On veut calculer l'aire d'un triangle à partir des longueurs de ses côtés.[br]Pour cela on note :[br][list][*][math]a>0[/math] la longueur du plus long côté du triangle[/*][*][math]b\le a[/math] et [math]c\le a[/math] les longueurs des deux autres côtés.[br][/*][/list]H est le pied de la hauteur passant par le côté de longueur [math]a[/math]. Comme c'est le côté le plus long, [math]H[/math] est situé à l'intérieur du côté.[br]On note [math]d[/math] la distance de H à une des extrémités du côté de longueur [math]a[/math]. La distance de H à l'autre extrémité sera donc [math]d-a[/math].[br][br]
La hauteur ainsi définie découpe le triangle en deux triangles rectangles dans lesquels nous pouvons appliquer le théorème de Pythagore :[br][br][math]\begin{cases}h^2=b^2-d^2\\h^2=c^2-(a-d)^2\end{cases}\Longrightarrow b^2-d^2=c^2-(a-d)^2=c^2-a^2-d^2+2ad\Longrightarrow a^2+b^2-c^2=2ad \Longrightarrow d=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2a}[/math][br][br]Nous pouvons injecter la valeur exprimée de [math]d[/math] dans l'expression de [math]h^2[/math] :[br][br][math]h^2=b^2-\left(\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2a}\right)^2=\left(b+\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2a}\right)\left(b-\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2a}\right)=\dfrac{1}{4a^2}\left(2ab+a^2+b^2-c^2\right)\left(2ab-a^2-b^2+c^2\right)[/math][br][br]Soit :[br][br][math]h^2=\dfrac{1}{4a^2}\left(\left(a+b\right)^2-c^2\right)\left(c^2-\left(a-b\right)^2\right)=\dfrac{1}{4a^2}\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)\left(c+a-b\right)\left(b+c-a\right)[/math][br][br]Et donc :[br][br][math]h=\dfrac{1}{2a}\sqrt{\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)\left(c+a-b\right)\left(b+c-a\right)}[/math][br][br]Nous pouvons donc en déduire l'aire du triangle [math]A=\frac{a\times h}{2}[/math] :[br][math]{Aire_{Triangle}(a,b,c)=\dfrac{1}{4}\sqrt{\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)\left(c+a-b\right)\left(b+c-a\right)}}[/math]
L'aire d'un triangle de longueurs de côtés [math]a[/math], [math]b[/math], [math]c[/math] est :[br][br][math]{Aire_{Triangle}(a,b,c)=\dfrac{1}{4}\sqrt{\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)\left(c+a-b\right)\left(b+c-a\right)}}[/math]
Regardons cette expression :[br][br][math]Aire_{Triangle}(a,b,c)=\dfrac{1}{4}\sqrt{\underbrace{\left(a+b+c\right)}{\underbrace{\left(a+b-c\right)}{\underbrace{\left(c+a-b\right)}{\underbrace{\left(b+c-a\right)}}[/math][br][br][list][*]Elle ne change pas si on permute [math]a[/math], [math]b[/math] et [math]c[/math].[/*][br][*][math]a+b+c[/math] : Périmètre du triangle.[/*][br][*][math]a+b-c[/math] ; [math]c+a-b[/math] et [math]b+c-a[/math] : Inégalités triangulaires, ces facteurs sont forcément positifs si le triangle est possible.[/*][/list]
Nous avons [math]b=c[/math], et donc l'aire du triangle peut s'écrire :[br][br][math]Aire_{Triangle}(a,b,b)=\dfrac{a}{4}\sqrt{\left(2b+a\right)\left(2b-a\right)}[/math][br]
Nous avons [math]a=b=c[/math], et donc l'aire du triangle peut s'écrire :[br][br][math]Aire_{Triangle}(a,a,a)=\dfrac{\sqrt{3}\ a^2}{4}[/math][br]
Si [math]a[/math] est la longueur de l'hypoténuse nous avons :[math]a^2=b^2+c^2[/math][br][br]Et donc :[br][br][math][br][br]Aire_{Triangle\perp}(b,c)=\dfrac{\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)}}{4}=\dfrac{\sqrt{-a^4+2 a^2 (c^2+b^2)-(b^2- c^2)^2}}{4}=\dfrac{\sqrt{a^4-(b^2-c^2)^2}}{4}\\[br]Aire_{Triangle\perp}(b,c)=\dfrac\sqrt{{(b^2+c^2+b^2-c^2)(b^2+c^2-b^2+c^2)}}{4}=\dfrac{b\ c}{2}[br][/math][br][br]L'aire s'exprime donc, comme attendu :[br][br][math][br]Aire_{Triangle\perp}(b,c)=\dfrac{b\ c}{2}[br][/math][br]