Für die Funktion [math]f:\mathbb{R}^2 \backslash \{(0,0) \} \longrightarrow\mathbb{R};f\left(x,y\right)=\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}[/math] existiert der Grenzwert [math]\lim_{\left(x,y\right)\rightarrow\left(0,0\right)}\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}[/math] nicht.[br][br]Dies sieht man daran, dass für die [color=#0000ff][b]Folge [/b][/color][math]\left(x_n,y_n\right)=\left(\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right)[/math] der Grenzwert der Funktionswerte[br][math]\lim_{\left(x,y\right)\rightarrow\left(0,0\right)}\frac{x_n^2-y_n^2}{x_n^2+y_n^2}=\lim_{\left(x,y\right)\rightarrow\left(0,0\right)}\frac{\left(\frac{1}{n}\right)^2-\left(\frac{1}{n}\right)^2}{\left(\frac{1}{n}\right)^2+\left(\frac{1}{n}\right)^2}=0[/math] ist.[br][br]Für die [b][color=#38761d]Folge [/color][/b][math]\left(x_n,y_n\right)=\left(\frac{2}{n},\frac{1}{n}\right)[/math] erhält man hingegen als Grenzwert der Funktionswerte[br] [math]\lim_{\left(x,y\right)\rightarrow\left(0,0\right)}\frac{x_n^2-y_n^2}{x_n^2+y_n^2}=\lim_{\left(x,y\right)\rightarrow\left(0,0\right)}\frac{\left(\frac{2}{n}\right)^2-\left(\frac{1}{n}\right)^2}{\left(\frac{2}{n}\right)^2+\left(\frac{1}{n}\right)^2} = \frac{3}{5}[/math].[br][br][b]Aufgabe[/b][br]In dem Applet wird durch den [b][color=#ff0000]Punkt [/color][math]P\left(x_p,y_p\right)[/math][/b]eine [b][color=#0000ff]Folge [/color][/b][math]\left(x_n,y_n\right)=\left(\frac{x_p}{n},\frac{y_p}{n}\right)[/math]erzeugt, also beispielsweise durch [math]P\left(2,1\right)[/math] die Folge [math]\left(\frac{2}{n},\frac{1}{n}\right) _{n\in\mathbb{N}} [/math] .[br]Verschiebe den [b][color=#ff0000]Punkt P[/color][/b] von der jetzigen Position (2, 1) auf (1, 1) und beobachte die Veränderungen der [b][color=#ffd966]Folge [/color][/b][math]\left(f\left(x_n,y_n\right)\right)_{n\in\mathbb{N}}[/math].[br]Verschiebe anschließend den [b][color=#ff0000]Punkt P[/color][/b] auf andere Positionen, z. B. auf die x- oder y-Achse oder auf (-1, 2) usw.[br][br]Untersuche [b]weitere Funktionen[/b] hinsichtlich ihres Grenzwerts.