Puisque les fonctions tangente et sécante sont des fonctions trigonométriques, elles retournent la longueur d'un segment associé à un arc [math]a[/math] donné sur un cercle de rayon 1. Elles transforment du courbé (des arcs) en du droit (des segments).[br][br]Comme vous le sav(i)ez, en prolongeant le rayon passant par le point [math]P\left(a\right)[/math], ce dernier, en projetant le point [math]P\left(a\right)[/math] sur la tangente au cercle au point [math]P\left(0\right)[/math], produit deux segments particuliers :[br][br][list=1][*]le rayon prolongé (qui [i]sectionne[/i] le cercle), dont la longueur [math]\sec\left(a\right)[/math] est retournée par la fonction sécante; et[/*][*]le segment sur la [i]tangente[/i], dont la longueur [math]\tan\left(a\right)[/math] est en fait la distance entre [math]P\left(0\right)[/math] et la projection de [math]P\left(a\right)[/math] sur la tangente.[br][/*][/list]

La loi des cosinus sphérique, tout comme son pendant dans le plan, met en relation les trois côtés d'un triangle (sphérique) et un angle (sphérique). Sur l'appliquette GeoGebra ci-dessous, l'on considère le triangle sphérique [math]\triangle ABC[/math], dont les trois côtés sont nommés [math]a[/math], [math]b[/math] et [math]c[/math]. De plus, nous connaissons l'angle sphérique [math]A[/math].[br][br]Nous traçons le plan tangent au sommet [math]A[/math], puis nous projetons sur ce dernier le point [math]B[/math] (son image sur le plan est [math]B'[/math]) et [math]C[/math] (son image est [math]C'[/math]). Les points [math]A[/math], [math]B'[/math] et [math]C'[/math] se trouvent sur le plan tangent. En reliant ces points entre eux et avec l'origine [math]O[/math], on forme alors plusieurs triangles plans dont on connaît à peu près tout, comme le montre l'appliquette. En fait, seul le segment plan [math]\overline{B'C'}=d[/math] est inconnu.

Rappelons que les [color=#ff0000]côtés[/color] d'un triangle [i]sphérique[/i], qui sont des arcs de grands cercles sur la sphère unitaire, sont des [color=#ff0000]mesures d'angles[/color]. C'est pourquoi l'on peut calculer, par exemple, [math]\sin(a)[/math] pour le côté [math]a[/math] du triangle et [math]\sin(A)[/math] pour l'angle sphérique au sommet [math]A[/math]. Remarquez que l'on connaît tout de ces deux triangles plans et que leurs côtés se calculent à partir des côtés [math]b[/math] et [math]c[/math] du triangle sphérique sur lequel porte notre étude.[br][br]Dans la fenêtre en haut de l'appliquette, nous avons ouvert les deux triangles [math]\triangle C'OA[/math] et [math]\triangle B'OA[/math] afin qu'ils tiennent côte à côte sur une page.

Le segment plan [math]d=\overline{B'C'}[/math], qui est la seule longueur inconnue, est partagé par les deux triangles plans [math]\triangle AB'C'[/math] et [math]\triangle OB'C'[/math]. Pour bien comprendre d'où viennent les mesures des côtés de ces deux triangles, analysez attentivement l'appliquette ci-dessous.

On applique maintenant la loi des cosinus de la trigonométrie plane [[i]eh oui![/i]] aux deux triangles plans [math]\triangle OB'C'[/math] et [math]\triangle AB'C'[/math] :[br][br][center][math]\begin{align}\boxed{\triangle OB'C'} &&d^2 &= (\sec(b))^2+(\sec(c))^2 - 2 \sec(b) \sec(c) \cos(a)\\ \boxed{\triangle AB'C'} &&d^2 &= (\tan(b))^2+(\tan(c))^2 - 2 \tan(b) \tan(c) \cos(A) \end{align}[/math][/center]Les étapes suivantes sont mécaniques, laborieuses [et ennuyeuses]. On soustrait ensemble les deux équations précédentes pour se débarrasser du [math]d^2[/math] :[br][br][center][math]0 = \underbrace{\left[\left(\sec(b)\right)^2 -\left(\tan(b)\right)^2\right]}_{=1}+ \underbrace{\left[\left(\sec(c)\right)^2 - \left(\tan(c)\right)^2\right]}_{=1} - 2 \sec(b) \sec(c) \cos(a) + 2 \tan(b) \tan(c) \cos(A)[/math][/center]En regardant l'appliquette au début de cette feuille, on retrouve facilement l'identité [math](\sec(x))^2-(\tan(x))^2=1[/math]. L'équation précédente se simplifie ainsi :[br][br][center][math]0 = 2 - 2 \sec(b) \sec(c) \cos(a) + 2 \tan(b) \tan(c) \cos(A)[/math][/center]On divise maintenant les deux côtés de l'équation par [math]2[/math] :[br][br][center][math]0 = 1 - \sec(b) \sec(c) \cos(a) + \tan(b) \tan(c) \cos(A)[/math][/center]et on transforme [math]\sec[/math] et [math]\tan[/math] en fonction de [math]\cos[/math] et [math]\sin[/math] :[br][br][center][math]0 = 1 - \frac{1}{\cos(b)} \frac{1}{\cos(c)} \cos(a) + \frac{\sin(b)}{\cos(b)} \frac{\sin(c)}{\cos(c)} \cos(A)[/math][/center]C'est alors qu'on constate que les deux fractions à droite ont le même dénominateur. Ceci nous permet d'écrire :[br][center][math]0 = 1 + \frac{-\cos(a) + \sin(b) \sin(c) \cos(A)}{\cos(b) \cos(c)} [/math][/center][center][math]\frac{\cos(a) - \sin(b) \sin(c) \cos(A)}{\cos(b) \cos(c)} = 1 [/math][/center][center][math]\cos(a) - \sin(b) \sin(c) \cos(A) = \cos(b) \cos(c) [/math][/center]d'où l'on trouve la [b]loi des cosinus version sphérique[/b] :[br][br][center][math]\boxed{\cos(a) = \cos(b) \cos(c) + \sin(b) \sin(c) \cos(A)} [/math][/center]

La loi des cosinus s'applique évidemment peu importe l'angle sphérique choisi. On a alors trois identités :[br][center][math]\begin{align}\boxed{A}&&\cos(a) &= \cos(b) \cos(c) + \sin(b) \sin(c) \cos(A)\\ \boxed{B}&&\cos(b) &= \cos(a) \cos(c) + \sin(a) \sin(c) \cos(B)\\ \boxed{C}&&\cos(c) &= \cos(a) \cos(b) + \sin(a) \sin(b) \cos(C) \end{align}[/math][/center]Donc, si l'on connaît trois informations (par exemple, deux angles et un côté), on se retrouve avec trois équations et trois inconnues, que l'on pourrait résoudre péniblement afin de calculer les trois autres informations. Nous ne passerons pas par ces quatre (et plus) chemins, mais il est encourageant de constater que l'on pourra résoudre des triangles sphériques sans recourir à de la magie noire (ou si peu)...