Kombination ohne Wiederholung (Binomialkoeffizient)

[b][size=150]Schauen Sie sich folgendes Video an.[/size][/b]

Quelle: "Binomialkoeffizient verstehen - einfaches Beispiel - Erklärung" von 6auf1 unter der Lizenz CC BY

[b][size=150]Fragen zum Video[/size][/b]

1. Wann wird der Binomialkoeffizient verwendet?

2. Wie lautet die Formel für die Berechnung des Binomialkoeffizienten [math]\binom{n}{k}[/math]?

[math]\frac{n!}{k!\left(n-k\right)!}[/math] [math]\frac{k!\left(n-k\right)!}{n!}[/math] [math]\frac{k!}{\left(n-k\right)!}[/math]

3. Wie spricht man [math]\binom{n}{k}[/math] aus?[br]

[b][size=150]Anwendung[/size][/b][br][br]Sie kennen nun Situationen, in denen der Binomialkoeffizient angewendet [br]werden kann. Welche allgemeinen Regeln lassen sich nun ableiten?

Im Binomialkoeffizienten können n und k beliebige natürliche Zahlen sein, wobei k[math]\le[/math]n sein muss. Der Binomialkoeffizient beschreibt eine Auswahl von k beliebigen [br]Elementen aus einer Menge mit n Elementen. Dabei darf jedes Element nur [br]einmal ausgewählt werden. Der Binomialkoeffizient besteht aus zwei Variablen. Im Binomialkoeffizienten können n und k beliebige reelle Zahlen sein. Die obere Zahl ist die Anzahl der ausgewählten Elemente. Der Binomialkoeffizient beschreibt eine Auswahl von k beliebigen [br]Elementen aus einer Menge mit n Elementen. Dabei dürfen Elemente auch mehrmals ausgewählt werden. Die obere Zahl ist die Anzahl der Elemente in der Grundmenge. Der Binomialkoeffizient kann beliebig viele Variablen enthalten. Der Binomialkoeffizient sagt, wie wahrscheinlich es ist, dass ein Element ausgewählt wird. Der Binomialkoeffizient sagt aus, wie viele Kombinationen der Elemente möglich sind.

[size=100][size=150][b]Berechnung des Binomialkoeffizienten mit dem Taschenrechner[br][br][/b]Der Binomialkoeffizient lässt sich mit der "nCr"-Taste ("Shift" und ":") berechnen.[br]Beispiel: [math]\binom{8}{2}[/math]= 28 (TR: 8 "nCr" 2)[br][/size][/size]

[b][size=150]Berechnen Sie folgende Binomialkoeffizienten.[/size][/b][br][br]1. [math]\binom{10}{7}[/math]

2. [math]\binom{10}{3}[/math]

3. [math]\binom{7}{5}[/math]

4. [math]\binom{7}{2}[/math]

Was fällt Ihnen bei der Berechnung der Aufgaben auf?

Daraus lässt sich folgern, dass der Binomialkoeffizient [b][size=150]symmetrisch[/size][/b] ist.[br][br]Es gilt:

[math]\binom{n}{k}=\binom{n}{k-n}[/math] [math]\binom{n}{k}=\binom{n-k}{n}[/math] [math]\binom{n}{k}=\binom{n}{n+k}[/math] [math]\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}[/math]

[b]Einfache Binomialkoeffizienten[br][br][math]\binom{n}{0}[/math] [/b]ist immer

[math]\binom{n}{1}[/math] ist immer

[math]\binom{n}{n}[/math] ist immer

[b][size=150]Ergänzen Sie:[/size][/b][br]Mit dem Binomialkoeffizienten berechnet man die ___________ der Möglichkeiten, k Elemente aus einer _________ von n Elementen auszuwählen. Dabei kann jedes Element _____________ ausgewählt werden.

Welche der folgenden Situationen lassen sich mit einem Binomialkoeffizienten mathematisch beschreiben?

Auf der Speisekarte stehen acht Zutaten für Pizza. Wie viele [br]verschiedene Pizzen mit je vier verschiedenen Zutaten kann man daraus machen? In der U-Bahn sind noch sechs Plätze frei. Wir sind zu dritt. Wie viele [br]Möglichkeiten haben wir, uns jeweils unterschiedlich hinzusetzen? 12 Spielerinnen bilden ein Basketballteam. Aber nur fünf können [br]gleichzeitig am Feld sein. Wie viele Möglichkeiten hat die Trainerin, [br]das Feld zusammenzustellen? 15 Spieler bilden das Fußballteam. Nur elf dürfen gleichzeitig spielen. [br]Wie viele Möglichkeiten hat der Trainer, wenn Kilian oder Franz im Tor stehen müssen, und Gernot keinesfalls Stürmer sein darf? Lukas möchte mehr Sport machen. Er interessiert sich für Laufen, [br]Handball, Radfahren, Fechten und Taekwondo. Es gehen sich aber nur zwei Sportarten neben der Schule aus. Wie viele Wahlmöglichkeiten hat er? Familie Putz hat fünf Mitglieder. Wenn zwei davon im Garten sind, wie wahrscheinlich ist es, dass das die beiden Eltern sind? Auf der Speisekarte stehen acht Zutaten für Pizza. Wie viele verschiedene Pizzen kann man daraus machen? Sophie hat acht verschiedene Socken. Auf wie viele Arten kann sie diese paarweise kombinieren?

Kombination ohne Wiederholung (Binomialkoeffizient)

Quelle: "Binomialkoeffizient verstehen - einfaches Beispiel - Erklärung" von 6auf1 unter der Lizenz CC BY

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