MaTeGnu Modul 2: Integralrechnung - Badewanne
Die gemeinsame Fortbildungsinitiative [b][color=#E31B4C]Ma[/color]Te[color=#E31B4C]Gnu[/color][/b] des Ministeriums für Bildung und der Arbeitsgruppe [url=https://dms.nuw.rptu.de][color=#095EBC]Didaktik der Mathematik (Sekundarstufen)[/color][/url] der Rheinland-Pfälzischen Technischen Universität Kaiserslautern-Landau ([url=https://dms.nuw.rptu.de][color=#095EBC]RPTU[/color][/url]) zielt auf die fachbezogene Entwicklung von Unterrichtsqualität und digitalen Kompetenzen im Mathematikunterricht der gymnasialen Oberstufe aller allgemeinbildenden Schulen in Rheinland-Pfalz. Die beiden Schwerpunkte der Maßnahme sind Verständnisförderung durch [b]Orientierung an Grundvorstellungen[/b] sowie der [b]durchgängige Einsatz von digitalen Mathematikwerkzeugen[/b], insbesondere GeoGebra. Dieses GeoGebra-Buch ist auch unter folgender Kurz-URL erreichbar: [url=https://mategnu.de/m/l2][color=#095EBC][b]mategnu.de/m/l2[/b][/color][/url] Weitere Informationen: [url=https://mategnu.de][color=#095EBC][b]mategnu.de[/b][/color][/url] Konkrete Leitfäden zu den Kernthemen aller Kurshalbjahre unterstützen die strukturierte Umsetzung der Fortbildungsinhalte im Unterricht. Dieser Leitfaden gehört zu [b]Modul 2[/b] und beinhaltet das Thema[b] Integral im 2. Halbjahr der MSS[/b]. Schlagworte: Integral, Bestand, Änderung, Rekonstruktion, Badewanne, Loriot
Inhaltsverzeichnis
- Reihenübersicht
- M2 L Didaktische Hinweise zur Integralrechnung
- L Einsatz von GeoGebra im Unterricht
- I. Rekonstruktion von Beständen
- M2.I.0 AB Vorwissen aktivieren
- M2.I.1 L Bestand aus Änderungsraten rekonstruieren
- M2.I.1a AB Wannenstreit K1
- M2.I.1a AB Stauseemodell K2
- M2.I.1a App Wanne
- M2.I.1b AB Wasserhahn
- M2.I.1b App Wasserhahn
- M2.I.2 L Anfangsbestand und Flächenbilanz
- M2.I.2 AB Wannenparadox
- M2.I.2 App Wannenparadox
- M2.I.3 L Bestandsfunktion aus Änderungsfunktion rekonstruieren
- M2.I.3 AB Wannenfrieden K1
- M2.I.3 AB Dürre K2
- M2.I.3 App Wasserhahn gleichmäßig
- II. Integrieren als Kumulieren
- M2.II.4 L Bestand durch Rechteckstreifen abschätzen
- M2.II.4a AB Wassermenge als Rechteckstreifen
- M2.II.4a App Rechteckstreifen
- *M2.II.4b App Ober- und Untersumme
- M2.II.5 L Bestand genauer bestimmen
- M2.II.5a AB Bestand genauer bestimmen
- M2.II.5a App Verfeinern Rechteckstreifen
- *M2.II.5b AB Integrale numerisch bestimmen
- M2.II.6 L Bestimmtes Integral definieren
- M2.II.6a AB Genaue Wassermenge
- M2.II.6a App Grenzwert Wassermenge
- *M2.II.6b AB Bestimmtes Integral
- *M2.II.6b App Definition Integral
- III. Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (HDI)
- M2.III.7.1 L HDI Teil 1 & Stammfunktionen
- *M2.III.7.1a App Integralfunktion
- *M2.III.7.1b App Integrator
- *M2.III.7.1c App Beweis HDI Teil 1 h-Methode
- *M2.III.7.1d App Beweis HDI Teil 1 Delta-Methode
- M2.III.7.2 L HDI Teil 2
- M2.III.7.2a AB HDI Teil 2 erarbeiten
- *M2.III.7.2b AB Den Befehl Integral erforschen
- IV. Anwendungen
- M2.IV.8 L Anwendungen: Flächen und Rauminhalte
- *M2.IV.8a App Rotationsvolumen
- *M2.IV.8b App Entstehen eines Rotationskörpers
- *M2.IV.8c AB Rotationsvolumen in GeoGebra
- *V. weiterer Unterricht
- *M2.V L Übersicht zu weiteren Applets
- *M2.V.1 App Integrieren als Mitteln 1
- *M2.V.2 App Integrieren als Mitteln 2
- *M2.V.3 App Graphisch Ableiten und Integrieren 1
- *M2.V.4 App Graphisch Ableiten und Integrieren 2
- *M2.V.5 App Bestands- und Änderungsfunktion im Kontext
- *M2.V.6 App Ableitung & Integral in Darstellungsformen
- *M2.V.7 Stammfunktion und Integrierbarkeit
- *M2.V.8 App Integrierbarkeit und Stammfunktion
M2 L Didaktische Hinweise zur Integralrechnung
[size=150][color=#FFA252][b]Struktur dieses Buchs[/b][/color][/size][br]Die folgende Reihenübersicht soll Ihnen einen [b]Einblick in die Materialien[/b] dieses GeoGebra-Buchs geben und Anhaltspunkte für die [b]Strukturierung Ihres Unterrichts[/b] mit diesen Materialien bieten.[br][br][url=https://mategnu.de/m/2/rp2.pdf][img]https://mategnu.de/bilder/modul_2/reihenuebersicht/m2rp_300.jpg[/img][/url][br][size=85]Klicken Sie für das gesamte Dokument auf das Bild.[/size][br][br][url=https://vcm.uni-kl.de/Panopto/Pages/Viewer.aspx?id=ed3d66c2-5372-49c3-aea7-b3a0015d2974][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Video_30.jpg[/img]Video Modul 2: Grundvorstellungen zum Integral[br][/url][url=https://vcm.uni-kl.de/Panopto/Pages/Viewer.aspx?id=8ee12d7b-7e16-4ecd-8284-b3af0134b139][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Video_30.jpg[/img]Video Modul 2: HDI[br][/url][color=#FFA252][url=https://juergen-roth.de/vortraege_material/2025/MaTeGnu_K1_M2_Integralrechnung.pdf][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Vortrag_30.jpg[/img]Vortrag Modul 2: Integralrechnung[br][/url][/color]
[size=150][b][color=#FFA252]Grundvorstellungen zum Integral[/color][/b][/size][br]Kern des MaTeGnu-Konzepts ist das Ausbilden von [b]Grundvorstellungen (GV)[/b]. [br]Fokus bei der Entwicklung des Integralbegriffs in diesem Buch sind die beiden Grundvorstellungen [b]Rekonstruieren[/b] und [b]Kumulieren, [/b]die immer wieder durch die Grundvorstellung [b]Bestimmen eines orientierten Flächeninhalts [/b]ergänzt werden. [br]Ein Applet zum [b]Integrieren als Mitteln [/b]findet sich in den Anregungen für den weiteren Untericht in Kapitel V.[br][br][url=https://juergen-roth.de/vortraege_material/2025/MaTeGnu_K1_M2_Integralrechnung.pdf#page=5][img]https://mategnu.de/bilder/modul_2/folien/grundvorstellungen_zum_integralbegriff_klein.jpg[/img][/url] [url=https://mategnu.de/bilder/modul_2/folien/grundvorstellungen_zum_integralbegriff.jpg][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lupe_30.jpg[/img][/url]
[size=150][b][color=#FFA252]Vorgehen im Buch[br][br]Kapitel 1. Rekonstruktion von Beständen [/color][/b][/size][br]Anknüpfend an die Vorerfahrung zu "Bestand und Änderung", die in Modul 1 zum Thema Ableitung erarbeitet wurde, wird in Modul 2 der Integralbegriff als [b]Rekonstruktion[/b] von Beständen eingeführt. [br]Dieses Buch nutzt als Verständnisanker die Frage nach der Wassermenge in einer [b]Wanne [/b]bei bekannter Zu- und Abflussrate. Die Kernfrage ist dabei, wie auf Basis der Änderungsrate die Wassermenge (Bestand) [br]bestimmt werden kann. Sie wird zunächst an einer einfachen Situation mit abschnittsweise konstanten Zufluss- und Abflussraten behandelt. Dadurch ist ein intuitiver Zugang möglich. [br]Der Kontext für den Verständnisanker "Wanne" kann aus zwei Vorschlägen ausgewählt werden[br] (Loriot-Sketch "Herren im Bad", Stausee bei Dürre). [br]Der als Produkt rekonstruierte Bestand (Änderungsrate mal Zeitintervall) wird dann im Graph als orientierte Rechteckfläche gedeutet und die Frage des Anfangsbestands besprochen.[br][br][size=150][b][color=#FFA252]Kapitel 2. Integrieren als Kumulieren[/color][/b][/size][br]Die übergreifende Leitfrage in diesem Kapitel besteht in einer möglichst genauen Bestimmung des Bestands (Wassermenge) bzw. der Fläche unter dem Graphen. [br]Neu ist die Betrachtung einer gekrümmten Änderungsratenfunktion. Das Vorgehen erfolgt in Analogie zu [url=https://mategnu.de/m/l1]Modul 1[/url]: Die SuS nähern zunächst den Bestand von oben (überschätzen - Obersumme) und von unten (unterschätzen- Untersumme). Darauf aufbauend entdecken sie, dass die Intervallbreite verkleinert - also die Anzahl der gleichbreiten Intervalle vergrößert werden muss, um den Bestand genauer zu bestimmen. Auf Basis der Grundvorstellung des [b]Kumulierens[/b] wird so eine Definition des bestimmten Integrals über den [b]Grenzwert [/b]von Produktsummen (Rechtecksummen) erarbeitet. [br][br][size=150][b][color=#FFA252]Kapitel 3. Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (HDI)[/color][/b][/size][br]Ähnlich wie bei Modul 1 stellt sich in diesem Kapitel die übergreifende Leitfrage, ob sich das bestimmte Integral nicht auch leichter als über Grenzwertbildung berechnen lässt.[br]Phase 7.1 führt zur Beantwortung die in den ersten beiden Kapiteln erarbeiteten Vorstellungen zum bestimmten Integral mit den Vorstellungen zur Ableitung zusammen zu der Erkenntnis [color=#FFA252]Integrieren ist die Gegenoperation zum Differenzieren[/color], dem ersten Teil des [b]HDI[/b], an den sich die Definition einer Stammfunktion und Integrationsregeln anschließen. [br]Aus den Erkenntnissen zur Gesamtänderung des Bestands von einem Zeitpunkt zu einem zweiten, sowie zum Anfangsbestand und der Idee der Stammfunktion als Bestandsfunktion kann in Phase 7.2 der zweite Teil des HDI formuliert werden [math]\int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)[/math] was die übergreifende Leitfrage abschließend beantwortet.[br]Das Kapitel kann optional durch Einführung der Integralfunktion auch vertieft bearbeitet werden.[br][br][b][size=150][color=#FFA252]Kapitel 4. Anwendung[/color][/size][/b][br]In diesem Kapitel wird GeoGebra als Werkzeug beim Lösen von Sachaufgaben, die auf Integrale führen, eingesetzt. Die Schülerinnen und Schüler bestimmen dabei verschiedene Flächeninhalte (Fläche zwischen [br]Graphen und x-Achse sowie Fläche zwischen zwei Graphen) sowie optional Rotationsvolumina. [br][br][size=150][b][color=#FFA252]Kapitel 5. [/color][/b][b][color=#FFA252]Weiterer Unterricht[br][/color][/b][/size]Die Applets in diesem Kapitel sind als optionale Anregungen für den weiteren Unterricht zu verstehen.
M2.I.0 AB Vorwissen aktivieren
LearningApp "Bestand und Änderung"
M2.II.4 L Bestand durch Rechteckstreifen abschätzen
[url=https://mategnu.de/m/2/rp2.pdf][img]https://mategnu.de/bilder/modul_2/reihenuebersicht/m2ph4.jpg[/img][/url][br][br][color=#FFA252][b][size=150]Leitfrage zu Phase 4[/size][br][/b][/color]Wie kann ich den Bestand einer nicht linearen Änderungsratenfunktion nach oben und unten [b]abschätzen[/b]?
[size=150][b][color=#FFA252]Wassermenge durch Rechteckstreifen abschätzen[/color][/b][/size][br]Ausgehend von dem aus Phase 3 bekannten Funktionsgraphen, nähern die SuS im Arbeitsblatt [br][url=https://www.geogebra.org/m/nxxgghx3#material/tkagafqk][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lernumgebung_30.jpg[/img][color=#095EBC][b]M5.II.4a AB Wassermenge als Rechteckstreifen[/b][/color][/url] [br]die Wassermenge, indem sie die Zuflussrate in jedem Teilintervall als [b]konstant[/b] annehmen. [br]Für die Fläche unter dem Graphen bedeutet dies, dass sie diese mithilfe von Rechteckstreifen nähern. [br]Die [b]Höhe der Rechtecke[/b] ist dabei die [b]konstante Zuflussrate[/b] im Teilintervall und wird deshalb Rechteck für Rechteck durch die SuS festgelegt.[br][br]Zentral ist die Frage, ob die Wassermenge (der Flächeninhalt unter der Kurve) mit der Näherung über- oder unterschätzt wird. Die SuS berechnen sowohl einen über- als auch einen unterschätzenden Wert. In einem sich anschließenden Unterrichtsgespräch sollte unbedingt die Höhe der Rechteckstreifen diskutiert werden.[br][br]Die Suche nach einem systematischen Vorgehen, um die Wassermenge, bzw. die Fläche - wie beim Gepard die Momentangeschwindigkeit - nach [b]oben [/b]und [b]unten [/b]abzuschätzen, führt auf das Maximum und Minimum [size=85](genauer Supremum und Infimum)[/size] der Zuflussratenfunktion im Intervall und damit zu einer Definition der Ober- und Untersumme:
[b][color=#FFA252]Obersumme[/color][/b][br]Die Höhe der Rechtecke entspricht dem [b]maximalen[/b] Funktionswert [math]M_{i}[/math] im Teilintervall. [br]Für die Berechnung der Obersumme multipliziert man die Rechteckbreite [math](x_i -x_{i-1})[/math] mit der jeweiligen Höhe [math]M_i[/math] (diese kann auch negativ sein!) und addiert die orientierten Flächeninhalte aller Rechtecke:[br][math]O_{s} = (x_1-x_0)\cdot M_1 + (x_2-x_1) \cdot M_2 + ... [/math][br][br][img]https://mategnu.de/bilder/modul_2/folien/app_rechteckstreifen_obersumme_klein.jpg[/img][url=https://mategnu.de/bilder/modul_2/folien/app_rechteckstreifen_obersumme.jpg][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lupe_30.jpg[/img][/url][br]Im Beispiel:[br][math]O_{s} = (1-0)\cdot f(1) + (2-1) \cdot f(2) + ... + (5-4) \cdot f(5) + (6-5) \cdot f(5) + ... [/math]
[b][color=#FFA252]Untersumme[/color][/b][br]Die Höhe der Rechtecke entspricht dem [b]minimalen[/b] Funktionswert [math]m_{i}[/math] im Teilintervall. [br]Für die Berechnung der Obersumme multipliziert man die Rechteckbreite [math](x_i -x_{i-1})[/math] mit der jeweiligen Höhe [math]m_i[/math] (diese kann auch negativ sein!) und addiert die orientierten Flächeninhalte aller Rechtecke:[br][math]U_{s} = (x_1-x_0)\cdot m_1 + (x_2-x_1) \cdot m_2 + ... [/math][br][br][img]https://mategnu.de/bilder/modul_2/folien/app_rechteckstreifen_untersumme_klein.jpg[/img][url=https://mategnu.de/bilder/modul_2/folien/app_rechteckstreifen_untersumme.jpg][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lupe_30.jpg[/img][br][/url]Im Beispiel:[br][math]U_{s} = (1-0)\cdot f(0) + (2-1) \cdot f(1) + ... + (5-4) \cdot f(4) + (6-5) \cdot f(6) + ... [/math]
Ergänzend kann mit dem Applet [br][color=#095EBC][url=https://www.geogebra.org/m/nxxgghx3#material/egkpafcb][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lernumgebung_30.jpg[/img][b]M2.II.4b App Ober- und Untersumme[/b][/url][/color] [br]eine formale Definition erarbeitet werden:[br][br][url=https://juergen-roth.de/vortraege_material/2025/MaTeGnu_K1_M2_Integralrechnung.pdf#page=22][img]https://mategnu.de/bilder/modul_2/folien/definition_ober_und_untersumme_klein.jpg[/img][/url] [url=https://mategnu.de/bilder/modul_2/folien/definition_ober_und_untersumme.jpg][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lupe_30.jpg[/img][/url]
[size=150][b][color=#FFA252]GeoGebra als Werkzeug[/color][/b][/size][br]An dieser Stelle im Unterrichtsverlauf können die GeoGebra-Befehle [code]Obersumme()[/code] und [code]Untersumme()[/code] eingeführt werden.[br][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Werkzeug_30.jpg[/img][color=#095EBC][url=https://mategnu.de/m/2/GGB_Befehle_m2.pdf]GeoGebra-Befehlsliste Modul 2[/url][/color] [br][br]Die beiden Befehle sind optional. Sie können von den SuS leicht selbstständig erarbeitet, indem die SuS den Befehl [code]Obersumme[/code] bzw. [code]Untersumme[/code] in das Eingabefeld des Grafikrechners eintippen und mithilfe der erscheinenden Befehlsoptionen entsprechende Werte in den Klammern ergänzen.
[color=#FFA252][b][size=150]Zeitbedarf[/size][br][/b][/color]2h + Übung
[color=#FFA252][b][size=150]Übungsaufgaben[/size][br][/b][/color][url=https://o-mathe.de]o-mathe.de[/url] [math] \rightarrow [/math] Integralrechnung [math] \rightarrow [/math] Integral [math] \rightarrow [/math] Produktsummen [math] \rightarrow [/math] Übungen [math] \rightarrow [/math] Aufgabe 2[br][br]Fundamente, RLP, LK (2023, Band 1): S. 186/187[br]Fundamente, RLP, GK (2023, Band 1): S. 170/171 [br][br]Elemente der Mathematik, RLP, LK (2017): S. 205, Nr. 1/ S. 206 Nr. 2[br]Elemente der Mathematik, RLP, GK (2017): S. 164 Nr. 1[br][br]Übung:[br]Bestimme die Fläche zwischen dem Graphen von f(x) = x[sup]2[/sup] und der x-Achse im Intervall [0; 4] näherungsweise, indem Sie [br]a) die Obersumme/ Untersumme bestehend aus 8 Teilintervallen berechnen. [br]b) die Obersumme/ Untersumme bestehend aus 8 Teilintervallen berechnen. [br]c) Überprüfen sie Ihre Ergebnisse mithilfe von GeoGebra.[br][br]bettermarks: "Stammfunktionen und Integrale" [math] \rightarrow [/math] Kap. 1 Flächeninhalte unter einer Kurve [math] \rightarrow [/math] Serie 1.3 Flächeninhalte unter einer Kurve mit Hilfe ihrer Ober- und Untersumme bestimmen
M2.III.7.1 L HDI Teil 1 & Stammfunktionen
[img]https://mategnu.de/bilder/banner/Handreichung_Lehrkraefte.png[/img]
[url=https://mategnu.de/m/2/rp2.pdf][img]https://mategnu.de/bilder/modul_2/reihenuebersicht/m2ph7_1.jpg[/img][/url][br][br][size=150][b][color=#FFA252]Leitfrage zu Phase 7[/color][/b][/size][br]Lässt sich das bestimmte Integral auch direkt bestimmen?
Auf Basis dieser Leitfrage wird der HDI in zwei Schritten in [color=#FFA252]Phase 7.1[/color] und [color=#FFA252]Phase 7.2[/color] erarbeitet. [br]Zunächst wird in Schritt 1 die Definition von Stammfunktionen erarbeitet (Phase 7.1). [br]Schritt 2 führt dann zu der Erkenntnis wie mit Stammfunktionen der Wert eines Integrals mit beliebigen Grenzen bestimmt werden kann (Phase 7.2).
[size=150][b][color=#FFA252]Leitfrage zu Phase 7.1 (Schritt 1)[/color][/b][/size][br]Kann man (wie bei der Ableitung) aus der Änderungsfunktion die Bestandsfunktion eindeutig rekonstruieren?[br][br][size=150][b][color=#FFA252]HDI Teil 1[/color][/b][/size][br]Mit Hilfe von Applet [br][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lernumgebung_30.jpg[/img][url=https://www.geogebra.org/m/nxxgghx3#material/dbse5zby][color=#095EBC][b]M2.II.5a) App Verfeinern Rechteckstreifen[/b][/color][/url][br]aus Phase 5 kann zunächst wiederholt werden, dass im oberen Koordinatensystem die Änderungsfunktion [math]f(x)[/math] und im unteren Koordinatensystem eine Näherung der dazugehörenden Bestandsfunktion [math]F(x)[/math] abgebildet sind. Durch Grenzwertbildung von Ober- und Untersumme wird die Bestandsfunktion [math]F(x)[/math] aus der Änderungsfunktion [math]f(x)[/math] rekonstruiert. [br]Mit Rückblick auf das Thema Ableitung gilt dann: [math]F‘(x) = f(x)[/math], [b][color=#FFA252]Integrieren ist die Gegenoperation zum Differenzieren[/color][/b].[br][br][img]https://mategnu.de/bilder/modul_2/folien/gegenoperationen_1.jpg[/img][br][br]Dieser Zusammenhang ist [b][color=#FFA252]Teil 1 des HDI[/color][/b]. In Verbindung damit kann eine Stammfunktion zu [math]f[/math] allgemein definiert werden als eine Funktion [math]F[/math], deren Ableitung der Änderungsfunktion [math]f[/math] entspricht. [br][br][img]https://mategnu.de/bilder/modul_2/folien/definition_stammfunktion_0.jpg[/img][br][br]Die Frage nach der Eindeutigkeit von Stammfunktionen sollte mit Hilfe von Applet [img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lernumgebung_30.jpg[/img][url=https://www.geogebra.org/m/nxxgghx3#material/xzbwhbkb][color=#095EBC]M2.I.2 App Wannenparadox[/color][/url] aus dem gleichnamigen [url=https://www.geogebra.org/m/nxxgghx3#material/bpxtrueu][color=#095EBC]Arbeitsblatt[/color][/url] sowohl anschaulich (Anfangsbestand) als auch graphisch (Verschiebung des Graphen einer Stammfunktion nach oben und unten) betrachtet werden. [br]Damit kann die Definition von Stammfunktionen um den folgenden Aspekt ergänzt werden:[br][br][img]https://mategnu.de/bilder/modul_2/folien/definition_stammfunktion_gesamt.jpg[/img][br][br]An dieser Stelle im Unterrichtsgang sollten die Regeln zum Bestimmen von Stammfunktionen besprochen und das Bestimmen von Stammfunktionen sowohl graphisch als auch rechnerisch geübt werden. [br]Übungen zu beiden Themen finden Sie wie immer weiter unten. [br]In [url=https://www.geogebra.org/m/nxxgghx3#chapter/1043620]Kapitel V[/url] finden sie zwei mögliche Applets ([url=https://www.geogebra.org/m/nxxgghx3#material/m7jwemyk]*M2.V.3 App[/url] und [url=https://www.geogebra.org/m/nxxgghx3#material/gwzbfmas]*M2.V.4 App[/url]) zur Veranschaulichung des graphischen Integrierens.
[size=150][b][color=#FFA252]*Optionale Vertiefung: Integralfunktion [math]I_a(x)[/math][/color][/b][/size][br]An dieser Stelle kann man den Unterricht mit einem Blick auf die [color=#FFA252]Integralfunktion[/color] vertiefen.[br]Dabei hilft ebenfalls ein Blick zurück zum Gepard und dem Vorgehen bei der Ableitung: aus der Ableitung an einer Stelle [math]f'(x_0)[/math] wurde mithilfe der Leitfrage "Wie hängt die Geschwindigkeit des Gepards von der Zeit ab?" die Ableitung an jeder beliebigen Stelle [math]x[/math] sowie die Ableitung als (eigenständige) Funktion [math]f'(x)[/math] entwickelt (vgl. [url=https://mategnu.de/m/l1]Modul 1 Phase 10[/url]).[br][br]Was bedeutet nun [color=#FFA252]das Integral abhängig von [math]x[/math][/color]? [br]Das Integral ist definiert über einem Intervall, beinhaltet also zwei variable Größen, nämlich die untere und die obere Grenze. Es bleibt aber die Möglichkeit eine Grenze (z.B. die untere als [math]a[/math]) festzulegen und die andere Grenze (als [math]x[/math]) zu variieren. [br]Damit entsteht eine Funktion abhängig von [math]x[/math], die die Gesamtänderung des Bestands von der unteren, festgelegten Intervallgrenze [math]a[/math] bis zur oberen Grenze [math]x[/math] (bzw. die Fläche zwischen dem Graphen von [math]f[/math] und der [math]x-Achse[/math] im Intervall von [math]a[/math] bis [math]x[/math]) angibt. [br] [b][color=#FFA252]Integralfunktion[/color] [/b][math]I_a(x)=\int_a^x f(t) dt[/math] [br]Diese Idee lässt sich mithilfe des Applets [br][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lernumgebung_30.jpg[/img][url=https://www.geogebra.org/m/nxxgghx3#material/mtegnneh][color=#095EBC][b]*M2.III.7.1.a App Integralfunktion[/b][/color][/url][br]erarbeiten. [br][br]Hinweis: Damit man die variable Grenze [math]x[/math] der Integralfunktion nicht mit der Variablen der Änderungsfunktion verwechselt, benennt man die Variablen in der Änderungsfunktion um (z.B. [math]f(t)[/math]).[br]Welchen Wert nimmt man nun für [math]a[/math]? - Man kann ihn beliebig festlegen, deshalb gibt es auch unendlich viele Integralfunktionen [math]I_a(x)[/math] zu einer Änderungsfunktion [math]f(x)[/math].[br][br]Mit dem Applet [br][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lernumgebung_30.jpg[/img][url=https://www.geogebra.org/m/nxxgghx3#material/gxazkyff][color=#095EBC][b]*M2.III.7.1b App Integrator[/b][/color][/url] [br]lassen sich diese Überlegungen vertiefen.
[b][color=#FFA252]*HDI Teil 1 mit Integralfunktion[/color][/b][br]Die Integralfunktion [math]I_a[/math] ist eine Funktion abhängig von [math]x[/math], die die Gesamtänderung des Bestands von der unteren, festgelegten Intervallgrenze [math]a[/math] bis zur oberen Grenze [math]x[/math] (bzw. die Fläche zwischen dem Graphen von [math]f[/math] und der [math]x-Achse[/math] im Intervall von [math]a[/math] bis [math]x[/math]) angibt. [math]I_a[/math] ist also eine Bestandsfunktion [F] zur Änderungsfunktion [math]f[/math].[br]Mit den Überlegungen oben, die zum HDI Teil 1 führen - Integrieren ist die Gegenoperation zum Ableiten - ergibt sich dann für die Integralfunktion [math]I_a'(x)=f(x)[/math]. [br][br]Ein Nachweis für diesen Zusammenhang kann mit der h-Methode geführt werden. [br]Mithilfe des Applets [br][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lernumgebung_30.jpg[/img][url=https://www.geogebra.org/m/nxxgghx3#material/w5fawcaf][color=#095EBC][b]*M2.III.7.1c App Beweis HDI Teil 1 h-Methode[/b][/color][/url] [br]sollten dazu zunächst anschauliche Überlegungen angestellt werden:[br][url=https://juergen-roth.de/vortraege_material/2025/MaTeGnu_K1_M2_Integralrechnung.pdf#page=30][img]https://mategnu.de/bilder/modul_2/folien/hdi_1_vorueberlegungen_klein.jpg[/img][/url] [url=https://mategnu.de/bilder/modul_2/folien/hdi_1_vorueberlegungen.jpg][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lupe_30.jpg[/img][/url][br][br]Auf der Basis kann die Behauptung [math]I_a'(x)=f(x)[/math] formal begründet werden:[br][url=https://juergen-roth.de/vortraege_material/2025/MaTeGnu_K1_M2_Integralrechnung.pdf#page=31][img]https://mategnu.de/bilder/modul_2/folien/hdi_1_begruendung_klein.jpg[/img][/url] [url=https://mategnu.de/bilder/modul_2/folien/hdi_1_begruendung.jpg][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lupe_30.jpg[/img][/url][br][br]Alternativ kann der Nachweis auch mit der Delta-Methode geführt werden. Das Applet [br][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lernumgebung_30.jpg[/img][url=https://www.geogebra.org/m/nxxgghx3#material/jxjvsg2s][color=#095EBC][b]*M2.III.7.1d App Beweis HDI Teil 1 Delta-Methode[/b][/color][/url][br]unterstützt die Erarbeitung.[br][br][color=#FFA252]*Unterschied Stammfunktion und Integralfunktion[/color][br]Zu einem späteren Zeitpunkt können bei entsprechendem Kursniveau Integralfunktionen aufgegriffen und Unterschiede zu Stammfunktionen thematisiert werden. Aus Gründen der didaktischen Fokussierung empfehlen wir die Behandlung dieser vergleichsweise komplexen Fragestellung jedoch nicht an dieser Stelle im Unterrichtsgang. (vgl. [url=https://www.geogebra.org/m/nxxgghx3#chapter/1043620]Kapitel *V.[/url]).[br][br][br][size=150][b][color=#FFA252]GeoGebra als Werkzeug[/color][/b][/size][br]An dieser Stelle im Unterrichtsverlauf kann der GeoGebra-Befehl [code]Integral()[/code] eingeführt werden. [br][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Werkzeug_30.jpg[/img][color=#095EBC][url=https://mategnu.de/m/2/GGB_Befehle_m2.pdf]GeoGebra-Befehlsliste Modul 2[/url][/color] [br]Er ermöglicht es den SuS ihre hilfsmittelfreien Lösungen zu kontrollieren.[br] [br]Der Befehl kann von den SuS eigenständig erarbeitet werden, indem die sie den Begriff [code]Integral[/code][br] in das Eingabefeld des Grafikrechners eintippen und als Argument die Bestandsfunktion angeben. [br]Die ausführlich Erkundung des Befehls findet am Ende der nächsten Phase im digitalen Arbeitsblatt[br][url=https://www.geogebra.org/m/etcj39sg#material/jwvfkake][color=#095EBC]*M2.III.7.2b AB Den Befehl Integral erforschen[/color][/url] statt.
[size=150][b][color=#FFA252]Zeitbedarf[/color][/b][/size][br]2h + Zeit für Übungen
[size=150][b][color=#FFA252]Übungsaufgaben[/color][/b][/size][br]Fundamente, RLP, LK (2023, Band 1): S. 193-194 (Stammfunktionen grafisch bestimmen)[br]Fundamente, RLP, LK (2023, Band 1): S. 195-197 (Stammfunktionen rechnerisch bestimmen)[br]Fundamente, RLP, GK (2023, Band 1): S. 176-177 (Stammfunktionen grafisch bestimmen)[br]Fundamente, RLP, GK (2023, Band 1): S. 178-180 (Stammfunktionen rechnerisch bestimmen)[br]Elemente der Mathematik, RLP, LK (2017): S. 211, S. 216-218[br]bettermarks: "Stammfunktionen und Integrale", Kap. 2 (Stammfunktionen)[br]Lambacher Schweizer, RLP, LK (2022): S. 167 Nr. 1/2 (Stammfunktionen rechnerisch bestimmen), S. 171/172 Nr. 1 (Stammfunktionen rechnerisch bestimmen), 5/6 (Skizzieren des Graphen einer Stammfunktion)
M2.IV.8 L Anwendungen: Flächen und Rauminhalte
[url=https://mategnu.de/m/2/rp2.pdf][img]https://mategnu.de/bilder/modul_2/reihenuebersicht/m2ph8.jpg[/img][/url][br][br][b][color=#FFA252]Leitfrage zu Phase 8[/color][/b][br]Wie kann ich Flächeninhalte (*und Volumina) mit dem Integral berechnen?
[b][color=#FFA252]Teil 1: Fläche zwischen einem Funktionsgraphen und der x-Achse[/color][/b][br]Die Schülerinnen und Schüler wissen bereits, wie man den orientierten Flächeninhalt mithilfe des Integrals berechnet und kennen den zugehörigen GeoGebra Befehl [code]Integral(Funktion, Startwert, Endwert)[/code] aus dem vorherigen Kapitel (Phase 7.2). [br]An dieser Stelle sollte die Unterscheidung von orientiertem Flächeninhalt als Flächenbilanz und dem Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse wiederholt und verdeutlicht werden.[br][br]Es bietet sich nun der Einsatz von GeoGebra als Werkzeug an. Die SuS erhalten kein Applet oder Arbeitsblatt, sondern nutzen die [color=#095EBC][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Werkzeug_30.jpg[/img][url=https://geogebra.org/calculator]GeoGebra Rechner Suite[/url][/color] oder den Abitur-Prüfungsmodus [color=#095EBC][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Werkzeug_30.jpg[/img][url=https://mategnu.de/mms]GeoGebra MMS[/url][/color] bei der Bearbeitung von Aufgaben aus dem Schulbuch. Eine Auswahl an möglichen Einstiegs- sowie Übungsaufgaben finden Sie weiter unten. [br][s][/s]
[b][color=#FFA252]Teil 2: Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen[/color][/b][br]Auch in diesem Teil bietet sich die [color=#095EBC][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Werkzeug_30.jpg[/img][url=https://geogebra.org/calculator]GeoGebra Rechner Suite[/url][/color] oder der Abitur-Prüfungsmodus [color=#095EBC][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Werkzeug_30.jpg[/img][url=https://mategnu.de/mms]GeoGebra MMS[/url][/color] an. [br]Der neue GeoGebra-Befehl [code]IntegralZwischen(Funktion, Funktion, Startwert, Endwert)[/code] kann von den SuS eigenständig entdeckt oder von der Lehrkraft vorgestellt werden. Eine Auswahl an möglichen Einstiegs- sowie Übungsaufgaben finden Sie weiter unten. [br][br]In beiden Teilen kann GeoGebra eine Möglichkeit zur Differenzierung bieten. Einerseits können die SuS GeoGebra unmittelbar beim Lösen der Aufgaben als Werkzeug einsetzen. Dadurch wird die Aufgabenstellung visualisiert und der technische Rechenaufwand stark reduziert. Andererseits kann GeoGebra erst nach der Aufgabenbearbeitung genutzt werden, um Ergebnisse zu prüfen.
[b][color=#FFA252]*Teil 3 optional: Rotationsvolumen[/color][/b][br]Die SuS wissen bereits, wie man Flächeninhalte mithilfe von Integralen berechnen kann. Dabei war die Idee zentral, dass die Intervallbreite infinitesimal verkleinert - also die Anzahl der gleichbreiten Intervalle unendlich vergrößert werden muss, um den Flächeninhalt genau zu bestimmen. [br][br]Mithilfe des Applets [br][color=#095EBC][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lernumgebung_30.jpg[/img][url=https://www.geogebra.org/m/nxxgghx3#material/jj5f8qnq][b]*M2.IV.8a App Rotationsvolumen[/b][/url][/color] [br]können die SuS entdecken, wie das Volumen von Körpern berechnet wird, die durch [color=#095EBC]Rotation um die x-Achse[/color] entstehen. Dabei wird die Analogie zur Flächeninhaltsberechnung genutzt, indem eine genauere Annäherung an das Volumen durch die Verkleinerung der Intervallbreite erfolgt. Der Begriff „Rotationskörper“ kann je nach Leistungsstärke des Kurses bereits vorher erarbeitet oder erst im Nachhinein geklärt werden. [br][br]Das [color=#095EBC]Entstehen eines Rotationskörpers[/color] durch Rotation des Funktionsgraphen um die x-Achse sowie das Entstehen durch [color=#FFA252]Rotation um die y-Achse[/color] kann zusätzlich mithilfe des Applets [br][color=#095EBC][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lernumgebung_30.jpg[/img][b][url=https://www.geogebra.org/m/nxxgghx3#material/gf6nud8v]*M2.IV.8b App Entstehen eines Rotationskörpers[/url][/b][/color] visualisiert werden.[br][br]Das Vorgehen zur Berechnung des Rotationsvolumens in GeoGebra kann mithilfe des digitalen Arbeitsblatts [color=#095EBC][br][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Werkzeug_30.jpg[/img][url=https://www.geogebra.org/m/nxxgghx3#material/qzt4aeh7][b]*M2.IV.8c AB Rotationsvolumen in GeoGebra[/b][/url][/color] [br]erarbeitet werden oder ohne AB eigenständig z.B. mit KI-Chat (z.B. fobizz) erarbeitet werden. [br]
[b][color=#FFA252]Zeitbedarf[/color][/b][br]ca. 2-4h
[b][color=#FFA252]Übungen[/color][/b][br][br][b]Teil 1: Fläche zwischen einem Funktionsgraphen und der x-Achse[/b][br]Elemente der Mathematik, RLP, LK (2017): S. 220-224[br]bettermarks: "Stammfunktionen und Integrale", Kapitel 3. Bestimmte Integrale, Serie 3.8 Fläche zwischen Graphen und der x-Achse bestimmen [br]Lambacher Schweizer, RLP, LK (2022): S. 177-180[br]Fundamente, RLP, LK (2023, Band 1): S. 205-206[br]Fundamente, RLP, GK (2023, Band 1): S. 188-189[br][br][b]Teil 2: Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen [/b][br]Elemente der Mathematik, RLP, LK (2017): S. 225-232[br]bettermarks: "Stammfunktionen und Integrale", Kapitel 3. Bestimmte Integrale. Serie 3.9 Fläche zwischen zwei Graphen bestimmen[br]bettermarks: "Stammfunktionen und Integrale", Kapitel 3. Bestimmte Integrale. Serie 3.10 Flächen in Modellierungsaufgaben berechnen[br]Lambacher Schweizer, RLP, LK (2022): S. 177-180[br]Fundamente, RLP, LK (2023, Band 1): S. 207-211[br]Fundamente, RLP, GK (2023, Band 1): S. 190-193[br][br][b]*Teil 3: Rotationsvolumen[/b][br]In der optionalen [url=https://www.geogebra.org/m/wustdauk#chapter/1063019]App-Sammlung zu Modul 2[/url] finden Sie App-gestützte Übungsaufgaben zur Volumenberechnung [br]
*M2.V L Übersicht zu weiteren Applets
[img]https://mategnu.de/bilder/banner/Handreichung_Lehrkraefte_LK.png[/img]
[url=https://mategnu.de/m/2/rp2.pdf][img]https://mategnu.de/bilder/modul_2/reihenuebersicht/m2ph9.jpg[/img][/url][br][br]Die folgenden Applets sind als [u]optionale Anregungen[/u] für den weiteren Unterricht zu verstehen.
[size=150][b]Möglichkeit zur Förderung der Grundvorstellung „Integrieren als Mitteln“ (GK und LK)[/b][/size][br][br]Bisher haben die Schülerinnen und Schüler sich mit den folgenden Grundvorstellungen zum Integralbegriff beschäftigt:[br][list][*]Integrieren als Rekonstruieren[/*][*]Integrieren als Kumulieren [/*][*]Integrieren als Bestimmen eines orientierten Flächeninhalts[/*][/list]Mit Hilfe der folgenden beiden Applets kann erarbeitet werden, dass ein bestimmtes Integral die Funktionswerte der Integrandenfunktion im Integrationsintervall mittelt.[br][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lernumgebung_30.jpg[/img][url=https://www.geogebra.org/m/nxxgghx3#material/neg2v8em]*M2.V.1 App Integrieren als Mitteln 1[/url][br][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lernumgebung_30.jpg[/img][url=https://www.geogebra.org/m/nxxgghx3#material/bqhvtpas]*M2.V.2 App Integrieren als Mitteln 2[/url]
[size=150][b]Möglichkeit zur Veranschaulichung des graphischen Integrierens (GK und LK)[/b][/size][br][br]Die folgenden beiden Applets können eingesetzt werden, um der Frage nachzugehen, wie der Graph der Bestandfunktion auf Basis des Graphen der Änderungsrate skizziert werden kann. Während bei Applet [color=#3c78d8]*M2.V.3[/color] die untere Grenze fest ist, kann diese bei Applet [color=#3c78d8]*M2.V.4[/color] variiert werden. [br][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lernumgebung_30.jpg[/img][url=https://www.geogebra.org/m/nxxgghx3#material/m7jwemyk]*M2.V.3 App Graphisch Ableiten und Integrieren 1[/url][br][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lernumgebung_30.jpg[/img][url=https://www.geogebra.org/m/nxxgghx3#material/gwzbfmas]*M2.V.4 App Graphisch Ableiten und Integrieren 2[/url]
[size=150][b]Möglichkeit zur Vernetzung von Ableitung und Integral (GK und LK)[/b][/size][br][br]Mit Hilfe der folgenden beiden Applets können die in diesem GeoGebra-Buch erarbeiteten Grundvorstellungen und Darstellungsformen wiederholt und vernetzt werden. Des Weiteren kann auf Basis der Applets zelebriert werden, wie viel die Schülerinnen und Schüler über das Integral gelernt haben. [br]Applet [color=#3c78d8]M2.V.6[/color] bietet dabei einen wesentlich umfangreicheren Überblick.[br][i]Vorsicht! Beide Applets haben eine lange Ladezeit![/i][br][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lernumgebung_30.jpg[/img][url=https://www.geogebra.org/m/nxxgghx3#material/he9hfwj4]*M2.V.5 App Ableitung und Integral im Kontext[/url][br][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lernumgebung_30.jpg[/img][url=https://www.geogebra.org/m/nxxgghx3#material/tnmvhjxv]*M2.V.6 App Ableitung und Integral in Darstellungsformen[/url][br][br]
[size=150][b]Möglichkeit zur Unterscheidung von Integralfunktion und Stammfunktion (hohes LK-Niveau)[/b][/size][br][br]In Kapitel II. haben die Schülerinnen und Schüler erarbeitet, dass es zu einer Änderungsfunktion mehrere Stammfunktionen gibt. Wenn im Leistungskurs in Kapitel III Integralfunktionen eingeführt wurden, kann die Frage ergänzt werden, ob alle Funktionen, deren Ableitung die Änderungsfunktion f ergeben (Stammfunktionen) auch Integralfunktionen zu f sind. [br]Diese Fragestellung führt zur Untersuchung des Unterschieds zwischen Integralfunktion und Stammfunktion, beide Applets verdeutlichen die Unterschiede. [br][i]Vorsicht! Das erste Applet hat eine etwas längere Ladezeit.[/i][br][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lernumgebung_30.jpg[/img][url=https://www.geogebra.org/m/nxxgghx3#material/zybkgty7]*M2.V.7 App Stammfunktion und Integrierbarkeit[/url][br][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lernumgebung_30.jpg[/img][url=https://www.geogebra.org/m/nxxgghx3#material/tnmvhjxv]*M2.V.8 App Integrierbarkeit und Stammfunktion [/url][br][br]