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Logarithmusfunktion
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1. Einführung
- Einführung
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2. Eigenschaften
- Logarithmus und Exponentialfunktion
- Logarithmus in Exponentialfunktion
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3. Verschieben und Strecken
- Verschieben und Strecken
- Logarithmus zeichnen
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4. Logarithmische Achsen
- Logarithmische Achse
- Punkte auf logarithmischer Achse einzeichnen
- Punkte einzeichnen
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5. Logarithmengesetze
- Produktregel
- Quotientenregel
- Potenzregel
- Basiswechsel
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Logarithmusfunktion
Samuel Gamper, Mar 31, 2024
Logarithmusfunktion
Table of Contents
- Einführung
- Einführung
- Eigenschaften
- Logarithmus und Exponentialfunktion
- Logarithmus in Exponentialfunktion
- Verschieben und Strecken
- Verschieben und Strecken
- Logarithmus zeichnen
- Logarithmische Achsen
- Logarithmische Achse
- Punkte auf logarithmischer Achse einzeichnen
- Punkte einzeichnen
- Logarithmengesetze
- Produktregel
- Quotientenregel
- Potenzregel
- Basiswechsel
Einführung
Aufgabe 1
Sie Sehen die Funktion gezeichnet. Ausserdem ist ein x-Wert gegeben. Gesucht ist der dazugehörige y-Wert des Punktes auf der Funktionsgleichung.
Verschieben Sie den blauen Punkt und beobachten Sie wie sich der gesuchte y-Wert verändert.
Wie berechnet man den gesuchten y-Wert? Berechnen Sie einige Werte und überprüfen Sie diese mit Hilfe der Checkbox "Werte Anzeigen".
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Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
Align left
Align right
Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
Es gilt allgemein:
Aufgabe 2
In manchen Situationen sind jedoch nicht die x-Werte, sondern die y-Werte gegeben. Zu einem bestimmten y-Wert wird also der dazugehörige x-Wert gesucht.
Klicken Sie auf die Checkbox "Umkehrung" und verändern Sie den Punkt auf der y-Achse. Beobachten Sie, wie sich der dazugehörige x-Wert verändert. Formulieren Sie diese Beobachtungen.
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Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
Align left
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Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
Je grösser y, desto grösser ist der gesuchte x-Wert.
Wenn der y-Wert kleiner ist, macht der x-Wert eine grössere Änderung als wenn der y-Wert grösser ist. Eine kleine y-Änderung führt also dann zu einer grossen x-Änderung falls der y-Wert klein ist.
Aufgabe 3
Können Sie einzelne Werte berechnen?
Geht es mit allen Werten?
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Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
Align left
Align right
Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
Ja, einzelne Werte können berechnet werden. Wenn die y-Werte Potenzen der Basis sind, können die x-Werte berechnet werden (Exponent der Potenz, bzw. Exponentenvergleich).
Das geht aber nicht mit allen Werten. Die meisten Werte liegen zwischen zwei ganzzahligen Potenzen und lassen sich nicht ohne weiteres berechnen.
Aufgabe 4
Lassen Sie sich nun die x-Werte anzeigen. Der Name dieser x-Werte ist "der Logarithmus zur Basis a von y".
Diese Logarithmen sehen Sie auch direkt ausgerechnet.
Ändern Sie die Basis und den Punkt auf der y-Achse und beobachten Sie, wie sich die Formel zur Berechnung des gesuchten x-Werts verändert.
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Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
Align left
Align right
Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
Allgemein gilt:
Logarithmus und Exponentialfunktion
Aufgabe 1
Gezeichnet sind zwei Funktionen und . Ausserdem ist die Funktion eingezeichnet.
Der Punkt P befindet sich auf der Funktion e und lässt sich verschieben.
Wie entsteht der Punkt P' und welche spezielle Eigenschaft hat dieser?
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Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
Align left
Align right
Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
Der Punkt P' entsteht durch eine Spiegelung an der Achse .
Der Punkt P' liegt auf der Funktion l.
Aufgabe 2
Was heisst das für die beiden Funktionen und ?
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Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
Align left
Align right
Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
ist die Umkehrfunktion von .
Aufgabe 3
Stimmt das auch für andere Basen ?
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Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
Align left
Align right
Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
Ja, das stimmt für alle Basen .
Verschieben und Strecken
Aufgabe 1
Verändern Sie den Schieberegler a. Betrachten Sie die Veränderung der Funktion, der Funktionsgleichung und der eingezeichneten speziellen Punkte P und Q.
Beschreiben Sie den Einfluss von Parameter a.
Hinweis: Sie können sich Hilfe holen, indem Sie die Checkbox "Pfeile anzeigen" aktivieren.
Font sizeFont size
Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
Align left
Align right
Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
Der Parameter a ist die Basis des Logarithmus.
Ist , so wächst der Logarithmus, ist so sinkt dieser.
Dabei bleibt der Punkt P immer am gleichen Ort. Er ist ein Fixpunkt bei der Veränderung der Basis. Das bedeutet, dass alle reinen Logarithmusfunktionen durch den Punkt verlaufen.
Der Punkt Q liegt auf der reinen Logarithmusfunktion immer auf der Höhe 1. Der x-Wert dieses Punktes entpricht genau der Basis des Logarithmus. Dies bedeutet, dass gilt, für alle möglichen a-Werte.
Aufgabe 2
Verändern Sie nun den Parameter b und beschreiben Sie dessen Einfluss auf die Funtionsgleichung, den Graphen und die Punkte.
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Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
Align left
Align right
Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
Der Parameter b streckt die Funktionswerte. die y-Werte jedes Punktes wird mit b multipliziert.
Da der Punkt P eine Nullstelle ist, bleibt diese stehen.
Wird b negativ, so kommt zur Streckung zusätzlich eine Spiegelung an der x-Achse dazu.
Aufgabe 3
Lösen Sie nun dieselbe Aufgabe für dir restlichen Parameter q und c.
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Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
Align left
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Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
c verschiebt die Funktion in die Vertikale Richtung. Dabei werden alle y-Werte mit c addiert.
q verschiebt die Funktion in horizontaler Richtung. Dabei werden alle x-Werte um q (in die entgegengesetzte Richtung) verschoben. Für positive q-Werte wird die Funktion nach links, für negative q-Werte wird die Funktion nach rechts verschoben.
Aufgabe 4
Notieren Sie sich nun eine allgemeine logarithmische Funktionsgleichung mit allen oben beschriebenen Parametern.
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Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
Align left
Align right
Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
Allgemein ist:
Logarithmische Achse
Aufgabe 1
Gezeichnet ist eine lineare Achse und eine logarithmische Achse.
Identifizieren Sie diese.
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Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
Align left
Align right
Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
Oben in grün die logarithmische Skalierung,
unten in schwarz die lineare Skalierung
Aufgabe 2
Mit dem Punkt "Ablesen" kann der Zeiger nach links und rechts verschoben werden. Oben am Zeiger wird gezeigt wie von der unteren auf die obere Skala umgerechnet wird.
Verifzieren Sie die angegebenen Zahlenwerte indem Sie mindestens drei verschiedene Werte der linearen Skala in die Werte der logarithmischen Skala umrechnen. Tun Sie dies mit Hilfe Ihres Taschenrechners.
Aufgabe 3
Wie können Sie die Zahl der logarithmischen Skala wieder zurück zur linearen Skala rechnen?
Rechnen Sie mindestens drei Beispiele mit Hilfe des Taschenrechners nach.
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Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
Align left
Align right
Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
Es gilt: .
Man muss also den Wert der logarithmischen Skala als Exponent mit der Basis 10 verwenden.
Aufgabe 4
Drücken Sie die Knöpf "verkleinern" und "vergrössern" und beschreiben Sie was sich jeweils an den Skalen verändert.
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Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
Align left
Align right
Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
Beim Vergrössern werden die Einheiten der linearen Achse um den Faktor 10 grösser, wogegen die logarithmische Achse um jeweils eine Einheit grösser wird.
Beim Verkleinern werden die Einheiten der linearen Achse um einen Zehntel kleiner. Die logarithmische Skalierung wird um eine Einheit kleiner.
Aufgabe 5
Wenn auf der Logarithmischen Achse der Wert -8 beziehungsweise 7 steht. Welchem Wert entspricht dies auf einer linearen Achse?
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Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
Align left
Align right
Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
Dem Wert beziehungsweise .
Aufgabe 6
Die Logarithmische Achse ist sehr speziell eingeteilt. Was können Sie über die Abstände zwischen zwei Teilstrichen auf der linearen Achse (z.B. zwischen 1.5 und 1.6 und 1.7) und auf der logarithmischen Achse machen?
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Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
Align left
Align right
Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
Auf der linearen Achse bleiben die Abstände zwischen zwei gleich Zahlen mit der gleichen Differenz gleich.
Auf der logarithmischen Achse sind die Werte gegen den linken Rand hin gedrückt, währen sie gegen den Rechten Rand gestreckt sind. Die Abstände zwischen zwei Zahlen bleiben hier also nicht konstant.
Aufgabe 7
Wo findet man die Zahl Null der logarithmischen Achse auf der linearen Achse?
Und wo findet man die Zahl Null der linearen Achse auf der logarithmischen Achse?
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Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
Align left
Align right
Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
Die Zahl Null auf der Logarithmischen Achse entspricht der Zahl 1 ().
Die Zahl Null auf der linearen Achse findet man auf der logarithmischen Achse nicht, da nicht definiert ist.
Aufgabe 8
Der Abstand zwischen 0 und 1 auf der logarithmischen Achse entspricht welchem Abstand auf der linearen Achse?
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Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
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Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
Das ist der Abstand zwischen 1 und 10.
Aufgabe 9
Der Abstand zwischen 1 und 2 auf der logarithmischen Achse entspricht welchem Abstand auf der linearen Achse?
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Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
Align left
Align right
Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
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Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
Dies ist der Abstand zwischen 10 und 100.
Aufgabe 10
Stellen Sie die Achsen nun wieder so ein, dass die lineare Achse von 1 bis 10 und die logarithmische Achse von 0 bis 1 skaliert sind.
Nehmen Sie an, dass Sie nun ausschliesslich die lineare Achse sehen könnten und den Logarithmus von 2 ablesen sollen. Dies wird Ihnen ohne weitere Hilfsmittel kaum möglich sein. Deshalb wird die lineare Achse oft so umgestaltet, dass die Abstände logarithmisch aufgetragen werden.
Klicken Sie die Checkbox beobachten Sie wie sich die Abstände auf der linearen und der logarithmischen Achse verändern.
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Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
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Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
Die vorher unregelmässige Abstände auf der logarithmischen Achse werden nun zu unregelmässigen Abständen auf der linearen Achse.
Die Abstände auf der logarithmischen Achse werden damit regelmässig.
Aufgabe 11
Nun können Sie den Wert für den Logarithmus von 2 ganz einfach ablesen. Wie gehen Sie vor, wenn Sie nur die lineare Achse (mit logarithmischer Einteilung) sehen?
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Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
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Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
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Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
Sie müssen bei der linearen Achse die Zahl 2 suchen und den Abstand zur Zahl 1 messen. Diesen Abstand teilen Sie dann durch den Abstand zwischen 1 und 10.
Das Verhältnis der beiden Abstände ergibt den Logarithmus der Zahl 2.
Produktregel
Aufgabe 1
Sie sehen drei Pfeile. Wie hängen die Schieberegler mit den x-Positionen dieser Pfeile zusammen und was bedeutet deren Länge?
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Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
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• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
Die Länge der Pfeile entsprechen dem Logarithmus zur Basis a vom entsprechenden x-Wert.
Die x-Werte werden mit Hilfe der Schieberegler eingestellt. Der blaue Schieberegler w bestimmt den x-Wert des blauen Pfeils, der rote Schieberegler u bestimmt den x-Wert des roten Pfeils.
Das Produkt aus den beiden Schiebereglern ergibt den x-Wert des violetten Pfeils.
Der grüne Schieberegler a bestimmt die Basis der Logarithmusfunktion.
Aufgabe 2
Stellen Sie die Konstruktion wieder auf die Starteinstellungen zurück.
Die dicken (blau und rot) Punkte lassen sich verschieben. Tun Sie dies so weit Sie können. Was stellen Sie fest?
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Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
Align left
Align right
Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
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Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
Der violette Pfeil ist gleich lang wie die Summe aus dem roten und dem blauen.
Es gilt hier also:
Aufgabe 3
Gilt dieser Zusammenhang auch für andere Werte von u, w und a? Finden Sie Spezialfälle beziehungsweise Ausnahmen?
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Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
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• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
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Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
Man sollte keine Ausnahmen finden, bis auf wenn die Basis a=1 ist, und damit die Logarithmusfunktion nicht definiert ist.
Aufgabe 4
Beweisen Sie die gefundene Identität.
Hinweis: Zum formalen Beweis ist es Hilfreich, die Logarithmen in Exponentialgleichungen zu schreiben.
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Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
Align left
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• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
Sei und . Dann gilt, dass und . Damit ist dann
Zieht man nun auf beiden Seiten der Gleichung den Logarithmus, ergibt sich:
Saving…
All changes saved
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A timeout occurred. Trying to re-save …
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