Um pouco sobre os Triângulos
Este livro interativo explora o fascinante mundo dos triângulos e oferece uma abordagem abrangente, cobrindo desde os conceitos introdutórios até os mais avançados, tornando-se um recurso valioso para estudantes e professores de matemática. Com animações envolventes, exercícios práticos e representações dinâmicas, ele proporciona uma experiência visual e prática que facilita a compreensão dos principais conceitos.
Table of Contents
- Apresentação
- Introdução
- Considerações iniciais
- Triângulo
- Classificação de Triângulos
- Noções fundamentais
- Pontos notáveis no triângulo
- Cevianas e reta mediatriz
- Pontos notáveis do triângulo
- Congruência de triângulos
- Congruência de figuras planas
- Congruência de triângulos
- Semelhança de triângulos
- Semelhança de figuras planas
- Semelhança de triângulos
- Exercícios de semelhança de triângulos
- Triângulo retângulo
- Relações Métricas
- Relações Trigonométricas
- Áreas
- Áreas
- Área do triângulo
- REFERÊNCIAS
- REFERÊNCIAS
Introdução
[justify] O triângulo é o polígono mais explorado na Geometria. A sua aplicação em problemas práticos remonta há muitos séculos, isso se deve ao fato de ser o único polígono rígido, significando que eles são fortes e não se deformam facilmente, o que favorece sua aplicação em vários tipos de construções, por exemplo em pontes e estruturas rígidas. No vídeo a seguir, será exposto um pouco sobre este ente matemático e a sua importância. [/justify]
Triângulo
[justify] Definição: Dados três pontos A, B e C não colineares, a reunião dos segmentos AB, AC e BC é um triângulo.[br][br] Os elementos do triângulo são os seguintes: [br]- Lado: segmento de reta que une dois vértices;[br]- Vértice: ponto de encontro de dois lados;[br]- Ângulo interno: região interna a dois lados consecutivos;[br]- Ângulo externo: região externa a um lado e o prolongamento do lado consecutivo.[br][br]No [i]applet [/i]selecione as caixas para visualizar os componentes do triângulo.[br][/justify]
Cevianas e reta mediatriz
Cevianas
[justify] Os pontos notáveis de um triângulo são os pontos de encontro de interseção das cevianas (medianas, alturas e bissetrizes) e das mediatrizes desse um triângulo. Lembrando que cevianas são as retas, semirretas ou segmentos de reta que partem do vértice do triângulo. Destaca-se que a mediatriz não necessariamente parte do vértice do triângulo, assim não é considerada uma ceviana.[br][br] Instruções para o applet:[br]- Marque/desmarque as caixas para fazer aparecer/desaparecer os elementos descritos. [br]- Clique e arraste os vértices do triângulo para alterar sua forma. [br][/justify]
Pontos notáveis do triângulo
Observação
- No triângulo equilátero: mediana, bissetriz, altura e mediatriz são coincidentes (referente a todos os lados).[justify]- No triangulo isósceles: mediana, bissetriz, altura e mediatriz são coincidentes apenas quando for referente ao vértice oposto a base.[br][/justify]
Congruência de figuras planas
[justify] A congruência de figuras planas ocorre quando as figuras possuem a mesma natureza (forma) e as mesmas dimensões. Isso significa que os lados correspondentes dessas figuras devem ter medidas iguais, assim como os ângulos correspondentes.[/justify]
Essas ilustrações são semelhantes porque elas possuem a mesma natureza e as mesmas dimensões.
Semelhança de figuras planas
A semelhança de figuras planas ocorre quando as figuras possuem a mesma natureza (forma) e a razão entre as medidas de seus lados correspondentes é sempre constante, ou seja, os ângulos correspondentes são congruentes e lados correspondentes proporcionais.
[img width=234.63064086781773,height=170.38193951441147]https://lh7-rt.googleusercontent.com/docsz/AD_4nXfWzepKGtb5KR9PS0_S2ZgWT7lxNpdA8H7OlnPNz5HPOdeoE_tB7OlSrR1vb1Ex6pumbdCo0l6IbgawNJ2fAefpUR3r3dtwOCz3Hzhec3uazDRAN09lFUDzLQvdDVQspFfIjcxuAahjGxC1p0poWxenaMs?key=8Cf9NLfGdmFJ6aveb8oEtw[/img]
Essas ilustrações são semelhantes porque há apenas uma redução de tamanho entre elas, mas a forma é mantida. Isso significa que a razão entre as medidas dos lados é constante e os ângulos correspondentes são congruentes.[br]
Relações Métricas
Considerando um triângulo ABC, retângulo em A, e conduzindo AD perpendicular a BC, com D em BC, vamos caracterizar os elementos seguintes:[justify]BC= a: hipotenusa;[br]AC= b: cateto;[br]AB= c: cateto;[br]BD= m: projeção do cateto c sobre a hipotenusa;[br]CD= n: projeção do cateto b sobre a hipotenusa;[br]AD= h: altura relativa à hipotenusa.[/justify]
[img width=306,height=214]https://lh7-rt.googleusercontent.com/docsz/AD_4nXcPkC9Vf4uRj-Xx1qY4olab8kdqKLShZuSAF4Yf0AYPZxqC7YGHtNxJX1YQj922dd-j6Le4A6sqRblZlwNkocG3EcMyg_V9SYskWqnBr_tyyop7nUrbn0_mkQFC9TTIwTK85qP7eCUwIyN8uirtU91O5zv_?key=8Cf9NLfGdmFJ6aveb8oEtw[/img]
SEMELHANÇAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
[justify] Conduzindo a altura AD relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo ABC, obtemos dois triângulos retângulos DBA e DAC semelhantes ao triângulo ABC. A partir das semelhanças obtemos as relações métricas no triângulo retângulo, as quais estão expressas a seguir:[/justify]
A partir da soma das relações I e II obtemos o Teorema de Pitágoras, vejamos:
Questão 1
Com base no applet, responda:
a)
Arraste o deslizante e observe qual é a relação entre as áreas dos quadrados?
b)
Arraste o deslizante e verifique se a relação encontrada se mantém para todo triângulo retângulo.
c)
Escreva uma fórmula ou expressão matemática que permita expressar a relação encontrada no [i]applet[/i].
Questão 2
Na figura a seguir, AC = 3, AB = 4 e CB = 6. Determine o valor de CD.
[img width=380,height=243.34226625606237]https://lh7-rt.googleusercontent.com/docsz/AD_4nXefMB29YTJhM1y9zkaZ9ClpQeHLZMV5Vo3alK_i745DiZXCuRYuOijlIrmvA8SGLH8_3inn7UqADpypYgOKpvkdf3nMPsyRIxP6HVqvgkr3OZUdtGzp-XZGSILhKeSes03JH_YFHjfmECAfCfc-35lz3Rs?key=8Cf9NLfGdmFJ6aveb8oEtw[/img]
Áreas
[justify] As áreas foram um dos primeiros conhecimentos geométricos obtidos pelo homem, devido à necessidade de entender e agir sobre o ambiente. A busca pela delimitação de terras, mediante a observação e comparação de formas e tamanhos, levou, por exemplo, ao surgimento de cálculos de medidas de comprimento de áreas. Contudo, estes eram realizados por deduções, obtendo resultados reais sem o uso de fórmulas específicas. [br] Seguindo esse pensamento, os gregos não mediam áreas da maneira que fazemos hoje. Em seu livro Elementos, Euclides, famoso matemático, apresentava sua forma de calcular áreas, ainda que não tenha definido tal conceito. Por meio da transformação geométrica de duas regiões planas distintas em figuras de mesmo formato (pelo processo de quadratura), era possível comparar suas dimensões para determinar o seu tamanho. Para os matemáticos gregos, a palavra “igual” podia significar tanto “ser congruente” quanto “ter a mesma área”.[br] Já Heródoto, em seus escritos datados do século V a.E.C., considera que o conceito de áreas surgiu às bordas do rio Nilo, no Egito. Visto que o rio transbordava e atingia áreas habitadas, era constante a necessidade de medir as áreas das terras a serem redistribuídas entre os que sofreram prejuízos. Como os impostos eram diretamente proporcionais à área de cada lote de terra, a medição era constante, originando tal conceito.[br][/justify]
[img width=372,height=278.93037050615425]https://lh7-rt.googleusercontent.com/docsz/AD_4nXcU03rIaazPqPhs9Gi1TTj4i-Y59xNyG6gGC4H1k-lc3THAoBx6Vv_nLfAYcxEuZujs3M-xiFDEt_MX7A9kd1MPUEI6I2-LsHT9R28N9M8dUQXhxfup83Hk8UPIcUHVJUelqYingPqV2Z90l4wJWKbe_SyN?key=yfq0pMesBBLtZmOWhOCYWw[/img]
[justify] Atualmente, usamos fórmulas para calcular a área de regiões poligonais, ou seja, a área ainda possui como função quantificar o espaço bidimensional ocupado por uma forma. Dessa maneira, a área sempre será representada por um número real positivo. Apesar de não ser possível calcular as áreas de todas as superfícies geométricas a partir de uma única fórmula que use suas medidas, existem figuras elementares que podem ter suas áreas expressas por meio das seguintes relações matemáticas (fórmulas), no próximo capítulo veremos essa relação a respeito do triângulo. [/justify][justify][/justify]
REFERÊNCIAS
[left]BBC NEWS BRASIL. [b]Como o estudo dos triângulos mudou a matemática (desde antes de Pitágoras).[/b] [[i]S.l.[/i]]: BBC News Brasil, 2023. 1 vídeo (6 min). Disponível em: https://youtu.be/gsHJl7nhhgg?si=k56z-oAT04p0t8Lo. Acesso em: 8 out. 2024.[br][br]DANTE, Luiz Roberto; VIANA, Fernando Viana. [b]Teláris Essencial[/b]: Matemática: 7º ano. 1. ed. São Paulo: Ática, 2022.[br][br]DANTE, Luiz Roberto; VIANA, Fernando Viana. [b]Teláris Essencial[/b]: Matemática: 8º ano. 1. ed. São Paulo: Ática, 2022.[br][br]DANTE, Luiz Roberto; VIANA, Fernando Viana. [b]Teláris Essencial[/b]: Matemática: 9º ano. 1. ed. São Paulo: Ática, 2022.[br][br]DOLCE, Osvaldo; POMPEO, José Nicolau. [b]Fundamentos de matemática elementar 9: geometria plana[/b]. 9. ed. São Paulo: Atual, 2013. [br][br]VIEGAS, Gustavo. [b]Demonstração da soma dos ângulos internos de um triângulo[/b]. [[i]S.l[/i].]: Toda a Matemática, 2020. 1 vídeo (3 min). Disponível em: https://youtu.be/wxPAjSpgb7o?si=_dXBWZJhlM4SCm4x. Acesso em: 8 out. 2024.[br][br]MOTTA, Gabriela Barreto Mesquita [i]et al[/i]. [b]Equivalência de Áreas de Figuras Poligonais por meio da Aprendizagem Baseada em Jogos Digitais[/b]. 1.° ed. Campos dos Goytacazes: [s.n.], 2022. [i]E-book[/i].[/left]