[justify][color=#000000]Peter rühmt sich damit, ein besonders korrekter Autofahrer zu sein. Als er in den Sommerferien nach Belgien fährt, fällt ihm als erstes auf, dass in Belgien (anders als in Deutschland) auch auf den Autobahnen ein Tempolimit von 120[/color][color=#000000]km/h [/color][color=#000000]herrscht. [br][br]Nach einer Pause in De Panne fährt Peter die kürzeste Route zum 240km entfernten Lüttich (siehe Abbildung 1[/color][color=#000000]). [/color]Am Ziel [color=#000000]schaut Peter auf die Uhr: Er hat genau 2 Stunden gebraucht! War Peter wirklich so korrekt, wie er immer sagt und hat sich an das Tempolimit gehalten? [/color][color=#000000][br][br][b]1)[/b] [b]Untersuche[/b] [/color][color=#000000]das Fahrverhalten von Peter [/color][color=#000000]mithilfe der [b]Angaben von GoogleMaps[/b] (Abb. 1) und den [b]Aufzeichnungen von Peters Fahrtenschreiber [/b](Abb. 2). [b]Formuliere[/b] erste Vermutungen darüber, ob Peter wirklich ein besonders korrekter Autofahrer ist.[/color][/justify]

[justify]Notiere erst die Lösungen zu Aufgabe 1 bevor du weitermachst.[br][br][b]2)[/b] [b]Berechne[/b] die [b]durchschnittliche Geschwindigkeit[/b] von Peter über [b]den gesamten Zeitraum. [/b]Nutze dafür die Formel für die mittlere Änderungsrate bzw. den Differenzenquotienten mit [math]m=\frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}=\frac{y_2-y_{_1}}{x_2-x_1}[/math].[br][br]Um die Geschwindigkeit zu berechnen, wird die [i]Änderung des Ortes [math]\left(y_2-y_1\right)[/math] [/i]durch die [i]Änderung der Zeit[/i] [math]\left(x_1-x_2\right)[/math] dividiert, also [math]\frac{gefahrene.Strecke}{vergangene.Zeit}[/math].[br][b][br]3) Betrachte [/b]noch einmal den Graphen und [b]notiere[/b], woran du erkennen kannst, dass Peter nicht mit gleichmäßiger Geschwindigkeit gefahren ist. [b]Notiere,[/b] in welchen Bereichen besonders langsam gefahren ist und in welchen er einen Blitzer hätte auslösen können.[/justify]

[justify]Nachdem du erste Untersuchungen des Graphen angestellt hast, geht es nun darum, abschnittweise zu untersuchen, wie schnell Peter zwischendurch war. [br][br][b]4) Untersuche[/b] den unterstehenden Graphen (Abb. 2.2) abschnittsweise. [br]Verwende dafür verschiedene Steigungsdreiecke. Variiere durch die beiden Schieberegler die zu untersuchende Stelle (=Zeit) und die größe des Steigungsdreiecks. Zoom auch ruhig in die Graphik rein! [b]Notiere[/b] erneut, in welchen Bereichen Peter wohl besonders schnell/besonders langsam gefahren ist und [b]begründe[/b] dies mit Hilfe der Steigungsdreiecke.[br][br]Über den Knopf [i]Lösung einblenden[/i] kannst du die Berechnungen einblenden. [br][br][b]5) Erkläre [/b]die [u]Bedeutung der Steigungsdreiecke[/u] und die [u]Bedeutung von "m"[/u] im Kontext der Autofahrt von Peter.[/justify]

Bis jetzt hast du dir nur Abschnitte, also Zeiträume über mehrere Minuten, angeschaut. Nun versuchen wir, möglichst kurze Zeitpunkte zu untersuchen.[br][br][b]6)[/b] [b]Bestimme[/b] mithilfe der Steigungsdreiecke und der Lösungsanzeige in Abb. 2.2 möglichst genau die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt x=1. [b]Was fällt dir auf, wenn du den Zeitpunkt so genau wie möglich eingrenzen möchtest?[br][/b][br][b]7) Finde [/b]weitere Zeitpunkte, an denen Peter besonders schnell war.[br][br][b]8) Erkläre[/b], inwiefern sich die Vorgehensweisen bei der [u]Untersuchung von Zeiträumen[/u] und bei der [u]Untersuchung von Zeitpunkten[/u] unterscheiden.

[br][list=1][*]Die [b]Änderung des Ortes[/b] in Relation zur Zeit (Strecke pro Zeit) ist die [b]Geschwindigkeit[/b]![/*][*]Mithilfe einer linearen Funktion (s. Steigungsdreieck) lassen sich ganzrationale Funktionen stückweise annähern! Die Steigung berechnet man durch die Steigungsformel ....[/*][*]Je .... das Steigungsdreieck, desto.... die Näherung![/*][*]Ist der Graph tendenziell flacher, ist das Steigungsdreieck ...! Ist der Graph tendenziell steiler, ist das Steigungsdreieck ...![/*][/list][br]Zeit für Fachbegriffe![br][list=1][*]Im Fall von Peter hast du die[b] mittlere Änderungsrate[/b] des Ortes untersucht: die Durchschnittsgeschwindigkeit[/*][*]Du hast sie mithilfe des [b]Differenzenquotienten [/b]berechnet. [/*][*]Je... die Stellen beieinander liegen, desto ... nähert der [b]Differenzenquotient[/b] die tatsächliche Steigung der Funktion![/*][*]Ist die Funktion flacher, ist die Änderungsrate .... Ist die Funktions steiler, ist die Änderungsrate ....![/*][*]Der [b]Differenzenquotient [/b]() berechnet nur die [b]mittlere Änderungsrate[/b], nicht die[b] exakte / momentane Änderungsrate[/b]![/*][/list]

Die [b]mittlere Steigung [/b]eines Berges und die [b]Durchschnittsgeschwindigkeit[/b], man spricht auch von "mittlerer Geschwindigkeit", bei zum Beispiel einer Autofahrt, sind [b]mittlere Änderungsraten[/b]. [br][br]Mittlere Änderungsraten wie die mittlere Steigung und die mittlere Geschwindigkeit beziehen sich auf ein [b]Intervall[/b] (Abschnitt) und [u]nicht[/u] auf einen lokalen Punkt.[br][br][br]Die mittlere Änderungsrate (Steigung als auch Geschwindigkeit) berechnen wir mit dem [b]Differenzenquotienten[/b]:[br][br][math]m=\frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}[/math][br][br]Diese Formel wurde eben in [u]Abbildung 2.2 [/u](Genauere Untersuchung von Peters Fahrt) genutzt, um die mittleren Steigungen, die durch das Steigungsdreieck veranschaulicht wurden, zu berechnen.