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Funktionseigenschaften
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1. Eigenschaften
- Was ist eine Nullstelle?
- lokale/globale Extremstellen
- Nullstellen, Monotonie, Fixpunkte, Extrempunkte
- Umkehrfunktion graphisch
- Ungerade Funktionen
- Gerade Funktionen
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2. Änderungsmaße
- Änderungsmaße
- Änderungsmaße
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3. Potenzfunktionen
- Potenzfunktionen: Erkundung
- Graphen von Potenzfunktionen zuordnen
- Verschieben und Strecken von Potenzfunktionen: Einfluss der Parameter
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4. Polynomfunktion
- Polynomfunktion
- Grad von Polynomfunktionen erkennen
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Funktionseigenschaften
Elisabeth Burger, Jan 16, 2023
Funktionseigenschaften, Änderungsmaße
Table of Contents
- Eigenschaften
- Was ist eine Nullstelle?
- lokale/globale Extremstellen
- Nullstellen, Monotonie, Fixpunkte, Extrempunkte
- Umkehrfunktion graphisch
- Ungerade Funktionen
- Gerade Funktionen
- Änderungsmaße
- Änderungsmaße
- Änderungsmaße
- Potenzfunktionen
- Potenzfunktionen: Erkundung
- Graphen von Potenzfunktionen zuordnen
- Verschieben und Strecken von Potenzfunktionen: Einfluss der Parameter
- Polynomfunktion
- Polynomfunktion
- Grad von Polynomfunktionen erkennen
Was ist eine Nullstelle?
Verschiebe die Parabel im Schaubild unten, indem du den Parameter mit dem Schieberegler veränderst.
Beobachte, an welchen Punkten der Graph die -Achse schneidet!
Übernimm die folgende Definition in dein Merkheft.
Definition: Nullstelle
Eine Stelle , an der eine Funktion den Wert Null annimmt, heißt Nullstelle der Funktion:
Für eine Nullstelle gilt: .
An einer Nullstelle schneidet der Graph der Funktion die -Achse (oder berührt sie).
Anzahl der Nullstellen
Betrachte nochmal das Schaubild oben. Notiere dir, für welche Werte von es bei der Funktion keine, eine oder zwei Nullstellen gibt.
Änderungsmaße
Die Absoulte Änderung einer Funktion in einem Intervall gibt an, wie viel sich der y-Wert verändert hat.
Die relative Änderung gibt an, um wie viel Prozent sich die y-Werte (relativ zum Anfangswert) verändert haben.
Die mittlere Änderungsrate (=Differenzenquotient) gibt an, um wie viel sich die y-Werte durchschnittlich (pro x-Wert) verändert haben.
Beispiel
Wir betrachten das Intervall [ 1 ; 7 ]
Die absolute Änderung im Intervall ist .
Das heißt: Zwischen Tag 1 und Tag 7 hat sich die Anzahl an Erkrankten um 400 Personen verändert. (Sie ist um 400 Personen gestiegen, da die Änderung postiv ist).
Die relative Änderung ist .
Das heißt: Zwischen Tag 1 und Tag 7 ist die Anzahl an Erkrankten um 200% gestiegen.
Achtung: Der Änderungsfaktor wäre 3 (=300%), d.h. die Anzahl an Erkrankten hat sich verdreifacht.
Die mittlere Änderung ist .
Das heißt: Zwischen Tag 1 und Tag 7 ist die Anzahl der Erkrankten um durchschnittlich 66,67 Personen pro Tag gestiegen.
Potenzfunktionen: Erkundung
Definition
Funktionen der Form heißen Potenzfunktionen n-ten Grades ().
Das folgende Applet soll dir dabei helfen, die Zusammenhänge zwischen der Funktionsgleichung und dem zugehörigen Funktionsgraphen näher zu untersuchen.
1. Potenzfunktionen mit geradem Exponenten
Bewege im Applet die Schieberegler für den Vorfaktor a und den Exponenten n.
Beobachte, wie sich Funktionsgleichung und Funktionsgraph verändert.
Was fällt dir auf?
Beantworte im Anschluss die Fragen unter dem Applet.
Die Graphen aller Potenzfunktionen mit geradem Exponenten haben eine ähnliche Form.
Beschreibe ihren Verlauf.
Font sizeFont size
Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
Align left
Align right
Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
Beschreibe, wie sich der Funktionsgraph verändert, wenn du den Vorfaktor a veränderst.
Font sizeFont size
Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
Align left
Align right
Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
Beschreibe, wie sich der Funktionsgraph verändert, wenn du den Exponenten n veränderst.
Font sizeFont size
Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
Align left
Align right
Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
2. Potenzfunktionen mit ungeradem Exponenten
Bewege im Applet die Schieberegler für den Vorfaktor a und den Exponenten n.
Beobachte, wie sich Funktionsgleichung und Funktionsgraph verändert.
Was fällt dir auf?
Beantworte im Anschluss die Fragen unter dem Applet.
Die Graphen aller Potenzfunktionen mit ungeradem Exponenten haben eine ähnliche Form.
Beschreibe ihren Verlauf.
Font sizeFont size
Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
Align left
Align right
Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
Beschreibe, wie sich der Funktionsgraph verändert, wenn du den Vorfaktor a veränderst.
Font sizeFont size
Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
Align left
Align right
Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
Beschreibe, wie sich der Funktionsgraph verändert, wenn du den Exponenten n veränderst.
Font sizeFont size
Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
Align left
Align right
Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
Polynomfunktion
Erzeugung einer Polynomfunktion (bis Grad 6)
Eine Polynomfunktion von Grad n hat höchstens n Nullstellen und n-1 lokale Extremstellen ("Knicke").
D.h.: Grad 2 --> höchstens 2 Nullstellen, höchstens 1 lokale Extremstelle
Grad 3 --> höchstens 3 Nullstellen, höchstens 2 lokale Extremstelle
Grad 4 --> höchstens 4 Nullstellen, höchstens 3 lokale Extremstelle
Saving…
All changes saved
Error
A timeout occurred. Trying to re-save …
Sorry, but the server is not responding. Please wait a few minutes and then try to save again.