Grundsätzlich werden bei [b]Winkelfunktionen [/b]die Argumente im [b]Bogenmaß [/b]angegeben.[br] [math]sin\left(23°\right)=sin\left(\frac{2\pi}{360°}23°\right)\approx sin\left(0,40\right)[/math] [br]Die Frage ist nun, wie der Wert der Sinusfunktion an der Stelle 0,40 ohne Taschenrechner oder Computerprogramm berechnet werden kann:[br] [math]\mathbf{sin\left(0,40\right)=?}[/math][br][br]In der Analysis-Literatur werden [b]sin[/b], [b]cos[/b] und [b]exp [/b]oft auf folgende Weise als Potenzreihen [b]definiert[/b]:[br][br] [math]\mathbf{sin\left(x\right):=\sum_{k=0}^\infty {\left(-1\right)^k \frac{x^{2k+1}}{\left(2k+1\right)!}} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + ... } [/math][br] [math]\mathbf{cos\left(x\right):=\sum_{k=0}^\infty {\left(-1\right)^k \frac{x^{2k}}{\left(2k\right)!}} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + ... } [/math][br] [math]\mathbf{exp (x) = e^x :=\sum_{k=0}^\infty {\frac{x^n}{k!}} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} +\frac{x^4}{4!} + ... } [/math][br][br]Die Potenzreihe haben einen Konvergenzradius von [math]\infty[/math]; deshalb sind diese Funktionen für alle [math]x \in \mathbb{R}[/math] erklärt.[br][br]Mithilfe dieser Definition kann die oben gestellte Frage nach dem Wert von [math]sin\left(0,40\right)[/math] beantwortet werden:[br][math]sin\left(0,40\right) = 0,40 - \frac{0,40x^3}{3!} + \frac{0,40^5}{5!} - \frac{0,40^7}{7!} + ... \approx 0,38942 [/math][br][br][b]Nachteile dieser Definition[/b][br]Man benötigt für diese Definition das Konzept von Reihen, speziell für Potenzreihen, und der Zusammenhang mit der Trigonometrie ist nicht ersichtlich.[br][br][i]Hinweis[/i][br]Bei Funktionen, die mithilfe von Potenzreihen definiert sind, sind die Taylorreihen gleich wie die definierenden Potenzreihen.