[size=150][b][color=#ff0000]FORMULARE IL CONCETTO A PAROLE...[/color][/b][/size][br]Fino ad ora abbiamo introdotto i limiti dal punto di vista intuitivo, affermando che studiano a quale risultato [i]si avvicina[/i] la funzione quando la valutiamo per valori di input sempre più [i]vicini[/i] ad un certo valore [math]\large{x_0}[/math]. In particolare la scrittura [br][br][math]\Large{\lim_{x \to x_0} f(x) = L}[/math][br][br]può essere tradotta[br][br][color=#0000ff]"Quando consideriamo valori di input [math]\large{x}[/math] sempre più vicini ad [math]\large{x_0}[/math], il risultato che otteniamo [math]\large{f(x)}[/math] (l'immagine di [math]\large{x}[/math]) si avvicina sempre di più al valore [math]\large{L}[/math]"[/color][br][br]Prima di proseguire riformuliamo questa frase spostando il centro della nostra attenzione. La domanda a cui risponde il limite è "[b]a cosa si avvicinano i risultati [math]\large{f(x)}[/math][/b] quando consideriamo input sufficientemente vicini ad [math]\large{x_0}[/math]?". [br][br]Incentriamo quindi la nostra formulazione sull'avvicinamento dei risultati [math]\large{f(x)}[/math] ad L.[br][br][color=#0000ff]"Possiamo ottenere valori di output [math]\large{f(x)}[/math] vicini a piacere al valore [math]\large{L}[/math], ci basta considerare valori di input [math]\large{x}[/math] sempre più vicini ad [math]\large{x_0}[/math]"[/color][br][br]In questo capitolo cercheremo di capire come tradurre queste valutazioni qualitative in considerazioni matematiche rigorose. [br][br][size=150][b][color=#ff0000]...PER POI FORMULARLO IN TERMINI MATEMATICI[/color][/b][/size][br]Prima di tutto dobbiamo capire come esprimere matematicamente il concetto di [i]vicinanza[/i] e di [i]avvicinarsi, [/i]e per fare questo usiamo il concetto di [b][color=#ff0000]intorno[/color][/b], cioè di un intervallo centrato in un certo valore.

Il concetto di intorno è essenziale per passare da una descrizione qualitativa ad una prima grafico visiva: al posto di [color=#ff0000]"è abbastanza vicino a [math]\large{L}[/math]"[/color], ad esempio, diremo [color=#ff0000]"è contenuto in un intorno abbastanza stretto di [math]\large{L}[/math]"[/color]. Riformuliamo la definizione di limite usando gli intorni:[br][br][color=#0000ff]"Possiamo ottenere valori di output [math]\large{f(x)}[/math] [/color][color=#ff0000]che rientrano in un intorno di [/color][math]\large{L}[/math][color=#ff0000] stretto a piacere[/color][color=#0000ff], ci basta considerare valori di input [/color][math]\large{x}[/math][color=#ff0000]che stiano entro un intorno abbastanza piccolo di [/color][math]\large{x_0}[/math][color=#0000ff]."[/color][br][br](da notare che il primo intorno riguarda i risultati, e quindi va preso sull'asse [math]\large{y}[/math], ed il secondo riguarda i valori di partenza e quindi va preso sull'asse [math]\large{x}[/math].

A questo punto ci basta ricordare che la "larghezza" di un intorno è legata al suo raggio, cioè alla distanza massima tra il valore preso e quello di riferimento, per scrivere:[br][br][color=#0000ff]"[/color][color=#ff0000]Dato un raggio arbitrariamente piccolo, possiamo ottenere valori di output [/color][math]\large{f(x)}[/math][color=#ff0000] che rientrano in un intorno di [/color][math]\large{L}[/math][color=#ff0000] con quel raggio[/color][color=#0000ff], a patto di [/color][color=#ff0000]considerare valori di input [/color][math]\large{x}[/math][color=#ff0000] che stiano entro un intorno di [/color][math]\large{x_0}[/math][color=#ff0000] con un raggio corrispondentemente piccolo[/color][color=#0000ff]"[/color][br][br][b][color=#ff0000]Concludendo[/color][/b] [math]\Large{\lim_{x \to x_0} f(x) = L}[/math] può essere espresso:[br][br][b]In termini più informali[/b]:[br][color=#0000ff]Se vuoi che il risultato [math]\large{f(x)}[/math] disti meno di [math]\large{\varepsilon}[/math] dal limite [math]\large{L}[/math], trovi sempre un corrispondente raggio [math]\large{\delta}[/math] per cui tutte le [math]\large{x}[/math] che distano da [math]\large{x_0}[/math] meno di [math]\large{\delta}[/math] soddisfano la tua richiesta."[/color][br][br][b]In termini matematici formali[/b]:[br]Il raggio sulle [math]\large{y}[/math] è indicato con la lettera greca [math]\large{\varepsilon}[/math] (epsilon), mentre per quello sulle [math]\large{x}[/math] si usa il simbolo [math]\large{\delta}[/math] (delta).[br][br]A questo punto siamo pronti per tradurre il tutto in simboli matematici:[br][br][math]\Large{\forall\ \varepsilon>0\quad \exists\ \delta>0\quad |\quad x \in I_\delta(x_0)\quad \implies\quad f(x) \in I_\epsilon(L)}[/math][br][br]Siamo quasi arrivati alla definizione matematica vera e propria. Prima di affrontarla utilizziamo quella più informale per visualizzarne graficamente il significato, nell'animazione qui sotto.[br]

[size=150][size=100][justify]Dopo aver visualizzato visivamente il concetto di vicinanza come appartenenza ad un intorno, cerchiamo di connotarlo [b]matematicamente[/b]. Ricordiamo che il concetto di distanza è uno dei primi che abbiamo introdotto in geometria analitica, parlando della distanza tra due punti, e che per farlo abbiamo introdotto l'operatore di valore assoluto; puoi rivedere queste considerazioni in [url=https://www.geogebra.org/m/TQeqvNDZ]questa pagina[/url]; comunque in un primo momento non utilizzeremo i valori assoluti, ed esprimeremo la distanza con una catena di disequazioni. [/justify][/size][b][color=#ff0000][br]UN PRIMO ESEMPIO DI DIMOSTRAZIONE FORMALE DI UN LIMITE[br][/color][/b][/size][br][br]Riprendiamo il limite accennato nella pagina dove abbiamo introdotto il valore assoluto:[br][br][math]\Large{\lim_{\textcolor{blue}{x \to 2}}\textcolor{red}{2x+1} = \textcolor{#ff8800}{5}}[/math][br][br]stiamo dicendo che [br][list][*][b][color=#0000ff]quando le [math]\large{x}[/math] sono abbastanza vicine al 2[/color][/b],[/*][*][math]\textcolor{red}{\large{2x+1}}[/math] [color=#ff0000][b]deve avvicinarsi a [color=#ff7700]5[/color][/b][/color][/*] [/list]traducendo le due frasi in termini matematici otteniamo le seguenti formulazioni matematiche [br][b][color=#ff0000]NOTA:[/color][/b] vengono riportate sia quelle con i moduli che quelle equivalenti senza di essi: dovremo saperci esprimere in entrambi i modi a seconda delle occasioni.[br][table][tr][td][b][center]Formulazione in Italiano[/center][/b][/td][td][center][b]Usando i moduli[/b][/center][/td][td][center][b]Senza moduli[/b][/center][/td][/tr][tr][td][b][color=#0000ff]quando le [math]\large{x}[/math] sono abbastanza vicine al 2[/color][/b][/td][td]Se la distanza tra [math]\large{x}[/math] e [math]\large{\textcolor{blue}{2}}[/math] è minore di [math]\large{\delta}[/math], cioè[br][br][center][math]\large{|x-\textcolor{blue}{2}|\lt\delta}[/math][/center][br][/td][td]Se [math]\large{x}[/math] è in un intorno "stretto" di [math]\large{\textcolor{blue}{2}}[/math], cioè[br] [center][math]\large{\textcolor{blue}{2}-\delta\lt x\lt \textcolor{blue}{2}+\delta}[/math][/center][br][/td][/tr][tr][td][math]\textcolor{red}{\large{2x+1}}[/math] [color=#ff0000][b]deve avvicinarsi a [color=#ff7700]5[/color][/b][/color][/td][td]Se la distanza tra [math]\large{2x+1}[/math] e [math]\large{\textcolor{orange}{5}}[/math] è minore di [math]\large{\varepsilon}[/math], cioè[br][br][center][math]\large{|2x+1-\textcolor{orange}{5}|\lt\varepsilon}[/math][/center][/td][td]Se [math]\large{2x+1}[/math] è in un intorno "stretto" di [math]\large{\textcolor{orange}{5}}[/math], cioè[br] [center][math]\large{\textcolor{orange}{5}-\varepsilon\lt 2x+1\lt \textcolor{orange}{5}+\varepsilon}[/math][/center][/td][/tr][/table] [br](le distanze lungo le x e lungo le y, [math]\large{\delta}[/math] e [math]\large{\varepsilon}[/math], in generale [i]non[/i] sono la stessa, l'importante è che [i]entrambe diventino piccole a piacere[/i], cioè che ci stiamo avvicinando).[br][br]Vediamo che verificare il valore di un limite significa controllare che la disequazione rossa diventa vera ogni volta che è vera quella blu: nel nostro esempio [color=#ff0000]il risultato della funzione si avvicina a 5[/color] ogni volta che [color=#0000ff]la x si avvicina abbastanza a 2[/color]. [br][br]Noi vogliamo che il risultato si avvicini a 5, quindi che la disequazione rossa sia vera:[br][br][math]\textcolor{red}{\Large{5- \varepsilon<\textcolor{black}{2x+1}< 5+ \varepsilon}}[/math][br][br]togliamo 1 a tutti i termini, in modo da eliminarlo dall'espressione dove c'é la x[br][br][math]\textcolor{red}{\Large{4- \varepsilon<\textcolor{black}{2x}< 4+ \varepsilon}}[/math][br][br]a questo punto finiamo di isolare la x dividendo tutti i termini per 2[br][br][math]\textcolor{red}{\Large{2- \frac{\varepsilon}{2}<\textcolor{black}{x}< 2+ \frac{\varepsilon}{2}}}[/math][br][br]Abbiamo ottenuto che [color=#ff0000][b]la disequazione rossa sul risultato della funzione [/b][/color][b]di fatto è equivalente alla [color=#0000ff]disequazione blu sui valori di input[/color][/b], se infatti scegliamo [math]\Large{\delta = \frac{\varepsilon}{2}}[/math] otteniamo[br][br][math]\textcolor{blue}{\Large{2- \delta < x< 2+ \delta}}[/math][br][br]Il che vuol dire: [color=#ff0000]possiamo ottenere che il risultato di [math]\textcolor{red}{\large{2x+1}}[/math] sia vicino a 5 meno di un [math]\Large{\textcolor{red}{\varepsilon}}[/math] piccolo quanto vogliamo[/color], basta che [color=#0000ff]consideriamo delle x vicine a 2 meno di un certo [math]\Large{\delta}[/math][/color], in particolare meno di [math]\Large{\delta = \frac{\varepsilon}{2}}[/math], [color=#0000ff]cioè abbastanza vicine a 2[/color]. [br][br]Alcune note:[br][list=1][*][color=#0000ff]Il [math]\Large{\textcolor{blue}{\delta}}[/math], cioè quanto le x devono avvicinarsi a 2[/color], [color=#ff0000]dipende da [math]\Large{\textcolor{red}{\varepsilon}}[/math], cioè quanto il risultato della funzione deve avvicinarsi al 5[/color] (cioè quanto deve essere piccolo), quindi per essere esatti potremmo scrivere [math]\Large{\textcolor{blue}{\delta}(\textcolor{red}{\varepsilon})}[/math], cioè quanto vale il [math]\Large{\textcolor{blue}{\delta}}[/math] giusto dipende da [math]\Large{\textcolor{red}{\varepsilon}}[/math], è una [i]sua funzione[/i].[br][br][/*][*]Il [i][b]come[/b][/i] dipenda, cioè [b]QUANTO [/b]velocemente il risultato si avvicina a 5 rispetto alle x che si avvicinano a 2, è dato dalla forma della funzione: nel nostro caso l'espressione 2x+1 decide i conti da fare e ci fa trovare che [math]\Large{\textcolor{blue}{\delta}}[/math] deve essere la metà di [math]\Large{\textcolor{red}{\varepsilon}}[/math]).[br][br][/*][*]come anticipato, per effettuare alcune di queste verifiche più complesse può essere utile usare la notazione del valore assoluto, ad esempio per dire che il risultato [math]\large{f(x)}[/math] deve essere vicino a [math]\large{L}[/math] diremo che dista da [math]\large{L}[/math]meno di un raggio [math]\large{\varepsilon}[/math] piccolo a piacere, cioè [math]\large{|f(x)-L|<\varepsilon}[/math]. Puoi ripassare il legame tra il valore assoluto e la distanza tra due quantità a [url=https://www.geogebra.org/m/TQeqvNDZ]questa pagina[/url].[/*][/list]