Come abbiamo visto le funzioni matematiche sono dei particolari tipi di relazioni, che [b]dato un valore di [i]input[/i] permettono di calcolare un risultato o [i]output[/i][/b]. La particolarità delle funzioni consiste appunto nel fatto che per ogni valore di partenza garantiscono [b]l'unicità[/b] di questo risultato, che quindi non è ambiguo.[br][br]Prima di proseguire nello studio delle loro caratteristiche, in questo paragrafo [b]cercheremo di capire cosa servono[/b]: presenteremo brevemente vari esempi di situazioni in cui conoscendo una funzione possiamo risolvere un problema e/o di ottenere importanti informazioni.[br][br]NOTA: lo scopo è quello di [i]osservare[/i] questi esempi e farci un'idea dei vari aspetti che approfondiremo nei capitoli successivi, [i]non di capirli in pieno ed ancora meno saperli risolvere[/i], cosa che impareremo a fare un po' alla volta.[br][br][color=#ff0000][size=150]CALCOLARE DELLE GRANDEZZE IN DETERMINATE CONDIZIONI[br][/size][/color][b][color=#ff7700]Possiamo vedere una funzione come una formula che ci permette di calcolare un risultato corrispondente ad un dato di partenza[/color][/b]. Una delle sue applicazioni più immediate è quindi quella di [b][color=#38761d]permetterci di calcolare determinati valori che ci servono nella risoluzione di un problema[/color][/b]. Vediamo il seguente esempio.[br][br][color=#0000ff][b]ESEMPIO 1:[/b] Un tunnel è costruito con due pareti alte 5 metri ed un tetto dal profilo ellittico, la cui parte centrale è alta sette metri. Ricava la funzione che descrive il profilo del tetto ed utilizzala per verificare se il tunnel è adeguato per il passaggio di un trasporto eccezionale largo 4 metri ed alto 6,3 metri. Considera che affinché il tunnel sia ritenuto adatto deve permettere il passaggio del trasporto con un margine in altezza di 15 almeno centimetri.[/color]

[size=100][color=#ff0000][size=150]CALCOLARE RELAZIONI E FORMULARE PREVISIONI[br][/size][/color][/size][b][color=#ff7700]Una funzione descrive come cambia l'output a seconda l'input di partenza; possiamo dire che descrive l'[i]andamento[/i] della grandezza di output rispetto a quella di input[/color][/b]. L'esempio più immediato è una funzione che calcola una certa grandezza in funzione del del tempo trascorso ([b]andamento temporale[/b]), ma possiamo calcolarla anche partendo da una dimensione spaziale ([b]profilo geometrico[/b], per esempio nell'esempio precedente l'altezza del tunnel era espressa in funzione della distanza x dal centro del tunnel stesso); in generale il risultato può essere calcolato in relazione ad una grandezza qualsiasi (ad esempio l'andamento della pressione di un certo gas rispetto alla sua temperatura). [b][color=#38761d]Se conosciamo questo andamento possiamo allora formulare delle [i]previsioni[/i][/color][/b] sui valori che assumerà la grandezza in determinate situazioni. [br][br]Molto spesso questa relazione non è nota, e si conoscono solo alcuni singoli dati, di solito perché sono stati rilevati con apposite misure. [b][color=#38761d]Una delle attività più utili (e più complesse) relativa alle funzioni consiste proprio nello studiare i dati a disposizione e da questi ottenere l'espressione matematica della funzione che meglio descrive il loro andamento[/color][/b]; una volta ottenuta la si può utilizzare per formulare ipotesi su come evolverà la grandezza stessa.[br][br][color=#0000ff][b]ESEMPIO 2:[/b] Viene studiata una popolazione di pinguini facendo delle rilevazioni periodiche sul numero di individui. Utilizzare i dati a disposizione per ottenere l'espressione della funzione che fornisce la popolazione [math]\large{P}[/math] in funzione degli anni trascorsi [math]\large{a}[/math], ed utilizzarla per fare una previsione della popolazione tra 12 anni.[/color][br][br][table] [tr][br] [td][center]Anni trascorsi[/center][/td][td][center]Popolazione[/center][/td][/tr][br][tr][td][center]1[/center][/td][td][center]1250[/center][/td][/tr][br][tr][td][center]3[/center][/td][td][center]3250[/center][/td][/tr][br][tr][td][center]8[/center][/td][td][center]17000[/center][/td][/tr][br][tr][td][center]12[/center][/td][td][center]???[/center][/td][/tr][/table]

[size=150][color=#ff0000]STUDIARE I DETTAGLI DELL'ANDAMENTO DI UNA GRANDEZZA[br][/color][/size]Quando si conosce l'espressione matematica di una funzione è possibile, utilizzando gli strumenti più avanzati tipici dell'analisi, [color=#38761d][b]studiarne e definirne le caratteristiche principali che ne descrivono il comportamento[/b][/color].[br][br][color=#0000ff][b]ESEMPIO 3:[/b] Si sa che un determinato olio fluidificante ha una viscosità che dipende dalla pressione secondo la legge:[br][math]\Large{V(p) = \left (p-\frac{1}{2} \right)^2 \cdot e^{\left (\frac{1}{2}-p\right)}}[/math][br] [br]Studia gli aspetti principali dell'andamento della viscosità in funzione della pressione.[br][br][/color]Tramite lo [b][color=#38761d]studio di funzione[/color][/b], che impareremo a fare nel corso di analisi, otterremo un grafico approssimativo ma sufficientemente preciso della funzione, che nel nostro esempio è quello riportato sotto.

[size=85][size=100]Osservando il grafico ottenuto possiamo dedurre come varia la viscosità al cambiare della pressione, ad esempio che: [br][list=1][*][color=#ff0000][b]la viscosità ha un valore massimo in corrispondenza di una pressione di 1.5 atmosfere[/b][/color][/*][*][color=#274e13][b]all'aumentare della pressione (parte destra del grafico), la viscosità si stabilizza su un valore sempre più simile ad 1 poise[/b][/color].[/*][/list][/size][size=150][color=#ff0000][br]COMPRENDERE LA RELAZIONE TRA LE GRANDEZZE[br][/color][/size][/size]Come abbiamo detto, la relazione matematica descritta dalle funzioni spesso è il punto di arrivo di un percorso che inizia con dei dati misurati che devono essere interpretati. Oltre a permetterci di formulare delle previsioni sul valore che assumerà la grandezza in esame, [b][color=#38761d]conoscere la sua espressione matematica permette di capire la sua natura, e quindi come funziona e perché[/color][/b].[br][br][color=#0000ff][b]ESEMPIO 4[/b]: Coulomb misurò l'intensità della forza tra due cariche elettriche, e dopo varie misurazioni ottenne la formula[br][br][math]\Large{F = k\frac{q_1 q_2}{R^2}}[/math][br][br]dove k è una costante fisica il cui valore vanne stabilito da Coulomb tramite le misure. [br][br][/color]Questo significava che la forza elettrica è:[br][list][*][u]direttamente proporzionale alle cariche[/u] coinvolte [math]\large{q_1}[/math] e [math]\large{q_2}[/math], ovvero al raddoppiare di una delle cariche raddoppia la forza che si manifesta[/*][*][u]inversamente proporzionale al quadrato della distanza [math]\large{d}[/math] tra le cariche[/u], quindi se la distanza raddoppia la forza diventava un quarto dell'originale.[/*][/list]Questa particolare forma permise di sviluppare la conoscenza delle forze elettriche e [b]di comprendere la loro natura[/b]. Tra le altre cose appare evidente l'analogia con la forza gravitazionale scoperta da Newton, la cui espressione è analoga:[br][br][math]\Large{F = G\frac{m_1 m_2}{R^2}}[/math][br][br]Si erano percorsi così i primissimi passi della strada che porta al tentativo di unificare tutte le forze presenti in natura in un unico modello capace di descriverle tutte, strada a cui non siamo ancora giunti in fondo.