Logarithmusfunktion
Logarithmusfunktion
Table of Contents
- Einführung
- Einführung
- Eigenschaften
- Logarithmus und Exponentialfunktion
- Logarithmus in Exponentialfunktion
- Verschieben und Strecken
- Verschieben und Strecken
- Logarithmus zeichnen
- Logarithmische Achsen
- Logarithmische Achse
- Punkte auf logarithmischer Achse einzeichnen
- Punkte einzeichnen
- Logarithmengesetze
- Produktregel
- Quotientenregel
- Potenzregel
- Basiswechsel
Einführung
Aufgabe 1
Sie Sehen die Funktion [math]f\left(x\right)=a^x[/math] gezeichnet. Ausserdem ist ein x-Wert gegeben. Gesucht ist der dazugehörige y-Wert des Punktes auf der Funktionsgleichung.[br]Verschieben Sie den blauen Punkt und beobachten Sie wie sich der gesuchte y-Wert verändert.[br]Wie berechnet man den gesuchten y-Wert? Berechnen Sie einige Werte und überprüfen Sie diese mit Hilfe der Checkbox "Werte Anzeigen".
Aufgabe 2
In manchen Situationen sind jedoch nicht die x-Werte, sondern die y-Werte gegeben. Zu einem bestimmten y-Wert wird also der dazugehörige x-Wert gesucht.[br]Klicken Sie auf die Checkbox "Umkehrung" und verändern Sie den Punkt auf der y-Achse. Beobachten Sie, wie sich der dazugehörige x-Wert verändert. Formulieren Sie diese Beobachtungen.
Aufgabe 3
Können Sie einzelne Werte berechnen?[br]Geht es mit allen Werten?
Aufgabe 4
Lassen Sie sich nun die x-Werte anzeigen. Der Name dieser x-Werte ist "der Logarithmus zur Basis a von y". [br]Diese Logarithmen sehen Sie auch direkt ausgerechnet.[br]Ändern Sie die Basis und den Punkt auf der y-Achse und beobachten Sie, wie sich die Formel zur Berechnung des gesuchten x-Werts verändert.
Logarithmus und Exponentialfunktion
Aufgabe 1
Gezeichnet sind zwei Funktionen [math]e\left(x\right)[/math] und [math]l\left(x\right)[/math]. Ausserdem ist die Funktion [math]g\left(x\right)=x[/math] eingezeichnet.[br]Der Punkt P befindet sich auf der Funktion e und lässt sich verschieben.[br]Wie entsteht der Punkt P' und welche spezielle Eigenschaft hat dieser?
Aufgabe 2
Was heisst das für die beiden Funktionen [math]e\left(x\right)[/math] und [math]l\left(x\right)[/math]?
Aufgabe 3
Stimmt das auch für andere Basen [math]a[/math]?
Verschieben und Strecken
Aufgabe 1
Verändern Sie den Schieberegler a. Betrachten Sie die Veränderung der Funktion, der Funktionsgleichung und der eingezeichneten speziellen Punkte P und Q. [br]Beschreiben Sie den Einfluss von Parameter a.[br][size=85]Hinweis: Sie können sich Hilfe holen, indem Sie die Checkbox "Pfeile anzeigen" aktivieren.[/size]
Aufgabe 2
Verändern Sie nun den Parameter b und beschreiben Sie dessen Einfluss auf die Funtionsgleichung, den Graphen und die Punkte.
Aufgabe 3
Lösen Sie nun dieselbe Aufgabe für dir restlichen Parameter q und c.
Aufgabe 4
Notieren Sie sich nun eine allgemeine logarithmische Funktionsgleichung mit allen oben beschriebenen Parametern.
Logarithmische Achse
Aufgabe 1
Gezeichnet ist eine lineare Achse und eine logarithmische Achse.[br]Identifizieren Sie diese.
Aufgabe 2
Mit dem Punkt "Ablesen" kann der Zeiger nach links und rechts verschoben werden. Oben am Zeiger wird gezeigt wie von der unteren auf die obere Skala umgerechnet wird.[br]Verifzieren Sie die angegebenen Zahlenwerte indem Sie mindestens drei verschiedene Werte der linearen Skala in die Werte der logarithmischen Skala umrechnen. Tun Sie dies mit Hilfe Ihres Taschenrechners.
Aufgabe 3
Wie können Sie die Zahl der logarithmischen Skala wieder zurück zur linearen Skala rechnen? [br]Rechnen Sie mindestens drei Beispiele mit Hilfe des Taschenrechners nach.
Aufgabe 4
Drücken Sie die Knöpf "verkleinern" und "vergrössern" und beschreiben Sie was sich jeweils an den Skalen verändert.
Aufgabe 5
Wenn auf der Logarithmischen Achse der Wert -8 beziehungsweise 7 steht. Welchem Wert entspricht dies auf einer linearen Achse?
Aufgabe 6
Die Logarithmische Achse ist sehr speziell eingeteilt. Was können Sie über die Abstände zwischen zwei Teilstrichen auf der linearen Achse (z.B. zwischen 1.5 und 1.6 und 1.7) und auf der logarithmischen Achse machen?
Aufgabe 7
Wo findet man die Zahl Null der logarithmischen Achse auf der linearen Achse?[br]Und wo findet man die Zahl Null der linearen Achse auf der logarithmischen Achse?
Aufgabe 8
Der Abstand zwischen 0 und 1 auf der logarithmischen Achse entspricht welchem Abstand auf der linearen Achse?
Aufgabe 9
Der Abstand zwischen 1 und 2 auf der logarithmischen Achse entspricht welchem Abstand auf der linearen Achse?
Aufgabe 10
Stellen Sie die Achsen nun wieder so ein, dass die lineare Achse von 1 bis 10 und die logarithmische Achse von 0 bis 1 skaliert sind.[br]Nehmen Sie an, dass Sie nun ausschliesslich die lineare Achse sehen könnten und den Logarithmus von 2 ablesen sollen. Dies wird Ihnen ohne weitere Hilfsmittel kaum möglich sein. Deshalb wird die lineare Achse oft so umgestaltet, dass die Abstände logarithmisch aufgetragen werden.[br]Klicken Sie die Checkbox beobachten Sie wie sich die Abstände auf der linearen und der logarithmischen Achse verändern.
Aufgabe 11
Nun können Sie den Wert für den Logarithmus von 2 ganz einfach ablesen. Wie gehen Sie vor, wenn Sie nur die lineare Achse (mit logarithmischer Einteilung) sehen?
Produktregel
Aufgabe 1
Sie sehen drei Pfeile. Wie hängen die Schieberegler mit den x-Positionen dieser Pfeile zusammen und was bedeutet deren Länge?
Aufgabe 2
Stellen Sie die Konstruktion wieder auf die Starteinstellungen zurück.[br]Die dicken (blau und rot) Punkte lassen sich verschieben. Tun Sie dies so weit Sie können. Was stellen Sie fest?
Aufgabe 3
Gilt dieser Zusammenhang auch für andere Werte von u, w und a? Finden Sie Spezialfälle beziehungsweise Ausnahmen?
Aufgabe 4
Beweisen Sie die gefundene Identität.[br][size=85]Hinweis: Zum formalen Beweis ist es Hilfreich, die Logarithmen in Exponentialgleichungen zu schreiben.[/size]