2.3.2 Vergleich von Exponential- und Potenzfunktionen

In der vorangegangenen Aktivität ging es um die natürliche Exponentialfunktion [math]f\left(x\right)=e^x[/math]. Nun vergleichen wir das Wachstum mit der von beliebigen Potenzfunktion [math]g\left(x\right)=x^n[/math] für [math]n\ge1[/math].

Aufgabe 2:

Kreuzen Sie die passenden an, welche Besonderheiten man sieht, wenn [math]n[/math] immer größer wird.[br][br]Hier sollen Sie mehrere Antworten wählen.

Alle Graphen von [math]x^n[/math] sehen für alle geraden [math]n[/math] ähnlich aus. [math]x^n[/math] ist ab einem Punkt kleiner als [math]e^x[/math]. Alle Graphen von [math]x^n[/math] sehen für alle ungeraden [math]n,n\ge3[/math] ähnlich aus. Umso größer [math]n[/math] wird umso steiler steigt der Graph. Alle Graphen von [math]x^n[/math] sehen für alle [math]n\ge1[/math] ähnlich aus. Umso größer [math]n[/math] wird umso schwächer steigt der Graph. [math]x^n[/math] ist immer kleiner als [math]e^x[/math]. [math]x^n[/math] ist immer größer als [math]e^x[/math].

Vergleich anhand zweier Punkte A und B.

Verwenden Sie die angegebene Geogebradatei für die folgenden Aufgaben:

Aufgabe 3 a)

Geben Sie die Bedeutung von d an.[br][br]Antworten Sie in einem vollständigen Satz und vergleichen Sie Ihre Antwort mit der angegebenen Lösung.

Aufgabe 3 b)

Erläutern Sie die Bedeutung, wenn [math]d=f\left(a\right)-g\left(a\right)>0[/math] gilt.[br][br]Kreuzen Sie die richtige Bedeutung an.

Der Funktionswert von [math]g\left(x\right)[/math] ist größer als der von [math]f\left(x\right)[/math] an der Stelle [math]a[/math]:[br][math]g\left(a\right)>f\left(a\right)[/math] Der Funktionswert von [math]f\left(x\right)[/math] ist größer als der von [math]g\left(x\right)[/math] an der Stelle [math]a[/math]:[br][br] [math]f\left(a\right)>g\left(a\right)[/math]

Aufgabe 3 c)

Jetzt folgt die Verallgemeinerung. Bestimmen Sie die richtigen Verallgemeinerungen aus Ihren Erkenntnissen mit den beiden Funktionen [math]f\left(x\right)=e^x[/math] und [math]g\left(x\right)=x^n[/math].

[math]f\left(x\right)[/math] strebt für [math]x\rightarrow-\infty[/math] gegen [math]0[/math]. [math]g\left(x\right)[/math] strebt für [math]x\rightarrow-\infty[/math] gegen [math]\infty[/math], wenn [math]n[/math] ungerade ist. [math]f\left(x\right)[/math] strebt für [math]x\rightarrow\infty[/math] gegen [math]\infty[/math]. [math]f\left(x\right)[/math] und [math]g\left(x\right)[/math] schneiden sich irgendwann. [math]f\left(x\right)[/math] und [math]g\left(x\right)[/math] schneiden sich nie. [math]g\left(x\right)[/math] strebt für [math]x\rightarrow-\infty[/math] gegen [math]-\infty[/math], wenn [math]n[/math] ungerade ist. [math]f\left(x\right)[/math] ist ab einem Punkt immer größer als [math]g\left(x\right)[/math] . [math]g\left(x\right)[/math] strebt für [math]x\rightarrow\infty[/math] gegen [math]\infty[/math] [math]f\left(x\right)[/math] ist ab einem Punkt immer kleiner als [math]g\left(x\right)[/math] .