[b]Propriedades do produto escalar[/b][br][br][b]Propriedade 1[/b][br]Dado um vetor [math]\vec{u}[/math] temos:[br][math]$\vec{u}\cdot\vec{u}=\parallel\vec{u}\parallel^2$[/math].[br][br][b]Demonstração[/b][br]Consideremos um vetor [math]$\vec{u}$[/math].[br]Se [math]$\vec{u}=\vec{0}$[/math] então [math]$\vec{u}\cdot\vec{u}=0$[/math] e [math]$\parallel\vec{u}\parallel^2=0$[/math] e temos o pretendido.[br]Se [math]$\vec{u}\neq\vec{0}$[/math] então [math]$\vec{u}\cdot\vec{u}=\parallel\vec{u}\parallel\times\parallel\vec{u}\parallel\times\cos(\hat{\vec{u}\vec{u}})=\parallel\vec{u}\parallel^2\times\cos(0^\circ)=\parallel\vec{u}\parallel^2\times1=\parallel\vec{u}\parallel^2$[/math].[br]e temos o pretendido demonstrado.[br][br][b]Propriedade 2[/b][br]Dados vetores [math]$\vec{u}$[/math] e [math]$\vec{v}$[/math] temos:[br][math]$\vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{v}\cdot\vec{u}$[/math] (propriedade comutativa).[br][br][b]Demonstração[/b][br]Consideremos dois vetores [math]$\vec{u}$[/math] e [math]$\vec{v}$[/math].[br]Se algum dos vetores for o vetor nulo então [math]$\vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{v}\cdot\vec{u}=0$[/math] e temos o pretendido.[br]Se nenhum dos vetores for o vetor nulo então [math]$\vec{u}\cdot\vec{v}=\parallel\vec{u}\parallel\times\parallel\vec{v}\parallel\times\cos(\hat{\vec{u}\vec{v}})=\parallel\vec{v}\parallel\times\parallel\vec{u}\parallel\times\cos(\hat{\vec{v}\vec{u}})=\vec{v}\cdot\vec{u}$[/math] [br]e temos o pretendido demonstrado.[br][br][b]Propriedade 3[/b][br]Dados vetores [math]$\vec{u}$[/math] e [math]$\vec{v}$[/math] e dado um número real [math]$\lambda$[/math] temos:[br][math]$(\lambda\vec{u})\cdot\vec{v}=\lambda(\vec{u}\cdot\vec{v})$[/math] (propriedade associativa mista).[br]Para uma demonstração geométrica desta propriedade vamos utilizar a seguinte apliqueta.[br][br][b]Demonstração:[/b][br]Sejam [math]$\vec{u}$[/math] e [math]$\vec{v}$[/math] vetores e seja [math]$\lambda$[/math] um número real.[br]Então, [math]$(\lambda\vec{u})\cdot\vec{v}=\lambda(\vec{u}\cdot\vec{v})$[/math].[br]Vamos fazer uma demonstração geométrica deste resultado no caso de [math]$\vec{u}$[/math] e [math]$\vec{v}$[/math] serem vetores não nulos (se algum dos vetores for o vetor nulo, a demonstração é trivial).[br]Consideremos vetores [math]$\vec{u}$[/math] e [math]$\vec{v}$[/math] tais que [math]$0^\circ<\hat{\vec{u}\vec{v}}<90^\circ$[/math] e seja [math]$\lambda>0$[/math].

[br]Fixado um ponto [math]$O$[/math], sejam [math]$P$[/math], [math]$Q$[/math] e [math]$R$[/math] pontos tais que [math]$\vec{OP}=\vec{u}$[/math], [math]$\vec{OQ}=\vec{v}$[/math] e [math]$\vec{OR}=\lambda\vec{u}$[/math].[br]Designemos por [math]$Q'$[/math] a projeção ortogonal de [math]$Q$[/math] sobre [math]$OP$[/math].[br]Dado que [math]$\lambda$[/math] é um número positivo, [math]$R$[/math] pertence à semirreta [math]$\dot{O}P$[/math].[br]A projeção ortogonal de [math]$Q$[/math] sobre [math]$OP$[/math] também pertence à semirreta [math]$\dot{O}P$[/math] (caso contrário, o triângulo [math]$[QOQ']$[/math] seria um triângulo retângulo com um ângulo obtuso, pois o ângulo [math]$QOQ'$[/math] seria suplementar do ângulo agudo [math]$POQ$[/math]).[br]Portanto, os vetores [math]$\vec{OR}$[/math] e [math]$\vec{OQ'}$[/math] têm o mesmo sentido e, por definição de produto escalar, tem-se:[br][math]$(\lambda\vec{u})\cdot\vec{v}=\overline{OR}\times\overline{OQ'}=(\lambda\overline{OP})\times\overline{OQ'}=\lambda(\overline{OP}\times\overline{OQ'})=\lambda(\vec{u}\cdot\vec{v})$[/math].[br][br]As demonstrações no caso de o ângulo dos vetores não ser agudo e no caso de [math]$\lambda$[/math] ser um número negativo ou zero fazem-se recorrendo a construções e raciocínios semelhantes.[br]Temos o pretendido demonstrado.

[b]Propriedade 4[/b][br]Dados vetores [math]$\vec{u}$[/math], [math]$\vec{v}$[/math] e [math]$\vec{w}$[/math] temos:[br][math]$\vec{w}\cdot(\vec{u}+\vec{v})=\vec{w}\cdot\vec{u}+\vec{w}\cdot\vec{v}$[/math] (propriedade distributiva).[br]Para uma demonstração geométrica desta propriedade vamos utilizar a seguinte apliqueta.[br][br][b]Demonstração:[/b][br]Sejam [math]$\vec{u}$[/math], [math]$\vec{v}$[/math] e [math]$\vec{w}$[/math] vetores.[br]Então [math]$\vec{w}\cdot(\vec{u}+\vec{v})=\vec{w}\cdot\vec{u}+\vec{w}\cdot\vec{v}$[/math].[br]Se algum dos vetores é o vetor nulo, a demonstração é trivial.[br]Consideremos, agora, dois casos em que nenhum dos vetores é o vetor nulo.[br][br]1.° caso: os ângulos [math]$(\hat{\vec{w}\vec{u}})$[/math], [math]$(\hat{\vec{w}\vec{v}})$[/math] e [math]$(\hat{\vec{w}(\vec{u}+\vec{v})})$[/math] são agudos.[br]Dados os vetores [math]$\vec{u}$[/math], [math]$\vec{v}$[/math] e [math]$\vec{w}$[/math] fixemos um ponto [math]$O$[/math] e sejam [math]$P$[/math], [math]$Q$[/math], [math]$R$[/math] e [math]$S$[/math] pontos tais que [math]$\overline{OP}=\vec{w}$[/math], [math]$\overline{OQ}=\vec{u}$[/math], [math]$\overline{OR}=\vec{v}$[/math] e [math]$\overline{OS}=\vec{u}+\vec{v}$[/math].[br]Designemos por [math]$Q'$[/math], por [math]$R'$[/math] e por [math]$S'$[/math] as projeções ortogonais, respetivamente, de [math]$Q$[/math], de [math]$R$[/math] e de [math]$S$[/math] sobre [math]$OP$[/math].

Então,[br][list][*][math]$\vec{w}\cdot(\vec{u}+\vec{v})=\overline{OP}\times\overline{OS'}$[/math] e[/*][*][math]$\vec{w}\cdot\vec{u}+\vec{w}\cdot\vec{v}=\overline{OP}\times\overline{OQ'}+\overline{OP}\times\overline{OR'}=\overline{OP}\times(\overline{OQ'}+\overline{OR'})$[/math][br][/*][/list]Ora, dado que os triângulos [math]$[OQQ']$[/math] e [math]$[RST]$[/math] são geometricamente iguais, tem-se que [math]$\overline{OQ'}=\overline{R'S'}$[/math] e, portanto, [math]$\overline{OS'}=\overline{OR'}+\overline{R'S'}=\overline{OQ'}+\overline{OR'}$[/math].[br]Então, [math]$\vec{w}\cdot(\vec{u}+\vec{v})=\vec{w}\cdot\vec{u}+\vec{w}\cdot\vec{v}$[/math].[br][br][br]2º caso: [math]$(\hat{\vec{w}\vec{u}})$[/math] é um ângulo agudo e [math]$(\hat{\vec{w}\vec{v}})$[/math] e [math]$(\hat{\vec{w}(\vec{u}+\vec{c})})$[/math] são ângulos obtusos.[br]Dados os vetores [math]$\vec{u}$[/math], [math]$\vec{v}$[/math] e [math]$\vec{w}$[/math], fixemos um ponto [math]$O$[/math] e sejam [math]$P$[/math], [math]$Q$[/math], [math]$R$[/math] e [math]$S$[/math] pontos tais que [math]$\overline{OP}=\vec{w}$[/math], [math]$\overline{OQ}=\vec{u}$[/math], [math]$\overline{OR}=\vec{v}$[/math] e [math]$\overline{OS}=\vec{u}+\vec{v}$[/math].[br]Designemos por [math]$Q'$[/math], por [math]$R'$[/math] e por [math]$S'$[/math] as projeções ortogonais, respetivamente, de [math]$Q$[/math], de [math]$R$[/math] e de [math]$S$[/math] sobre [math]$OP$[/math].

Então,[br][list][*][math]$\vec{w}\cdot(\vec{u}+\vec{v})=-\overline{OP}\times\overline{OS'}$[/math] e[/*][*][math]$\vec{w}\cdot\vec{u}+\vec{w}\cdot\vec{v}=\overline{OP}\times\overline{OQ'}-\overline{OP}\times\overline{OR'}=\overline{OP}\times(\overline{OQ'}-\overline{OR'})$[/math][/*][/list]Ora, dado que os triângulos [math]$[OQQ']$[/math] e [math]$[RST]$[/math] são geometricamente iguais, tem-se que [math]$\overline{OQ'}=\overline{R'S'}$[/math] e, portanto, [math]$\overline{OS'}=\overline{OR'}-\overline{R'S'}=\overline{OR'}+\overline{OQ'}$[/math].[br]Então, [math]$-\overline{OS'}=\overline{OQ'}-\overline{OR'}$[/math] e, finalmente, [math]$\vec{w}\cdot(\vec{u}+\vec{v})=\vec{w}\cdot\vec{u}+\vec{w}\cdot\vec{v}$[/math].[br]Temos o pretendido demonstrado.[br][br]As visualizações noutras situações fazem-se recorrendo a construções e raciocínios semelhantes.