EQUAZIONI e DISEQUAZIONI IRRAZIONALI
Questo Geobook, curato da Enrico Gabbi sulla piattaforma GeoGebra, offre un percorso didattico completo focalizzato sulla risoluzione di [b]equazioni[/b] e [b]disequazioni irrazionali[/b]. Il materiale include definizioni teoriche, teoremi preliminari e attività pratiche studiate per guidare gli studenti attraverso diverse tipologie di esercizi, da quelli [b]elementari[/b] a quelli più complessi con frazioni o [b]radici multiple[/b]. Il sistema integra esercizi pilota e generatori automatici per favorire un apprendimento dinamico e personalizzato della matematica.
Inhaltsverzeichnis
- Definizioni e Teoremi preliminari
- Equazioni irrazionali: definizioni
- Equazioni irrazionali
- Equazioni irrazionali elementari semplici
- Equazioni irrazionali elementari generali
- Equazioni irrazionali con 2 radici quadrate
- Equazioni irrazionali fratte
- Disequazioni irrazionali
- Disequazioni irrazionali elementari con indice dispari
- Disequazioni irrazionali elementari con indice pari: primo caso
- Disequazioni irrazionali elementari con indice pari: secondo caso
Equazioni irrazionali: definizioni
DEFINIZIONE
Un'equazione/disequazione [b]irrazionale [/b]è un'equazione/disequazione dove l'incognita compare sotto il segno di radice
DEFINIZIONE
Un'equazione/disequazione [b]irrazionale elementare[/b] è un'equazione/disequazione del tipo:[br][center][math]\Large \sqrt[n]{R\left(x\right)}\gtrless P(x)[/math][/center]con n>1.[br][br]Un caso particolare di equazione/disequazione [b]irrazionale elementare semplice[/b] è l'equazione/disequazione del tipo:[br][center][math]\Large \sqrt[n]{R\left(x\right)}\gtrless a[/math][/center]con n>1.
OSSERVAZIONE 1
La risoluzione di una qualsiasi equazione/disequazione irrazionale passa necessariamente attraverso la risoluzione di equazioni o disequazioni elementari.
OSSERVAZIONE 2
La risoluzione di una equazione/disequazione irrazionale si distingue in due casi:[br][list][*]indice della radice [b]dispari[/b][/*][*]indice della radice [b]pari[/b][/*][/list]
Equazioni irrazionali elementari semplici
RISOLUZIONE
Un'equazione [b]irrazionale elementare semplice[/b] del tipo:[br][center][math]\large \sqrt[n]{R\left(x\right)}= a\quad n\ge2[/math][/center]si risolve nel modo seguente[br][list][*]Se [b]n è dispari[/b][center][math]\large\sqrt[n]{R\left(x\right)}=a\ \longrightarrow\ \bf\it R\left(x\right)=a^n[/math][/center][/*][*]Se [b]n è pari[/b][center][math]\large\sqrt[n]{R\left(x\right)}=a\ \begin{matrix} \nearrow & a\ge0\ \longrightarrow\ \bf\it R\left(x\right)=a^n\\ \searrow& a\lt0 \ \longrightarrow\text{ impossibile} \end{matrix}[/math][/center][/*][/list]
OSSERVAZIONE
La risoluzione dell'equazione irrazionale elementare semplice non richiede alcuna condizione di esistenza del [b]radicando[/b], mentre, se l'indice è [b]pari[/b], il numero a secondo membro deve essere [b]positivo [/b]affinché l'equazione ammetta soluzioni reali.
ESERCIZIO PILOTA - INDICE DISPARI ⭐
Risolvere la seguente equazione irrazionale:[br][center][math]\large \sqrt[3]{x^2-6x-56}=-4[/math][/center]Essendo l'indice dispari è sufficiente elevare entrambi i membri al cubo:[br][math]\sqrt[3]{x^2-6x-56}=-4\ \longrightarrow\ x^2-6x-56=-64\ \longrightarrow\ x^2-6x+8=0[/math][br]Si risolve semplicemente l'equazione di secondo grado ottenendo le soluzioni:[br][math]x_{1,2}=\frac{6\pm\sqrt{36-32}}{2}=\frac{6\pm2}{2}=\begin{matrix}\nearrow&\bf 2\\[br]\searrow&\bf 4\end{matrix} [/math]
ESERCIZIO PILOTA - INDICE PARI ⭐⭐
1) Risolvere la seguente equazione irrazionale:[br][center][math]\large \sqrt[4]{3x^3-5x^2+2x+81}=3[/math][/center]Essendo l'indice [b]pari [/b]e il numero a secondo membro [b]positivo [/b]è sufficiente elevare entrambi i membri all'indice di radice:[br][math]3x^3-5x^2+2x+81=3^4\longrightarrow\ 3x^3-5x^2+2x+\cancel{81}=\cancel{81}\ \longrightarrow\ 3x^3-5x^2+2x=0[/math][br]Si risolve semplicemente l'equazione ottenendo le soluzioni:[br][math]\begin{array}{l}3x^3-5x^2+2x=0\ \longrightarrow\ x\cdot\left(3x^2-5x+2\right)=0\ \begin{matrix}\nearrow&x=0&\\ \searrow&3x^2-5x+2=0&\end{matrix}\\[br]x_{1,2}=\frac{5\pm\sqrt{25-24}}{6}=\frac{5\pm1}{6}=\begin{matrix}\nearrow&x=\frac{2}{3}\\[br]\searrow&x=1\end{matrix}\end{array}[/math][br]Quindi le soluzioni sono [br][center][math]\large \left\{0,\ \frac{2}{3},\ 1\right\}[/math][/center][br][center]____________________________________________________________________________________________________________[/center]2) Risolvere la seguente equazione irrazionale:[br][center][math]\large \sqrt[4]{3x^3-5x^2+2x+81}=-3[/math][/center]Essendo l'indice [b]pari [/b]ma il numero a secondo membro [b]negativo[/b], l'equazione è [b]impossibile[/b].
ISTRUZIONI
[list][*]Con il bottone [b]"GENERA ESPRESSIONE"[/b] si crea un nuovo esercizio, nasconde il risultato qualora sia visibile e mostra il bottone "Mostra risultato" qualora sia nascosto.[/*][*]Con lo slider [b]"Val. max" [/b]è possibile variare il valore massimo dei numeri.[/*][*]Con lo slider [b]"° max" [/b]è possibile fissare il grado massimo dell'espressione radicando.[/*][*]Con lo slider [b]"ind. max" [/b]è possibile fissare il valore massimo dell'indice di radice.[/*][*]Il bottone [b]"Mostra risultato"[/b] se premuto scompare e visualizza il risultato[/*][*]Con gli strumenti penna e cancella è possibile risolvere l'esercizio nello spazio dedicato.[/*][/list]
Equazione irrazionale elementare semplice ⭐⭐
Disequazioni irrazionali elementari con indice dispari
RISOLUZIONE
Una disequazione [b]irrazionale elementare semplice[/b] del tipo:[center][math]\large \sqrt[n]{R\left(x\right)}\gtrless P(x)\quad n\ge3\quad\text{ dispari}[/math][/center]si risolve nel modo seguente[br][center][math]\large\bf\it R\left(x\right)\gtrless [P(x)]^n[/math][/center][left]_________________________________________________________________________________________________________[/left]Nel caso particolare in cui[center][math]\large \sqrt[n]{R\left(x\right)}\gtrless a\quad n\ge3\quad\text{ dispari},\;a\in\mathbb{R}[/math][/center]si sviluppa in[center][math]\large\bf\it R\left(x\right)\gtrless a^n[/math][/center]indipendentemente dal segno di [b]a[/b].
ESERCIZIO PILOTA - caso semplice ⭐
Risolvere la seguente disequazione irrazionale:[br][center][math]\large \sqrt[3]{x^2-6x-56}\le-4[/math][/center]Essendo l'indice dispari è sufficiente elevare entrambi i membri al cubo:[br][math]\sqrt[3]{x^2-6x-56}\le-4\ \longrightarrow\ x^2-6x-56\le-64\ \longrightarrow\ x^2-6x+8\le0[/math][br]Si risolve la disequazione di secondo grado risolvendo per prima cosa l'equazione associata:[br][math]x_{1,2}=\frac{6\pm\sqrt{36-32}}{2}=\frac{6\pm2}{2}=\begin{matrix}\nearrow&\bf 2\\[br]\searrow&\bf 4\end{matrix} [/math][br]Considerando il verso della disuguaglianza, le soluzioni saranno i valori interni all'intervallo di estremi le due soluzioni dell'equazione, ovvero:[br][center][math]\large\bf 2\le x\le 4 [/math][/center]
ISTRUZIONI
[list][*]Con il bottone [b]"GENERA ESPRESSIONE"[/b] si crea un nuovo esercizio, nasconde il risultato qualora sia visibile e mostra il bottone "Mostra risultato" qualora sia nascosto.[/*][*]Con lo slider [b]"Val. max" [/b]è possibile variare il valore massimo dei numeri.[/*][*]Con lo slider [b]"° max" [/b]è possibile fissare il grado massimo dell'espressione radicando.[/*][*]Con lo slider [b]"ind. max" [/b]è possibile fissare il valore massimo dell'indice di radice.[/*][*]Il bottone [b]"Mostra risultato"[/b] se premuto scompare e visualizza il risultato[/*][*]Con gli strumenti penna e cancella è possibile risolvere l'esercizio nello spazio dedicato.[/*][/list]
Disequazione irrazionale elementare semplice - indice dispari ⭐
ESERCIZIO PILOTA - caso generale ⭐⭐
Risolvere la seguente disequazione irrazionale:[br][center][math]\large \sqrt[3]{18x^2+37x+70}\ge x+4[/math][/center]Essendo l'indice dispari è sufficiente elevare entrambi i membri al cubo:[br][math]\begin{array}{l}\sqrt[3]{18x^2+37x+70}\ge x+4\ \longrightarrow\ 18x^2+37x+70\ge\left(x+4\right)^3\ \longrightarrow\ 18x^2+37x+70\ge x^3+12x^2+48x+64\ \longrightarrow\dots\longrightarrow\\[br]\longrightarrow\ \large\bf x^3-6x^2+11x-6\le0\end{array}[/math][br]Si risolve la disequazione di terzo grado risolvendo per prima cosa l'equazione associata:[br][math]\begin{array}{l}x^3-6x^2+11x-6=0\ \longrightarrow\ \text{Metodo di Ruffini}\ \longrightarrow\ \bf{ x=1}\ \longrightarrow\ 1-6+11-6=0\\ \\[br]\begin{array}{r|ccc|l}[br] & 1 & -6 & 11 & -6\\ [br]1 & & 1 & -5 & 6\\[br]\hline[br] & 1 & -5 & 6 & /\end{array}[br]\longrightarrow\ (x-1)\cdot(x^2-5x+6)=0 \\[br]x_{1,2}=\frac{5\pm\sqrt{25-24}}{2}=\frac{5\pm1}{2}=\begin{matrix}\nearrow&\bf x=2\\[br]\searrow&\bf x=3\end{matrix} \longrightarrow\ \bf\left\{1,2,3\right\}[br]\end{array}[/math][br]Si realizza il grafico dei segni per la risoluzione della disequazione:[br][center][img]https://docs.google.com/drawings/d/e/2PACX-1vTLc5tJsbq-pOWGeYDADWZJ8uiz4s5f8JtV2tR0j7KMjTqKJT7ynPqWkWCN3nM2MKCTLHNaDv8HzpSj/pub?w=648&h=144[/img][/center]Considerando il verso della disuguaglianza, le soluzioni sono quelle individuate dal segno negativo, ovvero:[br][center][math]\large\bf x\le1\ \vee2\le x\le3 [/math][/center]
ISTRUZIONI
[list][*]Con il bottone [b]"GENERA ESPRESSIONE"[/b] si crea un nuovo esercizio, nasconde il risultato qualora sia visibile e mostra il bottone "Mostra risultato" qualora sia nascosto.[/*][*]Con lo slider [b]"Val. max" [/b]è possibile variare il valore massimo dei numeri.[/*][*]Con lo slider [b]"° max" [/b]è possibile fissare il grado massimo dell'espressione radicando.[/*][*]Il bottone [b]"Mostra risultato"[/b] se premuto scompare e visualizza il risultato[/*][*]Con gli strumenti penna e cancella è possibile risolvere l'esercizio nello spazio dedicato.[/*][/list]