Geometrische Einführung von Vektoren

FACT - Was sind eigentlich Vektoren?

Der Begriff "[i]Vektor[/i]" hat in der Mathematik eine sehr allgemeine Bedeutung und findet in mehreren mathematischen Teilgebieten - neben der Geometrie auch in der Algebra und Analysis - zahlreiche Anwendungen. Jedes mathematische Objekt, welches eine bestimmte Menge von Eigenschaften (die sogenannten "[i]Vektorraumaxiome[/i]") erfüllt, ist per Definition ein Vektor. Weiterführende Informationen hierzu finden Sie unter dem folgenden Link: [color=#0000ff]https://www.studyhelp.de/online-lernen/mathe/vektorraum/[/color][br][br]Im Rahmen der analytischen Geometrie beschränken wir uns auf die geometrische Interpretation des Vektorbegriffes. Hier wird ein Vektor durch eine [b]Parallelverschiebung[/b] definiert: ein Vektor [math]\vec{v}[/math] verschiebt eine Menge von Punkten um eine bestimmte [b]Strecke [/b]([b]"Länge"[/b] des Vektors) in eine bestimmte [b]Richtung[/b]. Ein Vektor kann durch einen [b]Pfeil[/b] dargestellt werden. Dabei [i]repräsentieren[/i] Pfeile, die [b]gleich lang, parallel und gleich orientiert[/b] sind, ein und denselben Vektor.

Vektoren und Repräsentanten

Welche der dargestellten Pfeile repräsentieren denselben Vektor wie [math]\vec{v}_1[/math]?

FACT - Wie werden zwei Vektoren addiert?

Zwei Vektoren [math]\vec{u}[/math] und [math]\vec{v}[/math] werden addiert, indem man den Ursprung des einen Vektorpfeiles an die Spitze des anderen Vektorpfeiles setzt.[br][br]Addieren Sie die Vektoren durch entsprechendes Verschieben der Pfeile. Sie können die Vektoren ändern, indem Sie links die Koordinaten der Endpunkte A bzw. B ändern. Vergessen Sie dann aber nicht, die Koordinaten der Endpunkte der verschobenen Pfeile [math]A_1[/math] und [math]B_1[/math] ebenso anzupassen.

Addition

Kommutativgesetz

Addieren Sie die Vektoren [math]\vec{u}[/math] und [math]\vec{v}[/math] graphisch, indem einer der Vektoren entsprechend verschoben wird. Gilt hierbei immer das Kommutativgesetz? Überprüfen Sie dies, indem Sie beide Vektoren entsprechend verschieben. Kreuzen Sie die korrekten Antworten an.

Die Reihenfolge, in der zwei Vektoren addiert werden, spielt für den resultierenden Vektor keine Rolle. Es gilt: [math]\vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}[/math]. Bei der Addition zweier Vektoren gilt nicht immer das Kommutativgesetz. Es gibt Ausnahmen, in denen die Reihenfolge der Addition zweier Vektoren eine Rolle spielt.

FACT - Wie werden zwei Vektoren subtrahiert?

Zwei Vektoren [math]\vec{u}[/math] und [math]\vec{v}[/math] werden subtrahiert, indem man den zu subtrahierenden Vektorpfeil um 180° dreht und anschließend seinen Ursprung an die Spitze des anderen Vektorpfeiles setzt. Der um 180° gedrehte Vektorpfeil wird auch "Gegenvektor" genannt und entsprechend seiner Rolle bei der Subtraktion als [math]-\vec{u}[/math] bzw. [math]-\vec{v}[/math] bezeichnet.[br][br]Subtrahieren Sie die Vektoren durch entsprechendes Verschieben der Gegenvektorpfeile. Sie können die Vektoren ändern, indem Sie links die Koordinaten der Endpunkte A bzw. B ändern. Vergessen Sie dann aber nicht, die Koordinaten der Endpunkte der verschobenen Pfeile [math]A_1[/math] und [math]B_1[/math] ebenso anzupassen.

Subtraktion

Gegenvektor und Subtraktion

Subtrahieren Sie die Vektoren [math]\vec{u}[/math] und [math]\vec{v}[/math] graphisch, indem einer der Gegenvektoren entsprechend verschoben wird. Kreuzen Sie die korrekten Antworten an.

Bei der Subtraktion zweier Vektoren gilt das Kommutativgesetz nicht. Es gilt: [math]\vec{u}-\vec{v}=\vec{v}-\vec{u}[/math]. Die Reihenfolge, in der zwei Vektoren subtrahiert werden, spielt für den resultierenden Vektor keine Rolle. Der Gegenvektor hat die gleiche Länge wie der Originalvektor. Es gilt: [math]\vec{u}-\vec{v}=-\left(\vec{v}-\vec{u}\right)[/math]

Vergleichen Sie die Eigenschaften der Addition und Subtraktion von Vektoren mit den entsprechenden Eigenschaften der Addition und Subtraktion reeller Zahlen. Was fällt Ihnen hierbei auf?

FACT - Wie wird ein Vektor mit einer reellen Zahl multipliziert?

Ein Vektor [math]\vec{v}[/math] wird mit einer reellen Zahl [i]r[/i] (einem sogenannten [i]Skalar[/i]) multipliziert, indem der Vektorpfeil um den Faktor [i]r[/i] gestreckt wird. Der resultierende Vektor wird dann mit [math]r\cdot\vec{v}[/math] bezeichnet.[br][br]Multiplizieren Sie den Vektor [math]\vec{v}[/math] mit einer reellen Zahl [i]r[/i]. Sie können den Vektoren ändern, indem Sie links die Koordinaten die Lage der Endpunkte A bzw. B durch ziehen ändern. Beobachten Sie den resultierenden Vektor [math]\vec{u}=r\cdot\vec{v}[/math].

S-Multiplikation

Streckung und Stauchung

Multiplizieren Sie den Vektor [math]\vec{v}[/math] mit einer reellen Zahl [i]r: [math]\vec{u}=r\cdot\vec{v}[/math].[/i] Kreuzen Sie die korrekten Antworten an.

Für |[i]r|<1[/i] ist der resultierende Vektor [math]\vec{u}[/math] kürzer als [math]\vec{v}[/math]. Für r>[i]0[/i] ist der resultierende Vektor [math]\vec{u}[/math] dem Ursprungsvektor [math]\vec{v}[/math] entgegengerichtet. Für r<[i]0[/i] ist der resultierende Vektor [math]\vec{u}[/math] dem Ursprungsvektor [math]\vec{v}[/math] entgegengerichtet. Der Vektor [i] [math]\vec{u}=r\cdot\vec{v}[/math][/i] kann auch einen beliebigen Winkel mit dem Vektor [math]\vec{v}[/math] einschließen. Für |[i]r|>1[/i] ist der resultierende Vektor [math]\vec{u}[/math] länger als [math]\vec{v}[/math].

Experimentieren Sie mit der unten dargestellten Anwendung, welche zwei Vektoren zunächst jeweils mit einer reellen Zahl multipliziert und die Resultate anschließend noch addiert.

Distributivgesetz

Was gilt für den resultierenden Vektor [i] [math]r\cdot\vec{v}+r\cdot\vec{w}[/math][/i] ?

Der resultierenden Vektor [i] [math]r\cdot\vec{v}+r\cdot\vec{w}[/math][/i] entspricht dem um den Faktor [i]r[/i] gestreckten Pfeil von [i] [math]\vec{v}+\vec{w}[/math][/i] . [i] [math]r\cdot\vec{v}+r\cdot\vec{w}[/math][/i] ist zeigt für [i]r>0[/i] in die gleiche Richtung wie [i] [math]\vec{v}+\vec{w}[/math][/i] . Der resultierenden Vektor [i] [math]r\cdot\vec{v}+r\cdot\vec{w}[/math][/i] und [i] [math]\vec{v}+\vec{w}[/math][/i] können beliebige Winkel einschließen. Es gilt das Distributivgesetz: [i] [math]r\cdot\vec{v}+r\cdot\vec{w}=r\cdot\left(\vec{v}+\vec{w}\right)[/math][/i] .