Consideriamo la seguente funzione:[br][math]h(x)=f(x)\cdot(g(b)-g(a))-g(x)\cdot(f(b)-f(a))[/math][br]Questa funzione è la composizione delle funzioni f(x) e g(x), che verificano le ipotesi 1 e 2, quindi pure h(x) verifica le ipotesi 1 e 2 del Teorema di Cauchy.[br]Si calcola quindi:[br][math]h\left(a\right)=f(a)\cdot(g(b)-g(a))-g(a)\cdot(f(b)-f(a))=g(b)\cdot f(a)\cancel{-g(a)\cdot f(a)}-g(a)\cdot f(b)+\cancel{g(a)\cdot f(a)}=g(b)\cdot f(a)-g(a)\cdot f(b)[/math][br][math]h\left(b\right)=f(b)\cdot(g(b)-g(a))-g(b)\cdot(f(b)-f(a))=\cancel{g(b)\cdot f(b)}-g(a)\cdot f(b)-\cancel{g(b)\cdot f(b)}+g(b)\cdot f(a)=g(b)\cdot f(a)-g(a)\cdot f(b)[/math][br]ovvero[br][math]h(a)=h(b)[/math][br]cioè h(x) verifica anche la terza ipotesi del Teorema di Rolle, per cui:[br][math]\exists x_0\in ]a,b[ \; / \;h'(x_0)=0[/math][br]La derivata di h(x) è:[br][math]h'(x)=f'(x)\cdot(g(b)-g(a))-g'(x)\cdot(f(b)-f(a))[/math][br]e per quanto detto sopra[br][math]h'(x_0)=f'(x_0)\cdot(g(b)-g(a))-g'(x_0)\cdot(f(b)-f(a))=0 \rightarrow f'(x_0)\cdot(g(b)-g(a))=g'(x_0)\cdot(f(b)-f(a))[/math][br]Considerando le ipotesi 2 e 4, ovvero[br][math]g'(x)\neq 0 \;\; \forall x\in ]a,b[[/math][br][math]g(a)\neq g(b)[/math][br]possiamo dividere entrambi i membri e ottenere[br][center][math]\large \frac{f'(x_0)}{g'(x_0)}=\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{g(b)-g(a)}[/math][/center][br]ovvero la tesi del teorema.

Nella seguente attività sono mostrate le funzioni y=f(x) e y=g(x) che nell'intervallo [a,b] verificano tutte le quattro ipotesi del Teorema di Cauchy.[br]In particolare le prime due ipotesi coincidono con quelle del Teorema di Lagrange, ed infatti[br][list][*][math]\exists x_f\in ]a,b[ \;/ f'(x_f)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}[/math][/*][br][*][math]\exists x_g\in ]a,b[ \;/ g'(x_g)=\frac{g(b)-g(a)}{b-a}[/math][/*][/list]ma evidentemente [math]x_f\neq x_g[/math] come discusso in precedenza.[br]A destra è mostrata invece la funzione h(x) come definita nella dimostrazione ed appare evidente come verifichi le ipotesi del Teorema di Rolle dalla cui tesi si completa in modo [b]corretto [/b]la dimostrazione del Teorema di Cauchy. [br]

Nel grafico di sinistra è possibile modificare a e b in modo da variare le condizioni iniziali