体積と積分

Bunryu Kamimura, Sep 24, 2018

体積を求める時に積分を使うと簡単です。 「こんなものの体積を求めることができるんだ！」と積分の威力を実感できます。 最初に[math]x^3[/math]の微分が[math]3x^2[/math]になる意味を考えます。 そして、面積の積分の意味を考え、球の体積や[math]x^2[/math]の積分をします。 ここから回転体の体積を簡単に求めることもできます。 さらに、応用もやってみましょう。

Table of Contents

  1. 面積を積分する
    1. y=x^nの微分の意味
    2. x^2の積分
    3. 球の体積の積分
    4. 円錐の体積の求め方
    5. 円柱の外の四面体の体積
    6. 三角錐の体積の求め方
  2. 回転体の体積の求め方
    1. 回転体の体積
    2. 回転体　円
    3. 回転体　斜めの三角形
    4. 回転体　線分
    5. 回転体東大
    6. 回転体の体積
    7. 回転体三角形
    8. 扇形の回転体
    9. 球欠＋円錐の体積
    10. 扇形の回転体２
    11. 倍角と半角の関係

1.

面積を積分する

面積を積分すると体積が求まります。 体積を微分すると面積が求まります。

  • 1. y=x^nの微分の意味
  • 2. x^2の積分
  • 3. 球の体積の積分
  • 4. 円錐の体積の求め方
  • 5. 円柱の外の四面体の体積
  • 6. 三角錐の体積の求め方

1.1.

y=x^nの微分の意味

微分は接線の傾きを表す。では体積や面積の場合の微分は何を表しているのか？　例えば、球の体積を微分すると表面積が出る。では円の面積を微分すると？　そして、立方体の体積を微分すると？
x^2とx^3の微分　ａ＝ｄｘを０に近づけてみよう。正方形の場合は周の半分、立方体の場合は表面積の半分になる。
– Bunryu Kamimura

1.2.

–

1.3.

–

1.4.

–

1.5.

–

1.6.

–

2.

回転体の体積の求め方

回転体の体積は積分の公式から簡単に求めることができる。

  • 1. 回転体の体積
  • 2. 回転体　円
  • 3. 回転体　斜めの三角形
  • 4. 回転体　線分
  • 5. 回転体東大
  • 6. 回転体の体積
  • 7. 回転体三角形
  • 8. 扇形の回転体
  • 9. 球欠＋円錐の体積
  • 10. 扇形の回転体２
  • 11. 倍角と半角の関係

2.1.

回転体の体積

円錐台の体積は簡単に求まる。これは積分で求めることができる。母線の式ｆ(ｚ)は中心からの距離を表す。それを二乗してπをかけると面積が求まり、それを積分すれば体積が求まることが確かめられる。
– Bunryu Kamimura

2.2.

–

2.3.

–

2.4.

–

2.5.

–

2.6.

–

2.7.

–

2.8.

–

2.9.

–

2.10.

–

2.11.

–

Information