Decíamos que una función era [b]lineal[/b] cuando era de la forma [i][color=#0000ff][b]f(x) = m·x + n[/b][/color][/i][color=#333333].[/color] En ese caso, llamábamos [b]pendiente[/b] de la función al valor [i][b][color=#0000ff]m[/color][/b][/i], y [b]ordenada en el origen[/b] al valor [i][b][color=#0000ff]n[/color][/b][/i], y la gráfica correspondiente a la función es una [b]recta[/b].[br][br]Si nos dan la expresión analítica de la función, es decir, la ecuación [i][color=#0000ff][b]f(x) = m·x + n[/b][/color][/i][color=#333333], para dibujarla basta hacer una tabla de valores. Como se trata de una recta, solamente necesitaremos dos puntos, así que solo tenemos que dar dos valores a la variable [/color][i][color=#0000ff][b]x[/b][/color][/i][color=#333333].[/color][table][tr][td][b][i][color=#0000ff]x[/color][/i][/b][/td][td][b][i][color=#0000ff]y[/color][/i][/b][/td][/tr][tr][td]0[/td][td][i]f[/i](0)[/td][/tr][tr][td]1[/td][td][i]f[/i](1)[/td][/tr][/table]Siempre es recomendable tomar valores de [i][color=#0000ff][b]x[/b][/color][/i] que nos permitan hallar sus correspondientes valores de [i][color=#0000ff][b]y[/b][/color][/i] de forma sencilla, por ejemplo, 0, 1, -1... No obstante, podemos hacerlo para cualquier valor de [i][color=#0000ff][b]x[/b][/color][/i].[br]

[br]Otras veces, puede que en lugar de la expresión nos den la gráfica, y tengamos que encontrar la pendiente y la ordenada en el origen. Para ello, tendremos en cuenta lo siguiente:[br][list][*]La ordenada en el origen es el valor que toma la función cuando la variable independiente es nula, es decir, en [i][color=#0000ff][b]x = 0[/b][/color][/i]. Por tanto, podemos hallar su valor mirando dónde corta la recta al eje [b][i]OY[/i][/b].[/*][*]Para hallar la pendiente, debemos tomar dos puntos, cualesquiera, de la recta, y comparar cómo cambia la variable dependiente, es decir, la [b][i][color=#0000ff]y[/color][/i][/b], cuando crece la independiente, la [b][i][color=#0000ff]x[/color][/i][/b].[/*][/list][br]En el siguiente gráfico, puedes mover los deslizadores de la pendiente y de la ordenada en el origen y ver cómo cambia la función.

Hay un tipo particular de funciones lineales, aquellas en las que la ordenada en el origen es cero, es decir, [i][color=#0000ff][b]n = 0[/b][/color][/i]. La fórmula general de estas funciones, llamadas [b]de proporcionalidad directa[/b], es [i][color=#0000ff][b]f(x) = m·x[/b][/color][/i], y como son funciones lineales, cumplen todas las características que ya estudiamos. Pero por ser un caso especial, su manejo es mucho más sencillo. Veamos por qué.[br][br]En primer lugar, siempre conoceremos un punto de la función, ya que cuando [i][b][color=#0000ff]x = 0[/color][/b][/i][color=#333333], [/color][i][b][color=#0000ff]f(x) = m·0 = 0[/color][/b][/i]. Así, todas las funciones de proporcionalidad directa pasan por el origen de coordenadas, el punto [b][color=#0000ff][i](0, 0)[/i][/color][/b]. Entonces, para dibujarlas solo necesitamos un punto más.[br][br]Por otro lado, si nos dan la gráfica y queremos calcular su pendiente, basta tomar un punto cualquiera (distinto del origen de coordenadas) por el que pase la función, y dividir su ordenada entre su abscisa: [i][color=#0000ff][b]m = y / x[/b][/color][/i].

En una función lineal ([i][color=#0000ff][b]f(x) = m·x + n[/b][/color][/i]), siempre podremos encontrar un valor de [i][color=#0000ff][b]y[/b][/color][/i] que corresponda a alguna [i][b][color=#0000ff]x[/color][/b][/i]. Por tanto, el [b]dominio[/b] de una función lineal, cualquiera, es todo el conjunto de los números reales:[br][math]\text{Dom}f=\mathbb{R}=\left(-\infty,+\infty\right)[/math][br][br]Para la [b]imagen[/b], o [b]recorrido[/b], debemos distinguir dos casos. Si la función es constante, es decir, si [i][b][color=#0000ff]m = 0[/color][/b][/i], la imagen será un único punto:[br][math]f\left(x\right)=n\Rightarrow\text{Rec}f=\left\{n\right\}[/math][br]En cualquier otro caso, toda [i][b][color=#0000ff]y[/color][/b][/i] tendrá una correspondencia con alguna [i][b][color=#0000ff]x[/color][/b][/i], por lo que la imagen será toda la recta real:[br][math]f\left(x\right)=mx+n\Rightarrow\text{Rec}f=\mathbb{R}=\left(-\infty,+\infty\right)[/math][br][br]En cuanto a la [b]monotonía[/b], si no es constante, solamente tendrá un intervalo de [b]crecimiento[/b] (si [i][color=#0000ff][b]m > 0[/b][/color][/i]) o de [b]decrecimiento[/b] ([i][color=#0000ff][b]m < 0[/b][/color][/i]), que será toda la recta real. Así, no puede tener ni máximos ni mínimos.[br][br][br][br]Haz click debajo, donde pone «Entrada...» (esquina superior izquierda), y escribe la ecuación de una función lineal (por ejemplo, [i][color=#0000ff][b]f(x) = 4 x -2[/b][/color][/i]), y verás que aparece dibujada a la derecha. ¡Puedes dibujar todas las que quieras!