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Elliptische Funktionen & Kreisbüschel & ...

Walter Füchte, Feb 5, 2023

. . . & bizirkulare Quartiken . . . . . . & 6-Eck-Netze aus Kreisen

Zusammenhang zwischen Elliptischen Funktionen & Bizirkularen Quartiken & ... Kreisbüscheln & ... 6-Eck-Netzen aus Kreisen

Prolog
1. Inhalt des geogebra-books
2. Vier Punkte: ihre Lage
3. Vier Punkte in Normalform
Kreisbüschel
1. Kreisbüschel: Differentialgleichungen
2. parabolic pencils of circles
3. exp: parabolic -> elliptic pencil
4. elliptic/hyperbolic pencils of circles
Geometrie der elliptischen Funktionen
1. Von Kreisbüscheln zu elliptischen Funktionen
2. Differentialgleichung elliptischer Funktionen
3. Differentialgleichung elliptischer Funktionen 2
4. Cassini 1
5. Cassini 2
6. Zwei besondere Lagen
7. Harmonische Lage
8. Tetraeder - Lage
9. zusammenfallende Brennpunkte
10. z ↦ w = z² und z ↦ w = cos(z)
11. z ↦ w = z² & z ↦ w = sinh(z)
Geometrie der bizirkularen Quartiken
1. Geometriekalkül für bizirkulare Quartiken?
2. 3D: Schnitt Kugel - Quadrik
3. Quadrik-Projektionen
4. Die Formeln
5. Brennpunkte
6. LeitKreise
7. Die Leit-Kreis-Konstruktion
8. Wellen
9. Bizirkulare Quartik als Hüllkurve
10. Cassini-Quartiken
6-Eck-Netze aus Kreisen
1. 6-Eck-Netze aus Kreisen: eine Übersicht
2. Hommage à Walter Wunderlich
3. . . . an Ellipsen & Hyperbeln
4. Ein neues 6-Eck-Netz aus Kreisen I
5. Neu I als Cartesisches Oval
Anhang: SO(3, ℂ) als Möbiusgruppe
1. SO(3, ℂ) als Möbiusgruppe
2. Die LIE-Algebra
3. Die Lage von 4 Punkten
4. Brennpunkte der bizirkularen Quartiken
5. Elliptische Differentialgleichung, bizirkulare Quartiken
6. summary

Information

Prolog

1. Inhalt des geogebra-books
2. Vier Punkte: ihre Lage
3. Vier Punkte in Normalform

Inhalt des geogebra-books

Diese Aktivität ist eine Seite des geogebra-books Elliptische Funktionen & Bizirkulare Quartiken & ... (05.02.2023)

Elliptische Funktionen sind meromorphe doppelt-periodische komplexe Funktionen, welche einer komplexen Differentialgleichung des Typs

mit

genügen. Die Brennpunkte

werden für die eigentlichen elliptischen Funktionen als verschieden vorausgesetzt. Beispiele sind die Weierstrassschen

-Funktionen mit der Differentialgleichung

- ein Brennpunkt dieser Funktionen ist

. Beispiel: das Bild oben links mit konzyklischen Brennpunkten - und die Jacobischen elliptischen Funktionen sn, dn, cn, ... .

Elliptische Funktion ;

Weierstraßsche ℘-Funktion ;

Jacobische elliptische Funktion (wikipedia). Charakteristisch für die Lösungen der elliptischen Differentialgleichungen des obigen Typs ist die Lage der Brennpunkte. Sind diese verschieden, so wird ihre Lage durch ihr Doppelverhältnis

bestimmt. Unabhängig von der Reihenfolge ist die Absolute Invariante

. Zwei elliptische Funktionen, deren Absolute Invariante übereinstimmen, lassen sich stets durch eine Möbiustransformation ineinander überführen. Die Absolute Invariante ist eine Invariante der Möbiustransformationen.

Elliptische Funktionen und Kreisbüschel

Die Kreise eines elliptischen Kreisbüschels sind Lösungskurven der Differentialgleichung

, wobei die Brennpunkte

die Grundpunkte des Kreisbüschels sind. Die Differentialgleichung

beschreibt ein parabolisches Kreisbüschel mit

als Berührpunkt. Jede elliptische Differentialgleichung des obigen Typs läßt sich als "Produkt" zweier Kreisbüschel-Differentialgleichungen auffassen, je nach Lage der Brennpunkte sogar auf verschiedene Arten. Die Lösungskurven der elliptischen Differentialgleichung sind Winkelhalbierende der sich schneidenden Kreise aus den 2 Kreisbüscheln des Produkts. Dies ist auch dann der Fall, wenn Brennpunkte zusammenfallen. Das Bild links oben stellt das elliptische Richtungsfeld dar, das sich als Winkelhabierenden-Feld zweier Kreisbüschel ergibt. Hinweis: Für 2 komplexe Zahlen

ist

Winkelhalbierende!

Brennpunkte in Normalform

elliptische Funktionen und bizirkulare Quartiken

Ist die absolute Invariante

der 4 Brennpunkte einer elliptischen Differentialgleichung reell, oder fallen Brennpunkte zusammen, so sind für geeignetes

konfokale bizirkulare Quartiken Lösungskurven der Differentialgleichung. Sind die 4 Brennpunkte verschieden, so sind für

sind die Brennpunkte konzyklisch, die Quartiken sind 2-teilig; für

liegen 2 der Brennpunkt-Paare spiegelbildlich auf 2 orthogonalen Kreisen, die Quartiken sind 1-teilig.

Konfokale bizirkulare Quartiken: die 4 Typen in Normalform

Fallen 2 der Brennpunkte in einen zusammen, und transformiert man diesen nach

, so ergeben sich konfokale Mittelpunktskegelschnitte. Fallen 3 Brennpunkte in einem zusammen, so erhält man mit diesem als

konfokale Parabeln. Oben nicht erfaßt sind 2 Spezialfälle:

4 verschiedene Brennpunkte mit : die Brennpunkte sind konzyklisch und besitzen harmonische Lage, es gibt 2-teilige bizirkulare Lösungkurven und im 45°-Winkel dazu 1-teilige bizirkulare Lösungskurven Quadratischer Fall mit Diagonalen.
hexagonaler Fall: Auf der Möbiuskugel kann man die Brennpunkte als Ecken eines regelmäßigen Tetraeders anordnen. Durch jeden Punkt (von den Brennpunkten abgesehen) gehen sechs 1-teilige bizirkulare Quartiken als Lösungskurven; Schnittwinkel: Vielfache von 60°

6-Eck-Netze ?

6-Eck-Netze aus Kreisen und bizirkulare Quartiken

W. BLASCHKE's Problem: (1938)

Man bestimme alle 6-Eck-Netze, die sich aus 3 Kreisscharen bilden lassen!

Die Frage nach allen 6-Eck-Netzen aus 3 Geradenscharen war 1938 schon gelöst. 6-Eck-Netze aus 3 Kreisbüscheln haben wir 1983 bestimmt, dazu gab es inzwischen immer wieder Beiträge. Das Problem ist für räumliche Kreisscharen gelöst: man findet solche "3-web of circles" nur auf DARBOUX Cycliden. Einschalige Hyperboloide sind spezielle Beispiele hierfür. Nicht gelöst und offensichtlich sehr schwer zu lösen ist die Frage nach 6-Eck-Netzen auf der Möbius-Kugel, bzw. in der komplexen Möbiusebene

. Was ist ein 6-Eck-Netz? 3 Kurven-Scharen in einem offenen Gebiet, mit den Eigenschaften: - durch jeden Punkt gehen aus jeder Schar genau eine Kurve. - je 2 Kurven aus verschiedenen Scharen schneiden sich in dem Gebiet in genau einem Punkt.. wird 6-Eck-Netz genannt, wenn sich jedes 6-Eck aus 3*3 Kurven in einem gemeinsamen Punkt schließt..

6-Eck-Netz aus Kreisen: bekannt - - - - - - - neu und unbekannt

Links: Hommage á WALTER WUNDERLICH. 1938 hat Walter Wunderlich 2-teilige bizirkulare Quartiken untersucht und gezeigt, dass diese Quartiken 3 Scharen von doppelt-berührenden Kreisen besitzen, aus denen ein "besonderes Dreiecksnetz aus Kreisen" konstruiert werden kann. Zu jeder dieser 3 Kreis-Scharen gehört ein Symmetrie-Kreis. Die 2-teiligen bizirkularen Quartiken besitzen 4 paarweise orthogonale Symmetrie-Kreise. Die Konstruktion dieser 6-Eck-Netze nutzt die Brennpunkte und die zugeörigen Leitkreise. Die Konstruktionen sind bei der Suche nach 6-Eck-Netzen aus Kreisen auch erfolgreich bei Mittelpunkts-Kegelschnitten und deren doppelt-berührenden Kreisen, zu denen auch die Tangenten gehören: möbiusgeometrisch ist

ein doppelt-zählender Brennpunkt und ein Kurven-Punkt! 2013 hat FEDOR NILOV neue 6-Eck-Netze aus Kreisen (

"NEW EXAMPLES OF HEXAGONAl WEBS OF CIRCLES") vorgestellt: Diese Beispiele beziehen für Kegelschnitte neben den doppelt-berührenden Kreisen auch die zu den Brennpunkten gehörenden Kreis-Büschel mit ein. Wir werden im letzten Kapitel dieses geogebra-books eine allgemeine Übersicht über 6-Eck-Netze aus Kreisen vorstellen. Enthalten sind einige Kreisnetze, die wahrscheinlich bisher unbekannt sind wie das oben rechts angezeigte 6-Eck-Netz. Die Beispiele von FEDOR NILOV sind als Spezialfälle enthalten.

1.2.

1.3.

2.

Kreisbüschel

1. Kreisbüschel: Differentialgleichungen
2. parabolic pencils of circles
3. exp: parabolic -> elliptic pencil
4. elliptic/hyperbolic pencils of circles

2.1.

Kreisbüschel: Differentialgleichungen

^{Diese Aktivität ist eine Seite des geogebra-books

Elliptische Funktionen & Bizirkulare Quartiken & ... (27.04.2023)}

Differentialgleichung eines parabolischen Kreisbüschels:

Der komplexe Vektor

gibt die Richtung an, in welcher sich die Kreise in f berühren. Lösung:

, es ist .

Differentialgleichung eines elliptischen Kreisbüsches:

Lösung:

bildet die Parallelen zur -Achse auf die Strahlen durch ab, die Parallelen zur -Achse auf die konzentrischen Kreise um . Die Möbiusabbildung bildet auf und auf ab. Für gilt

Die geometrische Idee nutzt den Peripheriewinkelsatz und die Eigenschaften der Tangenten in den Schnittpunkten einer Kreissekante mit dem Kreis. Und: Die Multiplikation zweier komplexer Zahlen

und

läßt sich als Drehstreckung deuten:

.

2.2.

2.3.

2.4.

3.

Geometrie der elliptischen Funktionen

1. Von Kreisbüscheln zu elliptischen Funktionen
2. Differentialgleichung elliptischer Funktionen
3. Differentialgleichung elliptischer Funktionen 2
4. Cassini 1
5. Cassini 2
6. Zwei besondere Lagen
7. Harmonische Lage
8. Tetraeder - Lage
9. zusammenfallende Brennpunkte
10. z ↦ w = z² und z ↦ w = cos(z)
11. z ↦ w = z² & z ↦ w = sinh(z)

3.1.

Von Kreisbüscheln zu elliptischen Funktionen

Diese Aktivität ist eine Seite des geogebra-books Elliptische Funktionen & Bizirkulare Quartiken & ... (05.02.2023)

Die Kreise eines elliptischen Kreisbüschels durch 2 Brennpunkte f₁, f₂ sind als Bahnkurven durch die

Differentialgleichung

charakterisiert. Die Differentialgleichung erzeugt in der komplexen Ebene

ein Vektorfeld, deren Lösungskurven die Kreise durch f₁, f₂ sind. Ein zweites elliptisches Kreisbüschel mit den Brennpunkten f₃, f₄ wird durch eine analoge Differentialgleichung beschrieben. Das "Produkt"

ist die Differentialgleichung einer elliptischen Funktion , wenn die 4 Brennpunkte verschieden sind.

Die Lösungskurven dieser Differentialgleichung sind Winkelhalbierende der Kreise aus den beiden elliptischen Kreisbüscheln: Durch jeden Punkt der Ebene (von den Brennpunkten abgesehen) geht aus jedem der beiden Kreisbüschel genau ein Kreis. Man lege im obigen Applet die Punkte p₂ und p übereinander (p₂

p); es ist dann

, das ist genau die winkelhalbierende Richtung; eine Folge der geometrischen Eigenschaften der komplexen Multiplikation! Ein analoges Ergebnis erhält man, wenn eines der beiden Kreisbüschel hyperbolisch ist; die Lösungskurven schneiden die des 1. Beispiels unter 45°.

3.2.

3.3.

3.4.

3.5.

3.6.

3.7.

3.8.

3.9.

3.10.

3.11.

4.

Geometrie der bizirkularen Quartiken

1. Geometriekalkül für bizirkulare Quartiken?
2. 3D: Schnitt Kugel - Quadrik
3. Quadrik-Projektionen
4. Die Formeln
5. Brennpunkte
6. LeitKreise
7. Die Leit-Kreis-Konstruktion
8. Wellen
9. Bizirkulare Quartik als Hüllkurve
10. Cassini-Quartiken

4.1.

Geometriekalkül für bizirkulare Quartiken?

Diese Aktivität ist eine Seite des geogebra-books Elliptische Funktionen & Bizirkulare Quartiken & ... (21.06.2023)

Eine ebene algebraische Kurve 4.-Ordnung wird bizirkulare Quartik genannt, wenn sie einer Gleichung des folgenden Typs genügt:

mit reellen

Diesen reell 9-dimensionalen Raum nach geometrischen Gesichtspunkten zu ordnen und den Zusammenhang mit elliptischen Funktionen aufzuklären, ist nicht so einfach. In dem wunderschönen Buch "Geometriekalküle" von J. Richter-Gebert und T. Orendt, Springer 2009, wird vorgeführt, wie sich manche geometrische Phänomene mit einem passenden Kalkül "einfach" darstellen und überzeugend beweisen lassen. Für den im vorliegenden geogebra-book aufzudeckenden Zusammenhang zwischen Kreisscharen, elliptischen Funktionen und bizirkularen Quartiken fehlt uns noch der geeignete Kalkül. Ein Ansatz bietet die räumliche projektive Geometrie: stereographisch auf die Kugel projiziert, können bizirkulare Quartiken als Schnittkurven der Kugel mit irgendeiner 2. Quadrik gedeutet werden: als Kalkül ist die lineare Algebra der Quadriken im Raum zu nutzen. Ein anderer Ansatz ist die Darstellung der Möbiusgruppe als

und deren Wirkung auf ihre LIE-Algebra

. Die LIE-Algebra erweist sich als Komplexifizierung des euklidischen Vektorraumes: das LIE-Produkt ist das komplexe Kreuzprodukt, Orthogonalität wird über eine symmetrische Bilinearform (kein Skalarprodukt!) definiert. Die komplexen Vektoren lassen sich als Kreisbüschel bzw. als deren Isogonaltrajektorien deuten. Elliptische Funktionen erhält man jeweils durch eine 2. quadratische Form, bizirkulare Quartiken werden erklärt durch HERMITEsche Formen. Der Zusammenhang zwischen bizirkularen Quartiken und den zugehörigen elliptischen Funktionen wird durch einen im obigen Sinne "passenden" Kalkül vermittelt: Das Quadrat einer Hermiteschen Form ergibt die zugeordnete symmetrische Bilinearform der elliptischen Funktion. Umgekehrt: Zu einer elliptischen Funktion mit reellen Koeffizienten (die absolute Invariante ist reell!) berechnet man einfach eine Schar von HERMITEschen Wurzeln, deren zugeordneten bizirkularen Quartiken die konfokalen Quartiken der elliptischen Funktion sind. Diesen "Kalkül" stellen wir im Anhangs-Kapitel kurz vor.

In den folgenden Aktivitäten dieses Kapitels stellen wir mitunter ohne Beweis mit Hilfe der Symmetrieen und der Leitkreise die wichtigsten geometrischen Eigenschaften der bizirkulare Quartiken vor.

4.2.

4.3.

4.4.

4.5.

4.6.

4.7.

4.8.

4.9.

4.10.

5.

6-Eck-Netze aus Kreisen

1. 6-Eck-Netze aus Kreisen: eine Übersicht
2. Hommage à Walter Wunderlich
3. . . . an Ellipsen & Hyperbeln
4. Ein neues 6-Eck-Netz aus Kreisen I
5. Neu I als Cartesisches Oval

5.1.

6-Eck-Netze aus Kreisen: eine Übersicht

Diese Aktivität ist eine Seite des geogebra-books Elliptische Funktionen & Bizirkulare Quartiken & ... (10.02.2023)

Diese Seite ist auch ein Teil des GeoGebra-Books Moebiusebene. (20.02 2023) Diese Seite ist auch eine Aktivität des Geogebra-Books Sechseck-Netze

2013 veröffentlichte F. NILOV in einem Artikel 5 neue Beispiele von 6-Eck-Netzen aus Kreisen. (

Lit.-Hinweis s.u.) Alle 5 Beispiele zeigen Beispiele im Zusammenhang mit Kegelschnitten. In diesem book-Kapitel haben wir die Beispiele verallgemeinert auf bizirkulare Quartiken, möbiusgeometrisch sind Kegelschnitte Spezialfälle dieser Kurven-Klasse. Diese Seite soll eine Übersicht über die möglichen Fälle geben; vielleicht eröffnet sie einen Blick auf die möglichen Lösungen für dieses wahrscheinlich noch ungelöste Problem von W. BLASCHKE (1938). Die Methoden zur Konstruktion der 6-Eck-Netze beruhen auf einem einfachen, von den Kegelschnitten her wohl-bekannten Sachverhalt: Kegelschnitte und bizirkulare Quartiken werden eingehüllt von verschiedenen Scharen doppelt-berührender Kreise. Die Tangenten an Kegelschnitte zählen dazu. Bizirkulare Quartiken wie Kegelschnitte werden charakterisiert durch Brennpunkte. Spiegelt man einen dieser Brennpunkte an den doppelt-berührenden Kreisen einer Schar, so liegen die Spiegelbilder auf einem Kreis, dem Leitkreis oder der Leitgerade. Umgekehrt: zu jedem Punkt auf einem Leitkreis gehört ein doppelt-berührender Kreis. Leider ist uns ein allgemeiner, geometrisch einleuchtender Nachweis dieses sehr nützlichen Sachverhalts nicht gelungen. Auch der CAS-Modul von geogebra ist kein Gewinn bei der Suche nach einem verständlichen Grund.

Bekannte und neue 6-Eck-Netze aus Kreisen

1938 stellte W. BLASCHKE die Frage nach allen 6-Eck-Netzen aus Kreisen. W. Blaschke, G. Bol, 1938. Geometrie der Gewebe. Springer Gelöst war die Frage nach allen 6-Eck-Netzen aus Geraden mit dem Satz von GRAF & SAUER: Geraden-6-Eck-Netze bestehen immer aus den Tangenten einer ebenen Kurve 3. Klasse.

Sechs-Eck-Gewebe aus Geraden Was ist ein 6-Eck-Netz ? Diffeomorphismus - - - > - - -> Hier ist der Diffeomorphismus die komplexe tan-Funktion.
BLASCHKEs Problem für Kreise scheint jedoch bis jetzt ungelöst zu sein und wird als nicht einfach gewertet. 1938 hat WALTER WUNDERLICH

"Über ein besonderes Dreiecksnetz aus Kreisen" berichtet, ein Artikel, der noch immer die zentrale Referenz für diese Problem ist. Erstaunlicherweise ist das Problem im Raum gelöst: räumliche 6-Eck-Netze aus Kreisen liegen stets auf DARBOUX Cycliden. Diese Flächen sind die räumlich möbiusgeometrischen Pendants der bizirkularen Quartiken.

Sechs-Eck-Gewebe 3D Die möglichen Netze sind sämtlich erfaßt.

H. Pottmann, L. Shi, M. Skopenkov, Darboux cyclides and webs from circles Einzige Ausnahme: die Kreis-6-Eck-Netze auf Kugeln oder Ebenen! 6-Eck-Netze aus den Kreisen dreier Kreisbüschel haben wir 1982 aufgelistet

Sechs-Eck-Gewebe aus Kreisbüscheln. Dazu wurden inzwischen weitere Arbeiten veröffentlich

A.M. Shelekhov, Classification of regular three-webs formed by pencils of circles, J. Math. Sciences 143:6 (2007) 3607-3629.. Der wesentliche Gedanke zur Charakterisierung dieser Kreisbüschel-Netze ist die Einsicht, dass der Ort, in welchem die Kreise aus den verschiedenen Büscheln sich berühren, in Kreise (Punkt-Kreise inkusive) zerfallen muss. Der Berührort zweier Kreisbüschel ist stets ein Spezialfall der bizirkularen Quartiken: entweder möbiusgeometrisch die Transformierte einer CASSINI-Quartik, oder eben eine in das Produkt zweier Kreise zerfallende Quartik.

Berührorte oder CASSINI-Kurven Auch für die in BLASCHKE`s Problem gesuchten allgemeinen Kreis-Netze scheint die Frage nach dem Berührort eine wesentliche Rolle zu spielen. Der Berührort begrenzt den offenen Bereich, in welchem allenfalls die 6-Eck-Bedingung erfüllt sein kann! Das besondere Netz von W. WUNDERLICH besteht aus doppelt-berührenden Kreisen einer 2-teiligen bizirkularen Quartik. Eine solche Quartik besitzt 4 verschiedene konzyklische Brennpunkte, 4 paarweise orthogonale Symmetrie-Kreise und zu jeder Symmetrie existiert eine Schar doppelt-berührender Kreise mit dieser Symmetrie. Eine dieser Scharen liegt im "Inneren" der Quartik - damit meinen wir die Quartik-Seite, welche die Brennpunkte enthält. Der zugehörige Symmetrie-Kreis ist die Hauptachse: das ist der Kreis, auf welchem die 4 Brennpunkte liegen. Die 3 anderen Kreis-Scharen liegen im Äußeren; aus den Kreisen dieser 3 Scharen kann man die 6-Eck-Netze bilden. Durch jeden Punkt im Äußeren gehen von jeder dieser 3 Scharen genau 2 Kreise. Daher kann man

verschiedene Netze erzeugen. Die 3 Scharen müssen dabei zu den 3 verschiedenen Symmetrieen gehören, bildet man im Äußeren zu den Kreisen einer Symmetrie 2 Scharen, so ist mit diesen kein 6-Eck-Netz möglich. Die Konstruktion der 6-Eck-Netzen aus den 3 Scharen nutzt die 3 Leitkreise, welche sich zu einem vorgegebenen Brennpunkt bezogen auf die jeweilige Symmetrie definieren lassen. Auch Mittelpunkts-Kegelschnitte besitzen im Äußeren Scharen von doppelt-berührenden Kreisen, wobei wir möbiusgeometrisch die Tangenten dazu zählen. Für die Tangenten kann man die Aussage über die verschiedenen Symmetrieen nicht anwenden. Dennoch kann man die 2 Tangenten durch einen jeden Punkt im Äußeren für 6-Eck-Netze nutzen: das Applet unten zeigt, dass im Grenzfall - 2 Brennpunkte fallen zusammen und aus der 2-teiligen Quartik wird ein Mittelpunkts-Kegelschnitt - aus zwei verschiedenen Leitkreisen zu verschiedenen Symmetrieen die doppelt-zählende Leitgerade für die Tangenten entsteht. Der zusammenfallende Brennpunkt wird dabei als

gewählt. 2013 veröffentlichte FEDOR NILOV 5 neue Beispiele für 6-Eck-Netze aus Kreisen.

NEW EXAMPLES OF HEXAGONAL WEBS OF CIRCLES Alle 5 Beispiele legen Kegelschnitte zugrunde. Die folgende Übersicht soll zeigen, dass sich die Beispiele auf allgemeine bizirkulare Quartiken fortsetzen lassen. Möglicherweise ergibt sich daraus ein neues Fundament für die Lösung von BLASCHKE's Problem. Exakte Beweise für das Vorliegen der neuen Kreis-6-Eck-Netzen können wir nicht mitliefern, jedoch spricht einiges dafür, dass diese Verallgemeinerungen zutreffen.

Grenze: 2-teilig ---> Kegelschnitt

Aufzählung

I: Bekannte Referenz-6-Eck-Netze aus Kreisen Die meisten bekannten 6-Eck-Netze aus Kreisen nehmen Bezug auf den Artikel

"Uber ein besonderes Dreiecksnetz aus Kreisen" (1938) von Walter Wunderlich a: 2-teilige bizirkulare Quartik und 3 Scharen von doppelt-berührenden Kreisen mit 3 verschiedenen Symmetrien b: Mittelpunktskegelschnitte mit einer Schar doppelt-berührender Kreise und 2 Tangentenscharen

a: Cartesian Oval		a:
b: ellipse		b: hyperbola

II: a: neu von F. NILOV (a) "The tangent lines to a circle counted twice and a parabolic pencil of circles with the vertex at the center of the circle"; b: neu: die Tangenten an einen Mittelpunktskegelschnitt, zweifach gezählt, und das elliptische Kreisbüschel durch die Kegelschnitt-Brennpunkte erzeugen ein 6-Eck-Netz. Im Grenzübergang

entsteht das Beispiel (a) von NILOV.

neu von F. NILOV (a)		b: neu
neu von F. NILOV (b)		b: neu

III: a: neu: 2-teilige bizirkulare Quartik mit 2 Scharen doppelt-berührender Kreise und einem elliptischen Kreisbüschel durch ein Brennpunkt-Paar; die 3 Scharen müssen zu 3 verschiedenen Symmetrien gehören! b: neu: dasselbe mit einem hyperbolischen Kreisbüschel um ein Brennpunkt-Paar; 3 verschiedene Symmetrien.

a: neu:

b: neu:

c: Beispiel neu von F. NILOV (c) Mittelpunkts-Kegelschnitt: eine Schar doppelt-berührender Kreise, eine Tangenten-Schar und eine Geradenschar durch einen Brennpunkt:

neu: von F. NILOV (c) Hyperbel

neu: von F. NILOV (c) Ellipse

d: kein 6-Eck-Netz: Ersetzt man 2 der doppelt-berührenden Kreisscharen einer Quartik oder eines Kegelschnitts durch 2 Kreisbüschel durch oder um die Brennpunkte, so entsteht kein 6-Eck-Netz; auch dann nicht, wenn die 3 Kreisscharen zu verschiedenen Symmetrien gehören! Ein lehrreiches Beispiel hierzu: Ein Mittelpunkts-Kegelschnitt mit einer Tangenten-Schar, den Kreisen des elliptischen Kreisbüschels durch die beiden Brennpunkte und ein Geradenbüschel durch einen der Brennpunkte scheinen ein 6-Eck-Netz aus Kreisen zu erzeugen. Kontrolliert man die 6-Eck-Bedingung rechnerisch, so erweist sich, dass die 6-Eck-Figur sich nur näherungsweise, jedoch nicht exakt schließt. Auch mit dem Auge kann man Unstimmigkeiten nur mit starker Vergrößerung und an den Rändern des Netzes erkennen

Kein 6-eck-Netz aus Kreisen für Ellipsen

kein 6-Eck-Netz: d:

kein 6-Eck-Netz: ersetzt man das elliptische Kreisbüschel durch die Brennpunkte durch das hyperbolische Kreisbüschel, so entsteht ebenfalls kein 6-Eck-Netz !!

Aufzählung 2

IV: bekannt: In diesem Beispiel geht es um 3 Kreisscharen mit einem gemeinsamen Symmetrie-Kreis: alle Kreise sind orthogonal zu einem festen Kreis. (Der übrigens auch imaginär sein kann!) Fügt man zu 2 Scharen von doppelt-berührenden Kreisen mit derselben Symmetrie irgendein hyperbolisches Kreisbüschel mit derselben Symmetrie hinzu, so entsteht ein 6-Eck-Netz aus Kreisen.
Fall IV: Begründung: Projiziert man die Kreise stereo- graphisch auf die Möbiuskugel und projiziert man sie in die Symmetrie-Ebene, so wird die bizirkulare Quartik ein Kegelschnitt, die doppelt-berührenden Kreise werden zu Tangenten und das Kreisbüschel wird ein Geradenbüschel
In allen diesen Fällen kann das hyperbolische Kreisbüschel nicht einfach durch das orthogonale Kreisbüschel ersetzt werden: meist entsteht kein 6-Eck-Netz. Umso bemerkenswerter sind die folgenden Beispiele, die sich als Verallgemeinerung des neuen Netzes (e) von F. NILOV auf bizirkulare Quartiken ergeben. Für die Fälle, in denen kein 6-Eck-Netz entsteht, ist dies ist ein Gegenbeispiel für das von F. NILOV formulierte web transformation problem: es ist nicht in jedem Fall möglich, in einem 6-Eck-Netz aus Kreisen ein beteiligtes Kreisbüschel durch das orthogonale Büschel zu ersetzen! V: a: neu: 2-teilige bizirkulare Quartik, für die ein Brennpunktskreis ein Scheitelkreis ist: 2 Scharen doppelt-berührender Kreise im Inneren der Quartik und ein elliptisches Kreisbüschel durch die auf derselben Seite liegenden Brennpunkte. b: neu: 1-teilige Quartik, 2 Scharen doppelt-berührender Kreise auf einer Seite und das elliptische Kreisbüschel durch die Brennpunkte auf derselben Seite; Voraussetzung: Brennkreis = Scheitelkreis. Dieser Kreis ist Teil des Berührortes!

neu für 2-teilige Quartik

neu für 1-teilige Quartik

c: neu von F. NILOV (e): die im Inneren einer Ellipse liegenden doppelt-berührenden Kreise und das elliptische Kreisbüschel durch die Brennpunkte, vorausgesetzt: der Brennpunktskreis ist ein Scheitelkreis ist: Exzentrizität

.

neu von F. NILOV (e)

neu: dies ist auch ein 6-Eck-Netz, wenn das elliptische Kreisbüschel durch die Parallelen zur Hauptachse ersetzt wird.

Diese Änderung ist auch für die Beispiele oben anwendbar: auch das elliptische Kreisbüschel durch die beiden anderen Brennpunkte der Quartik führen zu 6-Eck-Netzen!

neu: !

VI: neu von F. NILOV (d): "The tangent lines to a parabola counted twice and a parabolic pencil of circles with limiting point at the focus and a arbitrary point on the directrix" Diese Parabel-Beispiel erscheint ziemlich singulär: Alle Versuche , die Leitkreise oder Leitgeraden für andere bizirkulare Quartiken zur Bildung von 6-Eck-Netzen aus Kreisen heranzuziehen, scheiterten.

neu: von F.NILOV (d)

Eine Besonderheit dieses Beispiels: Die Tangenten an die Parabel von einem beliebigen Punkt auf der Leitgeraden aus sind orthogonal: die Leitgerade ist auch orthoptische Kurve der Parabel! Die orthogonalen Tangenten durch den Büschelpunkt auf der Leitgeraden gehören zum Berührort des Netzes.

5.2.

5.3.

5.4.

5.5.

6.

Anhang: SO(3, ℂ) als Möbiusgruppe

Die Möbiusgruppe SO(3,ℂ) und ihre LIE-Algebra - quadratische Vektorfelder und elliptische Funktionen - hermitesche Wurzeln und bizirkulare Quartiken

1. SO(3, ℂ) als Möbiusgruppe
2. Die LIE-Algebra
3. Die Lage von 4 Punkten
4. Brennpunkte der bizirkularen Quartiken
5. Elliptische Differentialgleichung, bizirkulare Quartiken
6. summary

6.1.

SO(3, ℂ) als Möbiusgruppe

Diese Aktivität ist eine Seite des geogebra-books Elliptische Funktionen & Bizirkulare Quartiken & ... (21.06.2023)

Diese Seite ist auch ein Teil des GeoGebrabooks Moebiusebene (29.09.2020)

Im komplexen, 3-dimensionalen Vektorraum

mit nicht-ausgearteter quadratischer Form

wird eine orientierte Basis

mit

ausgewählt, für welche die beiden Produkttabellen gelten sollen:

Die Bezeichnung

ist gewählt, weil sich dieser Vektorraum als Geradenraum des Kugelmodells der Möbiusebene deuten läßt. Siehe zu diesem Übertragungsprinzips das möbiusebene-book-Kapitel

Möbius - Geradenraum Das Lie-Produkt [ , ] wird definiert wie im euklidischen Vektorraum das Kreuzprodukt

:

durch die eindeutig bestimmte Linearform für alle

ist damit nichts anderes als eine Komplexifizierung des euklidischen Vektorraumes. Das Applet oben ist eine reelle Vereinfachung der komplexen Verhältnisse: so kann zB. nicht dargestellt werden, dass jede GERADE in der zu

gehörenden komplexen Ebene die Quadrik

(hier als Ellipse dargestellt) in einem oder in zwei PUNKTEN schneidet - komplex ist jede quadratische Gleichung lösbar! Die PUNKTE auf der Möbiusquadrik

mit Ausnahme von

erreicht man durch die komplexe Parametrisierung:

Es besteht somit eine 1 zu 1 Beziehung zwischen den Möbius-Punkten in

und den PUNKTEN auf

. Die Gruppe der gleichsinnigen Möbiustransformationen erweist sich als isomoph zu

. Mehr noch:

ist die LIE-Algebra dieser Gruppe! Die in den Tabellen verwendeten Vektoren nennen wir ein euklidisches Koordinatensystem von

.

Kurze Deutung der Basis-Vektoren: Die

-Ebene

werde stereographisch auf die Einheitkugel projiziert.

ist eine Tangente an die Einheitkugel in Richtung der

-Achse,

ist eine Tangente in

, ebenfalls in

-Richtung.

ist die Verbindungsgerade dieser beiden Punkte, im Raum also die z-Achse.

ist eine Tangente an die Kugel im Bildpunkt der stereographischen Projektion von z.

ist die Verbindungsgerade der stereographischen Bilder von

und

.

Diese Darstellung der ebenen Möbiusgeometrie hat Nachteile, aber sehr viele Vorteile: Die Kreise als einzelne Objekte sind nicht leicht zugänglich! Dagegen steht die Vielfalt der Deutungsmöglichkeiten der PUNKTE und der Vektoren von

.

Die - projektiv anzusehenden - PUNKTE auf - d.h. es ist - sind die Punkte der Möbusgeometrie.
Die Vektoren mit können als Tangentialvektoren gedeutet werden: ist eine differenzierbare Kurve, so ist tangential an die Kurve. kann reell oder komplex sein. Im 2. Falle werden komplex-analytische Funktionen erfasst!
Die Vektoren können als infinitesimale Möbius-Bewegungen gedeutet werden: die lineare Abbildungen , erklärt durch für alle , wirken auf die Möbiuspunkte auf . Die Bahnkurven der Bewegungen sind je nach Typ des Vektors für reelle Parameter t hyperbolische (), oder elliptische () oder parabolische () Kreisbüschel; für erhält man loxodromische Bahnkurven, das sind die Kurven, welche ein hyperbolisches ( - oder ein elliptisches - ) Kreisbüschel unter konstantem Winkel schneiden.
Die Bewegungen sind Ein-Parameter-Untergruppen der Möbiusgruppe. Solche Bewegungen einer Gruppe werden als W-Bewegungen bezeichnet. Auch hier erhält man eine reelle - - oder eine komplexe - - Gruppe.

Ein lineares Vektorfeld

Die Tangentialvektoren der Bahnkurven einer W-Bewegung auf der Quadrik erzeugen ein lineares Vektorfeld: , mit . Siehe dazu das book-Kapitel Kreisbüschel oder lineare Vektorfelder
Die Vektoren mit können als Geradenvektoren im Kugel-Modell der Möbiusebene gedeutet werden: Die GERADE mit schneidet die Kugel in 2 Punkten. Die GERADE ist die nicht-schneidende Polare dazu!
Von Interesse sind auch die quadratischen Vektorfelder: mit . Die Berechnung ergibt eine elliptische Differentialgleichung , deren Lösungskurven bei speziellen Lagen der Brennpunkte konfokale bizirkulare Quartiken sind; dies ist zB. der Fall, wenn die Brennpunkte auf einem Kreis liegen!
Läßt man oben oder unten im Applet die "Brennpunkte" gegeneinander laufen, so nähern sich die Kreisbüschel und die Bahnkurven den Kreisen von parabolischen Kreisbüscheln!

Frage: Welches sind die Bahnkurven von W-Bewegungen in der Gruppe der LORENTZ-Transformationen? Da

isomorph zur Gruppe der orthochtronen orientierungserhaltenden LORENTZ-Transformationen ist, ist

isomorph zur LIE-Algebra dieser Gruppe!

Dieses Vektorfeld ist mit den oben angegebenen Formeln des Übertragungsprinzips konstruiert: Zu

werden

berechnet. Die Verbindungsgerade im Kugelmodell ist

. Der Richtungsvektor

im Punkt

wird mit Hilfe des linearen Vektorfeldes

berechnet. Dank ge

gebra sind alle komplexen Rechnungen problemlos!

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