[color=#6aa84f]Lernziele:[br][br][/color][math]\rightarrow[/math][color=#6aa84f] Graphen gebrochen-rationaler Funktionen erkennen und mit Fachbegriffen beschreiben[br][/color][math]\rightarrow[/math][color=#6aa84f] mithilfe von Wertetabellen Graphen gebrochen-rationaler Funktionen zeichnen[br][math]\rightarrow[/math] Asymptoten bestimmen[br][/color][math]\rightarrow[/math][color=#6aa84f] die Definitionsmenge gebrochen-rationaler Funktionen angeben[/color]

[br][br][b]Was ist eine gebrochen-rationale Funktion?[/b][br][br]Du kennst schon die [b]rationalen [/b]Zahlen [math]\mathbb{Q}[/math]. Diese enthalten alle [b]Zahlen, die als Bruch geschrieben werden[br]können[/b], also alle positiven und negativen ganzen Zahlen[math][/math][math]\mathbb{Z}[/math] und alle positiven und negativen Brüche. [br][br]Das „gebrochen-rational" bezieht sich also auf einen [b]Bruch im Funktionsterm[/b]. Doch dieser Bruch muss eine besondere Eigenschaft haben, damit man die Funktion „gebrochen-rational“ nennt.[br][br][br][b][i]Einstiegsaufgabe: [/i][/b][br][br][i]Nimm die Funktionsgleichungen unten in beliebiger Reihenfolge „unter die Lupe“ (d.h. ziehe sie auf die Lupe) und finde heraus, ob sie gebrochen-rational sind oder nicht, indem du noch einmal auf die Funktionsgleichung in der Lupe klickst. [/i][br][br][i]Findest du heraus, was die gebrochen-rationalen Funktionsterme im Gegensatz zu den anderen Funktionstypen gemeinsam haben? [/i][br]

[br][br]Nun fertigen wir einen [color=#0b5394][b]Hefteintrag[/b] [/color]an. Schreibe alles ab, was [color=#0b5394][b]blau [/b][/color]ist. [br][b][i]Fülle die Lücken[/i][/b] mit deinen Erkenntnissen und Beispielen aus der [b]Einstiegsaufgabe[/b].[br][br][br][color=#0b5394][b][u]III. Elementare gebrochen-rationale Funktionen[/u][/b][br][br][u]III.1 Eigenschaften gebrochen-rationaler Funktionen[/u][br][br][br][b]Definition[/b]: Hat der Term einer Funktion eine Variable ________________________________, so nennt man die Funktion [u]gebrochen-rational[/u]. Einen solchen Term nennt man [u]Bruchterm[/u]. [br][br]z.B.: _____________________________________________________________________ ([b][i]Hinweis[/i][/b][i]: Übernimm hier einfach 2-3 gebrochen-rationale Funktionen aus der Einstiegsaufgabe als Beispiele[/i])[br][br]Zahlen, für die der Nenner Null wird, gehören nicht zur Definitionsmenge, weil der Funktionsterm an dieser Stelle nicht definiert ist und ihnen kein Wert zugeordnet werden kann. Man nennt sie [u]Definitionslücken[/u]. [/color]

[b][i]Aufgabe:[/i][/b] S. 61/4[br][br][i]Bestimme die Definitionslücken der folgenden Funktionsgleichungen in deinem Übungsheft und gib die maximale Definitionsmenge [math]D_{max}[/math][/i][i] an. Überprüfe deine Ergebnisse anschließend hier, indem du sie in die Felder eingibst. [/i][br][br]z.B. [math]f\left(x\right)=\frac{2}{3x+9}[/math] [math]\Rightarrow[/math] [math]3x+9=0[/math] [math]\Leftrightarrow[/math] [math]3x=-9[/math] [math]\Leftrightarrow[/math] [math]x=-3[/math] [math]\Rightarrow[/math] [math]D_{max}=\mathbb{Q}[/math] \ {-3}

[b]Graphen gebrochen-rationaler Funktionen[/b][br][br]Du hast schon Graphen gebrochen-rationaler Funktionen gesehen. Klaus dagegen anscheinend nicht. Er[br]hat die Funktionsvorschrift [math]f:x\mapsto\frac{1}{x-0,5}+2[/math] gegeben und dazu eine Wertetabelle erstellt:

Mithilfe derer zeichnet er folgenden Graphen:

[i]Taucht sie in Klaus‘ Wertetabelle auf?[/i][br][br][br][i]a)    [/i][i]Plotte nun selbst die Funktion und beschreibe kurz in deinem Übungsheft den Verlauf der Funktion links und rechts von der Definitionslücke. Nutze dazu die Zoom-Funktion des Plotters. [br]Benenne den Fehler, den Klaus gemacht hat. [/i]

Und weiter geht es mit dem [b][color=#0b5394]Hefteintrag[/color][/b]: [br][br][color=#0b5394][b]Graph:[/b][br]Bei Definitionslücken haben die Graphen gebrochen-rationaler Funktionen so genannte [u]senkrechte Asymptoten[/u]. Das sind Geraden, denen sich der Graph beliebig anschmiegt, ohne sie zu berühren. [/color]

[b][i]Aufgabe: [br][/i][/b][br][i]a)     [/i][i]Setze nun sehr große Werte (1000, 10.000, 100.000) und sehr kleine Werte (-1000, -10.000,[br]100.000) in die Funktionsgleichung von oben, [math]f\left(x\right)=\frac{1}{x-0,5}+2[/math][/i][i], ein, und berechne die Funktionswerte.[br]Notiere dir die Ergebnisse auch in deinem Übungsheft und beschreibe dort (gerne auch stichpunktartig, aber nachvollziehbar) deine Beobachtungen. [/i][br][br][i]b)     [/i][i]Stelle eine Hypothese auf, woran du am Funktionsterm die waagrechte Asymptote erkennen kannst, und schreibe diese ebenfalls in dein Heft. [br][br]Überprüfe deine Hypothese, indem du in die folgenden drei Funktionsgleichungen ebenfalls die Werte +/-[/i][i]1000, +/- [/i][i]10.000 und +/- [/i][i]100.000 einsetzt und einen Bezug zu den Termen herstellst:[/i][br][br][br][i][math]a\left(x\right)=\frac{2}{x}-3,5[/math] [/i][i],          [math]b\left(x\right)=\frac{1}{x+2}+1[/math]  [/i][i]          und        [math]c\left(x\right)=-\frac{2}{4-0,5x}[/math][/i][br][br][br]

Der letzte Teil des [b][color=#0b5394]Hefteintrags [/color][/b]in diesem Abschnitt:[br][br][color=#0b5394][b]Merke[/b]: Den Graphen einer gebrochen-rationalen Funktion nennt man [b][u]Hyperbel[/u][/b]. Er besteht aus zwei nicht[br]verbundenen Ästen, die punktsymmetrisch zum Schnittpunkt der [b]Asymptoten [/b]des Graphen sind.[br][br][br][b]Skizze[/b]: [/color]([i]bitte auch ins Schulheft übernehmen![/i])