Cálculo para Engenharia
Material produzido pelo professor Azuaite Aramis Schneider como resultado do projeto de pesquisa "Objetos virtuais de aprendizagem na Matemática Superior através do GeoGebra" com objetivo de servir de material de apoio para a disciplina de Cálculo para Engenharia do curso de Engenharia Elétrica do IFPR - campus Paranavaí.
Sommario
- Pré-Cálculo
- Relembrando função afim
- Angry Birds (Jogo Função Quadrática)
- Resolução de problemas: Função quadrática
- Comportamento gráfico da função exponencial (várias bases)
- Função logarítmica: inversa da função exponencial
- Estudo de Caso (Função Exponencial e Logarítmica)
- Calculadora de Potências e Logaritmos
- Gráficos exponenciais
- Gráficos Logarítmicos
- Ciclo Trigonométrico: Graus e Radianos
- Ângulos Notáveis (recurso mnemônico)
- Pontos simétricos na circunferência trigonométrica
- Função Seno
- Gráfico da Função Seno
- Sinal da Função Seno
- Período da Função Seno
- Função Cosseno
- Gráfico da Função Cosseno
- Sinal da Função Cosseno
- Período da Função Cosseno
- Função Tangente
- Gráfico da Função Tangente
- Sinal da Função Tangente
- Período da Função Tangente
- Função Cossecante
- Função Secante
- Função Cotangente
- Características Gráficas da Função Quadrática
- Limites
- Definição precisa de Limite
- Derivadas
- Integrais
Relembrando função afim
Funções do primeiro grau, ou funções afim, são do tipo [math]f(x)=ax+b[/math], com [math]a\ne0[/math].[br][br][math]a[/math] é o coeficiente angular e [math]b[/math] o coeficiente linear.[br][br]Seu gráfico é uma reta com inclinação dada por [math]a[/math] e interseção com o eixo [math]y[/math] dada por [math]b[/math].[br][br]Manipule a construção a seguir e compreenda a relação entre [math]a[/math] e [math]b[/math] e o gráfico da função afim.
Observe também as seguintes características:[br][b]Crescimento[/b]: [math]f[/math] é crescente se [math]a>0[/math], e decrescente se [math]a<0[/math].[br][b]Zero da função[/b]: [math]x=-\frac{b}{a}[/math](interseção da reta com o eixo [math]x[/math])[br][b]Domínio e Imagem[/b]: [math]D\left(f\right)=\mathbb{R}[/math] e [math]Im\left(f\right)=\mathbb{R}[/math].[br]Sempre [b]bijetiva[/b].
Aplicação de função afim
Quando você utiliza um táxi, o valor cobrado no final do trajeto é a soma do valor da “bandeirada” com o valor referente ao número de quilômetros rodados.[br][br]A “bandeirada” é um valor fixo cobrado pelos taxistas que independe de quantos quilômetros você vai rodar. Você pode observar que, ao entrar em um táxi, já está fixado esse valor no taxímetro.[br][br]Você também pode observar que, para cada quilômetro rodado, há um valor fixo. Isto é, a variação do preço é proporcional à distância percorrida.[br][br]Suponha que o valor da bandeirada seja de R$5,00 e que o valor de cada quilômetro rodado seja R$1,20.[br][br]Então, a função que relaciona o número de quilômetros rodados com o valor total a ser pago é uma função afim dada pelo gráfico abaixo (movimente o parâmetro para ver o gráfico ou clique em "Animar"):
O coeficiente angular pode ser calculado quando conhecemos 2 pontos digamos [math](x_0,y_0)[/math] e [math](x_1,y_1)[/math], por[br][br][math]a=\frac{\text{ Variação em }y}{\text{ Variação em }x}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}[/math][br][br]Mas também o coeficiente [math]a[/math] pode ser obtido pelo cálculo da tangente do ângulo [math]\alpha[/math] que a reta forma com o eixo x, ou seja:[br][br][math]a=\tan(\alpha)=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}=\frac{\Delta y}{\Delta x}[/math]
Instruções para o jogo a seguir
1. Clique no botão "Iniciar";[br]2. Em "Coef. Angular", digite o coeficiente angular da função trajetória entre Goku e Freeza;[br]3. Em "Coef. Linear", digite o coeficiente linear da função trajetória entre Goku e Freeza;[br]4. Marque as opções de ajuda, se necessário;[br]5. Clique no botão "Lançar".
Definição precisa de Limite
Definição formal de limite
Seja [math]f[/math] uma função definida em algum intervalo aberto que contenha o número [math]a[/math], exceto possivelmente no próprio [math]a[/math]. Então dizemos que o limite de [math]f(x)[/math] quando [math]x[/math] tende a [math]a[/math] é [math]L[/math], e escrevemos[br][br][math]\lim_{x\rightarrow a}f\left(x\right)=L[/math][br][br]se para todo número [math]\varepsilon>0[/math] houver um número [math]\delta>0[/math] tal que[br]se [math]0<|x-a|<\delta[/math] então [math]|f(x)-L|<\varepsilon[/math].[br][br]Observe que [math]|x-a|[/math] é a distância de [math]x[/math] a [math]a[/math] e [math]|f(x)-L|[/math] é a distância de [math]f(x)[/math] a [math]L[/math].[br][br]A construção a seguir representa essa definição, criando faixas em torno de [math]a[/math] (de tamanho [math]\delta[/math]) e de [math]L[/math] (de tamanho [math]\varepsilon[/math]) :[br]
Ao demonstrar afirmações sobre os limites, pode ser proveitoso imaginar a definição de limite como um desafio. Primeiro ela o desafia com um número [math]\varepsilon[/math]. Você deve então ser capaz de obter um [math]\delta[/math] adequado. Você deve fazer isso para todo [math]\varepsilon>0[/math], e não somente para um valor particular de [math]\varepsilon[/math].[br][br]Imagine uma competição entre duas pessoas, A e B, e suponha que você seja B. A pessoa A estipula que o número fixo [math]L[/math] deverá ser aproximado por valores de [math]f(x)[/math] com um grau de precisão [math]\varepsilon[/math] (digamos [math]0,01[/math]). O indivíduo B então responde encontrando um número [math]\delta[/math] tal que, se [math]0<|x-a|<\delta[/math], então [math]|f(x)-L|<\varepsilon[/math] . Nesse caso, A pode tornar-se mais exigente e desafiar B com um valor menor de [math]\varepsilon[/math] (digamos, [math]0,0001[/math]). Novamente, B deve responder encontrando um [math]\delta[/math] correspondente. Geralmente, quanto menor o valor de [math]\varepsilon[/math], menor deve ser o valor de [math]\delta[/math] correspondente. Se B sempre vencer, não importa quão pequeno A torna [math]\varepsilon[/math], então [math]\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L[/math].[br][br]Assim, na construção acima escolha primeiramente um valor para [math]\varepsilon[/math] e depois ajuste o valor de [math]\delta[/math] para que o trecho em vermelho da função fique compreendido totalmente dentro da faixa estipulada pelo [math]\varepsilon[/math]. Diminua ao máximo os valores de [math]\varepsilon[/math] e o de [math]\delta[/math], dê zoom para verificar que de fato o trecho vermelho fica compreendido entre as faixas (Lembrando que estar da faixa [math]|f(x)-L|<\varepsilon[/math], significa que a distância da função [math]f(x)[/math] e o número [math]L[/math] é menor do que [math]\varepsilon[/math]).[br][br]Esse processo poderia é infinito, sempre é possível encontrar um valor menor. Mas levando em consideração a limitação do aplicativo não conseguimos escolher valores tão pequenos, então a construção é apenas uma representação da definição.[br][br]Texto adaptado de STEWART, James. [b]Cálculo, volume I[/b]. Tradução: Antonio Carlos Moretti, 2009.