Formulieren Sie den zweiten Teil der Aussage des Schwerpunktsatzes aus der Sekundarstufe I mithilfe von Vektoren so, dass in der Gleichung nur die Eckpunkte [math]\vec{A}[/math], [math]\vec{B}[/math] und [math]\vec{C}[/math] vorkommen.[br]Das folgende Applet soll eine Hilfestellung leisten.

Beweisen Sie nun beide Teile des Schwerpunktsatzes:[br]a) Alle Seitenhalbierenden schneiden sich in einem Punkt [math]\vec{S}[/math].[br]b) Dieser Punkt [math]\vec{S}[/math] teilt die Seitenhalbierenden im Verhältnis 2:1, also [math]\vec{S}=\frac{1}{3}(\vec{A}+\vec{B}+\vec{C})[/math] .[br][br]Hier die dazu notwendigen Schritte (Das Applet oben kann Ihnen dabei helfen):[br][br]1. Geben Sie Geradengleichungen für die zwei Geraden [math]g[/math] und [math]h[/math] an, auf denen die beiden Seitenhalbierenden [br][math]s_a[/math] durch [math]\vec{A}[/math] und [math]\vec{M_a}[/math] (Gerade [math]g[/math]) und [br][math]s_b[/math] durch [math]\vec{B}[/math] und [math]\vec{M_b}[/math] (Gerade [math]h[/math]) liegen.[br][br]2. Drücken Sie beide Geradengleichungen nur durch [math]\vec{A}[/math], [math]\vec{B}[/math] und [math]\vec{C}[/math] aus. (Sie dürfen hier nicht den zweiten Teil des Schwerpunktssatzes benutzen, aber Sie wissen etwas über [math]\vec{M_a}[/math].)[br][br]3. Der gesuchte Schwerpunkt ist der Schnittpunkt der beiden Geraden. Das führt auf eine Gleichung, die nach Umformen nur noch von den beiden Vektoren [math]\overrightarrow{BA}[/math] und [math]\overrightarrow{BC}[/math] abhängt. [br][br]4. Diese Gleichung ist nur für den einfachen Fall erfüllt (s. Applet oben).[br][br]5. Daraus ergeben sich zwei Gleichungen mit den Parametern [math]t[/math] (Parameter der Geradengleichung zu [math]g[/math]) und [math]u[/math] (Parameter der Geradengleichung zu [math]h[/math]). [br][br]6. Die Lösung dieses Gleichungssystems liefert [math]\vec{S}=\frac{1}{3}(\vec{A}+\vec{B}+\vec{C})[/math].[br][br]