[size=85][right][size=85][size=50]Diese Aktivität ist eine Seite des [color=#980000][i][b]geogebra-books[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/fzq79drp][u][color=#0000ff][i][b]Leitlinien und Brennpunkte[/b][/i][/color][/u][/url] ([color=#ff7700][i][b]September 2021[/b][/i][/color])[/size][/size][/right][/size][size=85][size=85][color=#ff7700][color=#000000]Diese [/color][i][b]Kegelschnitte[/b][/i][/color] und ihre Möbius-Transformierten besitzen 2 einfache [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] [color=#00ff00][b]f[/b][/color] und [color=#00ff00][b]f‘[/b][/color], und einen doppelt-zählenden[br][color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color] [math]\infty[/math].[br]Diese 4 [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] kann man auf 2 Weisen zerlegen in 2 Punkte-Paare als die Grundpunkte zweier [color=#ff0000][i][b]Kreisbüschel[/b][/i][/color].[/size][br][br]Zerlegung der [i][b][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/b][/i] in { f f‘ } und { [math]\infty[/math] [math]\infty[/math] } :[br]Dazu gehört das [color=#ff0000][i][b]elliptische[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]Kreisbüschel[/b][/i][/color] durch [color=#00ff00][b]f[/b][/color] und [color=#00ff00][b]f‘[/b][/color] und die [color=#ff0000][i][b]Parallelenschar[/b][/i][/color] zur Hauptachse durch [color=#00ff00][b]f[/b][/color] und [color=#00ff00][b]f‘[/b][/color];[br][color=#0000ff][i][b]möbiusgeometrisch[/b][/i][/color] ist die Hauptachse der [color=#ff0000][i][b]Kreis[/b][/i][/color] durch [color=#00ff00][b]f[/b][/color], [color=#00ff00][b]f‘[/b][/color], [math]\infty[/math].[br]Ausgewählt wird wieder der [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][b] f[/b][/color], die Orthogonalen zur Hauptachse sind die [color=#0000ff][i][b]Leitkreise[/b][/i][/color], also [color=#0000ff][i][b]Leitgeraden[/b][/i][/color].[br]Zu einem Punkt [color=#00ffff][b]q[/b][/color] auf einer [color=#0000ff][i][b]Leitgeraden[/b][/i][/color] konstruiere man den [color=#00ffff][i][b]Berührkreis[/b][/i][/color] in [color=#00ffff][b]q[/b][/color] an die [color=#0000ff][i][b]Leitgerade[/b][/i][/color] durch[color=#00ff00][b] f[/b][/color].[br][/size][size=85]Die [color=#ff0000][i][b]Brenngerade[/b][/i][/color] durch [/size][size=85][size=85][color=#00ffff][b]q[/b][/color][/size] (senkrecht zur [/size][size=85][size=85][color=#0000ff][i][b]Leitgeraden[/b][/i][/color][/size]) und der [color=#ff0000][i][b]Brennkreis[/b][/i][/color] durch [/size][size=85][size=85][color=#00ff00][b]f[/b][/color] und [color=#00ff00][b]f‘[/b][color=#000000], welcher orthogonal zum[br] [/color][/color][/size][/size][size=85][size=85][color=#00ff00][color=#000000][size=85][color=#00ffff][i][b]Berührkreis [/b][/i][/color][/size]ist, schneiden sich in 2 [color=#ff7700][i][b]Punkten[/b][/i][/color] ders zugehörigen [color=#ff7700][i][b]Kegelschnitts[/b][/i][/color]. [br]Einer der beiden [color=#999999][i][b]Winkelhalbierenden-Kreise[/b][/i][/color] der beiden [color=#ff0000][i][b]Brennkreise[/b][/i][/color] berührt den [/color][/color][/size][/size][size=85][size=85][color=#00ff00][color=#000000][size=85][size=85][color=#00ff00][color=#000000][color=#ff7700][i][b]Kegelschnitt[/b][/i][/color][/color][/color][/size][/size] doppelt. [br]Die Spiegelung an diesem vertauscht die [color=#ff0000][i][b]Brennkreise[/b][/i][/color] und [/color][/color][/size][/size][size=85][size=85][color=#00ff00][color=#000000][size=85][color=#00ff00][b]f[/b][/color][/size] und [/color][/color][/size][/size][size=85][size=85][color=#00ff00][color=#000000][size=85][color=#00ffff][b]q[/b][/color][/size].[/color][/color][/size][/size]

[size=85][br]Für die Zerlegung { [color=#00ff00][b]f[/b][/color] [math]\infty[/math] } und { [color=#00ff00][b]f‘[/b][/color] [math]\infty[/math] } erhält man die [color=#ff0000][i][b]Brennstrahlen-Büschel[/b][/i][/color] durch die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] [color=#00ff00][b]f[/b][/color] und [color=#00ff00][b]f‘[/b][/color].[br]Wählt man [color=#00ff00][b]f[/b][/color] als [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color] aus, so sind die [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] des orthogonalen [color=#ff0000][i][b]Kreisbüschels[/b][/i][/color] der [color=#ff0000][i][b]Brennstrahlen[/b][/i][/color] durch [color=#00ff00][b]f‘[/b][/color] [br]die [color=#0000ff][i][b]Leitkreise[/b][/i][/color]. Sei [color=#00ffff][b]q [/b][/color]ein Punkt auf einem solchen [color=#0000ff][i][b]Leitkreis[/b][/i][/color]. Ein [color=#00ffff][i][b]Berührkreis[/b][/i][/color] in [color=#00ffff][b]q[/b][/color] an den [color=#0000ff][i][b]Leitkreis [/b][/i][/color]gehe durch [color=#00ff00][b]f[/b][/color].[br]Der [color=#ff0000][i][b]Brennstrahl[/b][/i][/color] durch [/size][size=85][size=85][color=#00ff00][b]f[/b][/color][/size], der senkrecht zum [color=#00ffff][i][b]Berührkreis[/b][/i][/color] liegt, schneidet den [color=#ff0000][i][b]Brennstrahl[/b][/i][/color] durch [color=#00ff00][b]f‘[/b][/color] und [color=#00ffff][b]q[/b][/color] in einem [br][color=#ff7700][i][b]Punkt[/b][/i][/color] des zugehörigen [color=#ff7700][i][b]Kegelschnitts[/b][/i][/color]. Die Winkelhalbierende der beiden [color=#ff0000][i][b]Brennstrahlen[/b][/i][/color] ist [color=#ff7700][i][b]Kegelschnitt[/b][/i][/color]-[color=#999999][i][b]Tangent[/b][/i][/color]e.[br]Gespiegelt an dieser werden die beiden [color=#ff0000][i][b]Brennstrahlen[/b][/i][/color] und [/size][size=85][size=85][color=#00ff00][b]f[/b][/color][/size] und q vertauscht.[/size]

[br][size=85]Orthogonal zu den [color=#ff0000][i][b]Brennstrahl-Büscheln[/b][/i][/color] sind die [color=#ff0000][i][b]konzentrischen Kreisbüschel[/b][/i][/color] um die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] [color=#00ff00][b]f[/b][/color] und [color=#00ff00][b]f'[/b][/color].[br]Die [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] aus den beiden [color=#ff0000][i][b]Büscheln[/b][/i][/color] schneiden sich in [color=#ff7700][i][b]Punkten[/b][/i][/color] der [color=#ff7700][i][b]Kegelschnitte[/b][/i][/color], die [color=#999999][i][b]Winkelhalbierenden-Kreise[/b][/i][/color][br]liegen symmetrisch zur Hauptachse. "[color=#0000ff][i][b]Leitkreis[/b][/i][/color]" ist nun die Hauptachse, sie dient nicht zur Konstruktion.[br][br]Wie ist die Zuordnung der [color=#ff0000][i][b]Brennkreise[/b][/i][/color], welche sich auf einem Lösungs-[color=#ff7700][i][b]Kegelschnitt[/b][/i][/color] schneiden?[br]Spiegelt man einen [color=#ff0000][i][b]Schnittpunkt[/b][/i][/color] eines [color=#ff0000][i][b]Brennkreises[/b][/i][/color] mit der Hauptachse an einem der [color=#999999][i][b]Scheitel-Tangenten[/b][/i][/color],[br]so erhält man einen [color=#ff0000][i][b]Schnittpunkt[/b][/i][/color] des zugehörigen 2.ten [color=#ff0000][i][b]Brennkreises[/b][/i][/color] mit der Hauptachse.[br]Bei dieser Zuordnung werden die [color=#00ff00][i][b]Punktkreise[/b][/i][/color] in den [color=#00ff00][i][b]Brennpunkten[/b][/i][/color] den [color=#0000ff][i][b]Leitkreisen[/b][/i][/color] zugeordnet und umgekehrt![br][br]Auch diese Konstruktionsvorschrift ist übertragen für jede [color=#ff7700][i][b]bizirkulare Quartik[/b][/i][/color] gültig![/size]