Exponentialfunktionen kennenlernen

Teil 1: Beobachten

[list=a][*]Bewege den Schieberegler c und beobachte den Verlauf der Funktion f.[/*][*]Stelle nun den Schieberegler c auf 2 und bewege den Schieberegler a.[/*][/list]

Was fällt dir auf?

Je größer der Startwert c einer Exponentialfunktion der Form [math]f\left(x\right)=c\cdot a^x[/math] ist, …

… desto höher liegt der Schnittpunkt mit der y-Achse. … desto größer ist die Wachstumsrate a. … desto schneller wächst der Graph der Funktion.

Wenn der Betrag von [math]a<1[/math] ist, dann…

… steigt der Graph der Funktion. … fällt der Graph der Funktion. … kann man über den Graphen den Funktion eigentlich gar nichts sagen.

Wenn der Betrag von [math]a>1[/math] ist, dann…

… kann man über den Graphen den Funktion eigentlich gar nichts sagen. … fällt der Graph der Funktion. … steigt der Graph der Funktion.

Übrigens:

Wenn [math]a=1[/math] ist, dann spricht man streng genommen gar nicht von einer Exponentialfunktion.

Teil 2: Zusammenhang zum y-Achsenabschnitt

Klicke im Applet das Kontrollhäkchen „Achsenabschnitt beobachten“ an.[br]Nutze die Schieberegler und beobachte ganz genau.

Was passiert mit dem y-Achsenabschnitt?

Wenn ich nur den Schieberegler a verstelle, dann…

Wenn ich nur am Schieberegler c Einstellungen vornehme, dann…

Teil 3: Nützliche Erkenntnis

Deaktiviere das vorherige Kontrollkästchen wieder und aktiviere das Kästchen „Punkt mit x=1“.[br]Verstelle wieder nacheinander die beiden Schieberegler und beobachte, was mit dem angezeigten Punkt A passiert.

Welche Antwortmöglichkeiten stimmen?[br](Achtung, mehrere möglich)

Die Funktionsgleichung an dieser Stelle lautet [math]f\left(1\right)=c\cdot a^1[/math]. Der x-Wert des Punktes ist immer 1. Der y-Wert des Punktes ist immer halb so groß wie der x-Wert. Der y-Wert des Punktes ist das Produkt aus a und c. Bildet man die Summe aus a und c, so erhält man den y-Wert.

Warum ist das so nützlich?

Wenn man den Punkt an der Stelle 1 gegeben hat oder besonders gut ablesen kann, lassen sich viele Funktionsgleichungen ganz einfach lösen. Dazu in der nächsten Stunde mehr.

Sprinteraufgabe: Definition & Eigenschaften von Exponentialfunktionen

Trage deine wichtigsten Erkenntnisse in deinem Heft zusammen. Hier sollte erklärt werden, was eine Exponentialfunktion ist und welche Eigenschaften sie hat. Ergänze ggfs. eine Skizze.