Funktionseigenschaften
Funktionseigenschaften, Änderungsmaße
Table of Contents
- Eigenschaften
- Was ist eine Nullstelle?
- lokale/globale Extremstellen
- Nullstellen, Monotonie, Fixpunkte, Extrempunkte
- Umkehrfunktion graphisch
- Ungerade Funktionen
- Gerade Funktionen
- Änderungsmaße
- Änderungsmaße
- Änderungsmaße
- Potenzfunktionen
- Potenzfunktionen: Erkundung
- Graphen von Potenzfunktionen zuordnen
- Verschieben und Strecken von Potenzfunktionen: Einfluss der Parameter
- Polynomfunktion
- Polynomfunktion
- Grad von Polynomfunktionen erkennen
Was ist eine Nullstelle?
Verschiebe die Parabel im Schaubild unten, indem du den Parameter [math]e[/math] mit dem Schieberegler veränderst.[br]Beobachte, an welchen Punkten der Graph die [math]x[/math]-Achse schneidet!
Übernimm die folgende Definition in dein Merkheft.
Definition: Nullstelle
Eine Stelle [math]x[/math], an der eine Funktion [math]f[/math] den Wert Null annimmt, heißt Nullstelle der Funktion:[br]Für eine Nullstelle [math]x[/math] gilt: [math]f(x)=0[/math].[br]An einer Nullstelle schneidet der Graph der Funktion die [math]x[/math]-Achse (oder berührt sie).
Anzahl der Nullstellen
Betrachte nochmal das Schaubild oben. Notiere dir, für welche Werte von [math]e[/math] es bei der Funktion [math]f(x)=x^2+e[/math] keine, eine oder zwei Nullstellen gibt.
Änderungsmaße
Die Absoulte Änderung einer Funktion in einem Intervall gibt an, wie viel sich der y-Wert verändert hat.[br][br]Die relative Änderung gibt an, um wie viel Prozent sich die y-Werte (relativ zum Anfangswert) verändert haben.[br][br]Die mittlere Änderungsrate (=Differenzenquotient) gibt an, um wie viel sich die y-Werte durchschnittlich (pro x-Wert) verändert haben.[br]
Beispiel
Wir betrachten das Intervall [ 1 ; 7 ]
Die absolute Änderung im Intervall ist [math]\Delta y=f\left(7\right)-f\left(1\right)=600-200=400[/math].[br]Das heißt: Zwischen Tag 1 und Tag 7 hat sich die Anzahl an Erkrankten um 400 Personen verändert. (Sie ist um 400 Personen gestiegen, da die Änderung postiv ist).[br][br]Die relative Änderung ist [math]\frac{\Delta y}{y_0}=\frac{f\left(7\right)-f\left(1\right)}{f\left(1\right)}=\frac{400}{2}=2[/math].[br]Das heißt: Zwischen Tag 1 und Tag 7 ist die Anzahl an Erkrankten um 200% gestiegen.[br]Achtung: Der Änderungsfaktor wäre 3 (=300%), d.h. die Anzahl an Erkrankten hat sich verdreifacht.[br][br]Die mittlere Änderung ist [math]\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f\left(7\right)-f\left(1\right)}{7-1}=\frac{400}{6}\approx66,67[/math].[br]Das heißt: Zwischen Tag 1 und Tag 7 ist die Anzahl der Erkrankten um durchschnittlich 66,67 Personen pro Tag gestiegen.
Potenzfunktionen: Erkundung
[size=150][color=#0000ff][b]Definition[/b][/color][/size][br][br]Funktionen [math]f[/math] der Form[math]f\left(x\right)=a\cdot x^n[/math] heißen [b]Potenzfunktionen n-ten Grades[/b] ([math]a\in\mathbb{R},n\in\mathbb{N}[/math]).
Das folgende Applet soll dir dabei helfen, die Zusammenhänge zwischen der Funktionsgleichung [math]f\left(x\right)=a\cdot x^n[/math] und dem zugehörigen Funktionsgraphen näher zu untersuchen.
[size=150][color=#0000ff][b]1. Potenzfunktionen mit geradem Exponenten[/b][/color][/size][br][br]Bewege im Applet die Schieberegler für den Vorfaktor [i]a[/i] und den Exponenten [i]n[/i].[br]Beobachte, wie sich Funktionsgleichung und Funktionsgraph verändert.[br][br]Was fällt dir auf?[br][br]Beantworte im Anschluss die Fragen unter dem Applet.
Die Graphen aller Potenzfunktionen mit geradem Exponenten haben eine ähnliche Form. [br]Beschreibe ihren Verlauf.
Beschreibe, wie sich der Funktionsgraph verändert, wenn du den Vorfaktor [i]a[/i] veränderst.
Beschreibe, wie sich der Funktionsgraph verändert, wenn du den Exponenten [i]n[/i] veränderst.
[size=150][color=#0000ff][b]2. Potenzfunktionen mit ungeradem Exponenten[/b][/color][/size][br][br]Bewege im Applet die Schieberegler für den Vorfaktor [i]a[/i] und den Exponenten [i]n[/i].[br]Beobachte, wie sich Funktionsgleichung und Funktionsgraph verändert.[br][br]Was fällt dir auf?[br][br]Beantworte im Anschluss die Fragen unter dem Applet.
Die Graphen aller Potenzfunktionen mit ungeradem Exponenten haben eine ähnliche Form. [br]Beschreibe ihren Verlauf.
Beschreibe, wie sich der Funktionsgraph verändert, wenn du den Vorfaktor [i]a[/i] veränderst.
Beschreibe, wie sich der Funktionsgraph verändert, wenn du den Exponenten [i]n[/i] veränderst.
Polynomfunktion
Erzeugung einer Polynomfunktion (bis Grad 6)
Eine Polynomfunktion von Grad n hat höchstens n Nullstellen und n-1 lokale Extremstellen ("Knicke").[br]D.h.: Grad 2 --> höchstens 2 Nullstellen, höchstens 1 lokale Extremstelle[br] Grad 3 --> höchstens 3 Nullstellen, höchstens 2 lokale Extremstelle[br] Grad 4 --> höchstens 4 Nullstellen, höchstens 3 lokale Extremstelle