-x+2[/math][br][br][/color][/td][/tr][tr][td]Koeffizient [math]a_n[/math] negativ[/td][td][math]\lim_{x\to\infty}f\left(x\right)=-\infty[/math][br][math]\lim_{x\to-\infty}f\left(x\right)=-\infty[/math][br][color=#1e84cc]Beispiel: [math]f\left(x\right)=-2x^6+3x^5-x^3-1[/math][/color][/td][td][math]\lim_{x\to\infty}f\left(x\right)=-\infty[/math][br][math]\lim_{x\to-\infty}f\left(x\right)=+\infty[/math][br][color=#1e84cc]Beispiel: [math]f\left(x\right)=-2x^3+x^2+x-5[/math][/color][/td][/tr][/table]

Für alle Funktionen gilt:[br][list][*]Eine Funktion [math]f[/math] ist genau dann achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn [math]f\left(-x\right)=f\left(x\right)[/math] gilt.[/*][*]Eine Funktion [math]f[/math] ist genau dann punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn [math]f\left(-x\right)=-f\left(x\right)[/math] gilt.[/*][/list][br]Speziell für ganzrationale Funktionen gilt:[br][list][*]Eine ganzrationale Funktion [math]f[/math] ist genau dann [u]achsensymmetrisch zur y-Achse,[/u] wenn die Funktionsgleichung nur [math]x[/math]-Potenzen mit geraden Exponenten enthält.[/*][*]Eine ganzrationale Funktion [math]f[/math] ist genau dann [u]punktsymmetrisch zum Ursprung,[/u] wenn die Funktionsgleichung nur [math]x[/math]-Potenzen mit ungeraden Exponenten enthält.[/*][/list][color=#1e84cc]Beispiel:[br][/color]Die Funktion [math]f\left(x\right)=2x^4-5x^2+3[/math] ist achsensymmetrisch zu y-Achse (nur gerade Exponenten: 4, 2, 0). [br]Die Funktion [math]g\left(x\right)=-2x^5+x^3-x[/math] ist punktsymmetrisch zum Ursprung (nur ungerade Exponenten: 5, 3, 1).[br]Die Funktion [math]h\left(x\right)=2x^4+3x^2-x[/math] weist keine Elementarsymmetrie auf (sowohl gerade als auch ungerade Exponenten: 4, 2, 1).

Der Schnittpunkt mit der [math]y[/math]-Achse ergibt sich durch Ausrechnen des Wertes [math]f\left(0\right)[/math]. Für jede ganzrationale Funktion gilt [math]f\left(0\right)=a_0[/math]. Der Schnittpunkt mit der [math]y[/math]-Achse ist dann [math]S_y\left(0|a_0\right)[/math].[br][color=#1e84cc]Beispiel:[br][/color]Der Schnittpunkt der Funktion [math]f\left(x\right)=-x^3+2x^2-4[/math] mit der [math]y[/math]-Achse beträgt [math]S_y\left(0|-4\right)[/math].

Jede ganzrationale Funktion hat maximal so viele reelle Nullstellen wie ihr Grad [math]n[/math] angibt (Folgerung aus dem Fundamentalsatz der Algebra). Ist der Grad [math]n[/math] ungerade, so hat die Funktion mindestens eine reelle Nullstelle (Folgerung aus dem Grenzwertverhalten). Die Nullstellen berechnen sich über den Ansatz [math]f\left(x\right)=0[/math].[br][br]Es gibt mehrere Methoden, um Nullstellen zu berechnen: Bei quadratischen Gleichungen entweder umformen oder p-q-Formel, bei ganzrationalen Funktionen mit ausschließlich geraden Exponenten der [math]x[/math]-Potenzen bietet sich die Substitution an, anschließend [math]p[/math]-[math]q[/math]-Formel. Ist die ganzrationale Funktion in einer Produktdarstellung gegeben, können die einzelnen Faktoren gleich Null gesetzt werden.[br][br][color=#1e84cc]Beispiele:[/color][list=1][*][math]p[/math][color=#333333]-[math]q[/math]-Formel[br][math]f\left(x\right)=-2x^2-6x+20[/math][br]Ansatz: [math]f\left(x\right)=0\quad\Longleftrightarrow\quad-2x^2-6x+20=0\quad|:\left(-2\right)[/math][br][math]\Leftrightarrow\quad x^2+3x-10=0[/math][br][math]p[/math]-[math]q[/math]-Formel: [math]x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}[/math] mit [math]p=3[/math] und [math]q=-10[/math].[br][math]\Longrightarrow\quad x_{1,2}=-\frac{3}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2+10}=-1,5\pm\sqrt{12,25}=-1,5\pm3,5[/math][br][math]\Longrightarrow\quad x_1=2\quad\wedge\quad x_2=-5[/math] [br][br][/color][/*][*][color=#333333]Substitution[br][math]g\left(x\right)=x^4-20x^2+64[/math][br]Ansatz: [math]g\left(x\right)=0\quad\Longleftrightarrow\quad x^4-20x^2+64=0[/math][br]Substitution: Wähle [math]z=x^2[/math].[br][math]\Longrightarrow\quad g\left(z\right)=z^2-20z+64[/math][br]Dann weiter mit [math]p[/math]-[math]q[/math]-Formel: [math]z_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}[/math] mit [math]p=-20[/math] und [math]q=64[/math].[br][math]\Longrightarrow\quad z_{1,2}=10\pm6[/math][br][math]\Longrightarrow\quad z_1=16\quad\wedge\quad z_2=4[/math][br]Rücksubstitution: [math]x=\pm\sqrt{z}[/math][br][math]\Longrightarrow\quad x_1=\sqrt{z_1}=4\quad\wedge\quad x_2=-\sqrt{z_1}=-4\quad\wedge\quad x_3=\sqrt{z_2}=2\quad\wedge\quad x_4=-\sqrt{z_2}=-2[/math][br][br][/color][/*][*][color=#333333]Faktorenbetrachtung ("Ablesen")[br][math]h\left(x\right)=x\cdot\left(x+1\right)\cdot\left(x-3\right)^2[/math][br]Faktor 1: [math]x_1=0[/math][br]Faktor 2: [math]x+1=0\quad\Longrightarrow\quad x_2=-1[/math][br]Faktor 3: [math]\left(x-3\right)^2=0\quad\Longrightarrow\quad x_{3,4}=3[/math][/color][/*][/list]