fotografija preuzeta s [url=https://bit.ly/slika1-]poveznice[/url]
Kvadratna funkcija
Interaktivni udžbenik namijenjen učenicima 2. razreda opće gimnazije. ISHODI: Učenik: - primjenjuje kvadratnu funkciju (MAT SŠ B.2.4., MAT SŠ C.2.2.) - analizira funkciju (MAT SŠ B.2.2.) - analizira grafički prikaz funkcije (MAT SŠ B.2.3., MAT SŠ C.2.1.)
Table of Contents
- Uvod
- Osvrnimo se oko sebe
- Definicija kvadratne funkcije i njen graf
- Kvadratna funkcija
- Graf kvadratne funkcije f(x)=ax^2+bx+c
- Svojstva kvadratne funkcije
- Zadaci za vježbu
- Provjerite svoje znanje!
- Poveznice
- Dodatna literatura
Osvrnimo se oko sebe
Motivacija oko nas
Pogledajte sljedeće fotografije i razmislite što ih povezuje!
The Gateway Arch in St Loius, Mo., USA, Jefferson National Expansion Memorial
Most u luci Sydney
fotografija preuzeta s [url=https://www.futurelearn.com/info/courses/maths-linear-quadratic/0/steps/12131]poveznice[/url]
Paški most
fotografija preuzeta s [url=https://www.nacional.hr/hak-paski-most-i-autocesta-kod-dijela-sv-rok-posedarje-zatvoreni-za-sav-promet/]poveznice[/url]
Košarka
fotografija preuzeta s [url=https://www.instructables.com/The-3-Point-Parabola-Increase-Shot-Efficiency-Usin/]poveznice[/url]
autorska fotografija
Na fotografijama možemo uočiti parabolu. Parabola je graf kvadratne funkcije. U ovoj nastavnoj lekciji naučiti ćemo svojstva kvadratne funkcije.
Kvadratna funkcija
[b]Kvadratna funkcija[/b] je funkcija [math]f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}[/math] oblika [math]f\left(x\right)=ax^2+bx+c[/math] gdje su [math]a[/math], [math]b[/math] i [math]c[/math] realni brojevi i [math]a\ne0[/math].[br][br]Graf kvadratne funkcije naziva se [b]parabola[/b].[br][br][br]Promotri parabole prikazane u apletima. Pomicanjem klizača mijenjaj formulu funkcije i promotri što se događa s parabolama.
Graf kvadratne funkcije [math]f\left(x\right)=ax^2[/math]
Graf kvadratne funkcije [math]f\left(x\right)=ax^2+c[/math]
Graf kvadratne funkcije [math]f\left(x\right)=a\left(x-x_0\right)^2[/math]
Graf kvadratne funkcije [math]f\left(x\right)=a\left(x-x_0\right)^2+y_0[/math]
Zaključimo:
Kada je [math]a>0[/math] otvor parabole okrenut je prema gore (parabola izgleda kao slovo U).[br]Kada je [math]a<0[/math] otvor parabole okrenut je prema dolje (parabola izgleda kao slovo U naopačke).[br]Kako je [math]\mid a\mid[/math] veći tako parabola postaje uža. Vrijedi i obratno.[br]Točka T naziva se tjeme parabole. Njene koordinate su [math]\left(x_0,y_0\right)[/math].[br]Usporedimo li parabole s jednakim [math]a[/math] u prethodnim apletima zaključujemo da je plava parabola nastala translacijom zelene parabole po [i]y[/i] osi, crvena parabola je nastala translacijom zelene parabole po [i]x[/i] osi te je ljubičasta parabola nastala translacijom zelene parabole i po [i]x[/i] i po [i]y[/i] osi. Pomaci su redom bili za [math]c[/math], [math]x_0[/math] i [math]y_0[/math]. U ovisnosti o njihovim predznacima parabola se pomiče gore ili dolje te lijevo ili desno od početnog položaja.[br]Svaka od parabola ima os simetrije pravac [math]x=x_0[/math]. Simetrične su i parabole kojima su koeficijenti [math]a[/math] suprotni brojevi. Os simetrije je tada pravac paralelan sa osi [i]x[/i].[br]Jednadžbu [math]y=a\left(x-x_0\right)^2+y_0[/math] nazivamo tjemeni oblik jednadžbe parabole.[br]
Provjerite svoje znanje!
Pažljivo pročitajte pitanja i odgovorite.[br]
1.
Ako je [math]a<0[/math] ima li ta kvadratna funkcija minimum ili maksimum?
2.
Funkcija [math]f\left(x\right)=ax^2[/math] ima jednu nultočku.
3.
U kojoj točki je tjeme parabole [math]y=a\left(x-1\right)^2[/math]
4.
Uz pomoć slike odgovorite na pitanja.
a)
Koje su koordinate tjemena?
b)
Nultočke ove funkcije su:
c)
Kolika je vrijednost funkcije u tjemenu?
d)
Koje od navedenih tvrdnji vrijede za parabolu sa slike?
e)
Što vrijedi za diskriminantu ove funkcije?
5.
Izračunajte [math]a[/math] za funkciju [math]f\left(x\right)=a\left(x-1\right)^2+3[/math] ako vrijedi [math]f\left(2\right)=10[/math]. Koliki je [math]a[/math]?
Dodatna literatura
[b]Zadaci za vježbu[/b] - [url=https://www.geogebra.org/m/akddz9mh]poveznica[br][br][/url][b]Vježbalice[/b] - [url=https://www.geogebra.org/m/DPPvKbXQ]poveznica[/url][br][br][b]Videolekcije[/b] [i]i-nastava[/i][br][table][tr][td]Kvadratna funkcija i njezin graf, 1. dio [/td][td][url=https://youtu.be/eO0YoRG-ZKM]https://youtu.be/eO0YoRG-ZKM[/url][/td][/tr][tr][td]Kvadratna funkcija i njezin graf, 2. dio[/td][td][url=https://youtu.be/rA1fvzVRIls]https://youtu.be/rA1fvzVRIls[/url][/td][/tr][tr][td]Tjeme, slika i tijek kvadratne funkcije[br][/td][td][url=https://youtu.be/GTm6wzdtBY0]https://youtu.be/GTm6wzdtBY0[/url][br][/td][td][br][/td][/tr][tr][td]Nultočke kvadratne funkcije[/td][td][url=https://youtu.be/_avcEMW7DKI]https://youtu.be/_avcEMW7DKI[/url][/td][/tr][tr][td]Graf kvadratne funkcije f(x) = ax[sup]2[/sup] + bx + c [br][/td][td][url=https://youtu.be/PxbA0F9ZhLo]https://youtu.be/PxbA0F9ZhLo[/url][br][/td][td][br][/td][/tr][tr][td]Određivanje funkcije iz grafa [/td][td][url=https://youtu.be/E7JYF10gqFI]https://youtu.be/E7JYF10gqFI[/url][br][br][/td][/tr][/table][br][b]Edutorij[/b] - [url=https://edutorij.e-skole.hr/share/proxy/alfresco-noauth/edutorij/api/proxy-guest/b9455aeb-16ae-4c3a-a6b1-da720c38c54d/html/4093_Kvadratna_funkcija_i_njezin_graf.html]poveznica 1[/url][br] - [url=https://edutorij.e-skole.hr/share/proxy/alfresco-noauth/edutorij/api/proxy-guest/b9455aeb-16ae-4c3a-a6b1-da720c38c54d/html/4094_Pomaci_grafa_kvadratne_funkcije.html]poveznica 2[br][/url] - [url=https://edutorij.e-skole.hr/share/proxy/alfresco-noauth/edutorij/api/proxy-guest/b9455aeb-16ae-4c3a-a6b1-da720c38c54d/html/4095_Nultocke_i_ekstremi_kvadratne_funkcije.html]poveznica 3[br][/url][url=https://edutorij.e-skole.hr/share/proxy/alfresco-noauth/edutorij/api/proxy-guest/b9455aeb-16ae-4c3a-a6b1-da720c38c54d/html/4095_Nultocke_i_ekstremi_kvadratne_funkcije.html][br][/url]