Mittelwerte werden berechnet, um aus einer großen Menge Zahlen eine Zahl zu bestimmen, die stellvertretend für alle sein kann. Es gibt verschiedene Mittelwerte. Hier werden wir wieder das Beispiel der Einwohnerzahlen der deutschen Bndesländer als Beispiel heranziehen:

Dies ist eigentlich ein kompliziertes Wort für das, was die meisten Schüler:innen schon unter "Durchschnitt" kennen: [br][list=1][*]Zähle alle gegebenen Werte zusammen[/*][*]Teile das Ergebnis der Summe durch die Anzahl der Summanden:[/*][/list][br]Beispiel: Das arithmetische Mittel der Einwohnerzahlen ist[br][math]\overline{x}=\frac{1}{16}(17925+13177+11125+...+1611+982+676)=5202,25[/math][br]Die Angaben sind in Tausend. Das heißt "im Schnitt" leben in jedem Bundesland etwa 5,2 Millionen Menschen.

Ein schönes Beispiel hierfür ist eine Klassenarbeit. Bei Klassenarbeiten wird oft ein Notenspiegel bekannt gegeben. Der könnte mit Zensuren von 1 bis 6 so aussehen:[br][math][br]\begin{array}{l|c|c|c|c|c|c}[br]\text{Zensur}&1&2&3&4&5&6\\[br]\hline[br]\text{Häufigkeit}&2&5&8&6&5&1[br]\end{array}[br][/math][br]Hier sind in er ersten Zeile die Ergebnisse [math]x_i[/math] angegeben und in der zweiten Zeile die Häufigkeit [math]h_i[/math] der Ergebnisse. Insgesamt haben [math]2+5+8+6+5+1=27[/math] Schülerinnen und Schüler mitgeschrieben.[br]Nun könnten man alle Zensuren zusammenzählen: [math]\bar x = \frac 1{27}\cdot (1+1+2+2+2+2+2+3+3...)[/math][br]Es wäre aber sehr umständlich 27 Ergebnisse zusammenzuzählen, wenn man die Häufigkeiten gegeben bekommen hat. Das gleiche Ergebnis kann man mit Hilfe der Häufigkeiten erhalten:[br][math]\bar x = \frac 1{27}\cdot (2\cdot 1+5\cdot 2+8\cdot 3+6\cdot 4+5\cdot 5+1\cdot 6) =\frac{91}{27}\approx 3,37[/math][br]Das Durchschnittsergebnis der Klassenarbeit ist also die Note [math]\overline{x}\approx3,37[/math].[br]

Um den Median zu bestimmen, muss man die Messwerte erste der Größe nach ordnen. Dann ist der Median die mittlere Zahl dieser geordneten Zahlenreihe. Wenn es eine Gerade Anzahl von Messwerten gibt, dann ist der Median das arithmetische Mittel aus den beiden mittleren Werten:[br][br][b]Beispiel Einwohner der Bundesländer[/b]:[br]Die Liste der Bundesländer oben ist bereits nach der Einwohnerzahl geordnet. Da es eine gerade Anzahl von Zahlen ist, müssen wir die beiden mittleren Zahlen heraussuchen und davon das arithmetische Mittel bilden: In der Mitte sind Berlin und Schleswig Holstein: Der Median ist dann:[br][math]x_{Med}=\frac{1}{2}\cdot(3677+2922)=\frac{6599}{2}\approx3299,5[/math][br]Der Median ist hier also eine Einwohnerzahl von etwa 3,3 Millionen, da die Zahlen ja Tausender bedeuten.[br]Das heißt, dass die Hälte der Bundesländer weniger Einwohner hat, als 3,3 Millionen und eine Hälte der Bundesländer hat mehr Einwohner als 3,3 Millionen.[br][br]Hier ist auch zu sehen, dass der Median und das arithmetische Mittel durchaus sehr unterschiedlich sein können. Man sagt, dass der Median ein wichtiges Maß ist, wenn es unter den Messwerten sogenannte "Ausreißer" gibt, also Zahlen, die ungewöhnlich groß oder klein sind. Ein arithmetisches Mittel würden solche Ausreißer verfälschen, der Median "merkt" davon nichts.

Um von der Klassenarbeit den Median zu bestimmen, müssen alle 27 ergebnisse ausgeschrieben werden:[br]1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6[br]Die mittlere Zahl davon ist die 14te Zahl und das ist eine 3.[br]Das heißt mehr als die Hälfte der Klassenarbeiten waren eine drei oder besser und mehr als die Hälfte waren eine drei oder schlechter.

Der Modus oder Modalwert ist dann wichtig, wenn es Werte gibt, die häufiger vorkommen. So ist die häufigste Note bei der oben genannten Klassenarbeit die drei, weil diese 8 mal vorkommt. Alle anderen Noten sind seltener. Daher ist der Modus oder der Modalwert dieser Klassenarbeit die 3.[br][br][b]Der Modus oder Modalwert ist der Messwert, der am häufigsten vorkommt.[/b]