[right][color=#980000][i][size=85][color=#980000][size=50]Diese Aktivität ist eine Seite des [b]geogebrabooks [url=https://www.geogebra.org/m/ajzpzrbj]Möbius-Werkzeuge circle tools[/url][/b] (November 2018)[/size][/color][/size][/i][/color][br][/right]Nach [url=https://de.wikipedia.org/wiki/August_Ferdinand_M%C3%B6bius][b]August Ferdinand Möbius[/b] (*1790; 1868 in Leipzig)[/url] ist nicht nur ein [b]Mond-Krater[/b][br][br]oder das [url=https://www.geogebra.org/m/ExGs2nvT][b]Möbiusband[/b][/url] benannt, sondern auch die [b][url=https://de.wikipedia.org/wiki/M%C3%B6bius-Ebene]Möbius-Geometrie[/url][/b]: d.i. die Geometrie der Kreise.[br][br]Kreise in der Ebene können sich [i][b]schneiden[/b][/i] oder [i][b]berühren[/b][/i] oder [i][b]nicht schneiden[/b][/i]. [br]Wenn sie sich schneiden, kann man den [i][b]Winkel[/b][/i] zwischen ihnen messen. [br]In besonderen Fällen können zwei Kreise sich [i][b]orthogonal[/b][/i] schneiden.[br]Nimmt man die [i]Geraden[/i] als [i][b]Kreise[/b][/i] durch einen gedachten Punkt [math]\infty[/math] hinzu, ist man [br]in der [color=#0000ff][b]Möbius-Geometrie[/b][/color] angelangt.[br]Die Beziehungen zwischen Kreisen kann man sich ohne die lästige Unterscheidung zwischen Geraden [br]und Kreisen auf der [color=#0000ff][b]RIEMANNschen Zahlenkugel[/b][/color] verdeutlichen: [br]Kreise sind die Schnitte der Ebenen mit der Kugel.[br] [br]Zwischen den beiden Darstellungen vermittelt die [color=#0000ff][b]stereographische Projektion[/b][/color].[br][br]Man verläßt die [b]EUKLID[/b]ische Welt mit Hilfe der Kreis-Spiegelungen [icon]/images/ggb/toolbar/mode_mirroratcircle.png[/icon], oft als [color=#980000][i][b]Inversion am Kreis[/b][/i][/color] [br]bezeichnet: dabei werden aus Geraden Kreise, die Abstände spielen keine solche Rolle mehr,[br] aus Großem wird winzig Kleines.[br][br][color=#0000ff][b]Nicht-EUKLIDische Fragen[/b][/color] stellen sich:[br][br][list][*]Orthogonale Kreise von einem Punkt aus zu einem vorgegebenen Kreis konstruieren[/*][*]Berühr-Kreise von einem Punkt aus an einen vorgegebenen Kreis legen[/*][*]Symmetrien zu zwei Kreisen konstruieren[/*][*]Berührkreise an zwei vorgegebene Kreise legen[/*][*]wann und wie liegen 4 Punkte auf einem Kreis?[br][/*][/list][br]Ein berühmter Gipfel dieser Fragen ist das [b]Problem von Apollonius[/b]: ([url=https://en.wikipedia.org/wiki/Problem_of_Apollonius]wikipedia/en[/url] - [url=https://de.wikipedia.org/wiki/Apollonisches_Problem]wikipedia/de[/url])[br][br][list][*]Konstruiere alle Kreise, die drei vorgegebene Kreise berühren[/*][/list][br]Im Titelbild dieses [color=#980000][b]ge[/b][/color][icon]/images/ggb/toolbar/mode_conic5.png[/icon][color=#980000][b]gebra-books[/b][/color] ist für eine spezielle Lage der drei Kreise die Lösung angezeigt![br][br][color=#1e84cc][b]Ge[/b][/color][icon]/images/ggb/toolbar/mode_circle3.png[/icon][color=#1e84cc][b]gebra[/b][/color] stellt einige Werkzeuge für Kreiskonstruktionen zur Verfügung. [br]Wir wollen für [b]MÖBIUS[/b]-Geometrie-Interessierte in diesem [color=#980000][b]book[/b][/color] [br]weitere [url=https://www.geogebra.org/m/ajzpzrbj#material/n6v6kpvk]Werkzeuge (test circle tools)[/url] vorstellen.[br][br][size=85][color=#9900ff][u][i][b]Für Experten[/b][/i][/u][/color]: Die Gruppe der gleichsinnigen [b]MÖBIUS[/b]-Transformationen ist isomorph zur Gruppe der [br]gebrochen-linearen Abbildungen der komplexen [b]GAUSSs[/b]chen Zahlenebene: diese Abbildungen sind kreis- und winkeltreu. [br]Für die komplexe Funktionentheorie ist die MÖBIUS-Geometrie nicht ganz uninteressant. [br]Lineare Kreisbüschel und die dazu orthogonalen Kreise können gut mit komplex-analytischen Funktionen realisiert werden.[/size]

[size=85]Die Funktion[/size] [math]z\rightarrow tan\left(z\right)[/math] [size=85]bildet die Achsenparallelen[/size] [math]x=const[/math] [size=85]und[/size] [math]y=const[/math] [br][size=85]auf die Kreise durch bzw. um[/size] [math]+i[/math] [size=85]und[/size] [math]-i[/math] [size=85]ab. [/size]