[table][tr][td][url=https://www.geogebra.org/m/nzfg796n#material/xwempms3][img]data:image/png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAACUAAAA2CAYAAABA3FA2AAAAAXNSR0IArs4c6QAAAARnQU1BAACxjwv8YQUAAAAJcEhZcwAADsQAAA7EAZUrDhsAAACpSURBVGhD7dkxCsJAFEXR/wZiJWJhIW7MUnApriwLEFdhZy0iiN8M2tjdLr94h8wEUt3yQaRhyMiMiH7mpulRv0vU/Gm/dymOohxFOYpyFOUoylGUoygdd9tye0qv1upFTUVenoSjKEdRjqIcRTmKchTlKErX/abgyLvUG3nKs5cn4ijKUZSjKEdRjqIcRRWN6j9six2dxkMu9YiV7t+Ps8l45iJu73V8AE/fHKUjFbbZAAAAAElFTkSuQmCC[/img][/url][/td][td][size=50] this activity is a page of [color=#980000][i][b]geogebra-book[/b][/i][/color][br] [url=https://www.geogebra.org/m/y9cj4aqt][color=#0000ff][u][i][b]elliptic functions & bicircular quartics & . . .[/b][/i][/u][/color][/url][color=#0000ff][u][i][b][/b][/i][/u][/color]([color=#ff7700][i][b]06.02.2023[/b][/i][/color])[/size][/td][/tr][/table][size=85][i][color=#ff00ff][right]translation is in progress[/right][/color][/i][/size]

[size=85][b]W. Wunderlich[/b], "[i]Über ein besonderes Dreiecksnetz aus Kreisen[/i]". Sitzungsber. Akad. Wiss 147 ([b]1938[/b]) 385 - 399.[br][br][b]W. Wunderlich'[/b]s [/size][size=85]special[/size][size=85] [b][i][color=#ff7700]3-web-of-[/color][color=#ff0000]circles[/color][/i][/b] [/size][size=85]is an important partial answer to the probably still unsolved[/size][size=85][br][b]Blaschke - Bol Problem[/b]: [color=#cc0000][i][b]Find all hexgonal 3-webs from circular arcs[/b][/i][/color]. [br][b]W. Blaschke[/b], [i][b]G. Bol[/b][/i] [b]1938[/b] [i]Geometrie der Gewebe[/i] Springer.[br][/size][size=85][br][br]Wählt man die Koordinatenachsen und den Einheitskreis als [/size][size=85][size=85][color=#BF9000][i][b]Symmetrie-Kreise[/b][/i][/color][/size] [br]und platziert man die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] [math]f,-f,\frac{1}{f},-\frac{1}{f}[/math] auf die [math]x[/math]-Achse, so kann man das [i]besondere Dreiecksnetz[/i][br]wie oben darstellen. [i][b]Implizit[/b][/i] besitzt die [color=#ff7700][i][b]bizirkulare Quartik[/b][/i][/color] eine Gleichung des Typs: [br][/size][size=85][b]2[/b]-part [b][i][color=#ff7700]bicircular quartics[/color][/i][/b] possess [b][color=#cc0000]4[/color][/b] pairwise [b][i][color=#0000ff]orthogonal[/color][/i][/b] [b][i][color=#bf9000]symmetry circles[/color][/i][/b] [br]and [b][color=#cc0000]4[/color][/b] [b][i][color=#00ff00]focal points[/color][/i][/b] on one of the [/size][size=85][b][i][color=#bf9000]symmetry circles[/color][/i][/b][/size][size=85].[br]If one chooses the coordinate axes and the unit circle as [/size][size=85][b][i][color=#bf9000]symmetry circles[/color][/i][/b][/size][size=85] [br]and place the [/size][size=85][b][i][color=#00ff00]focal points [/color][/i][/b][/size][math]f,-f,\frac{1}{f},-\frac{1}{f}[/math][size=85] on the [math]x[/math]-axis, [br]the special [/size][size=85][b][i][color=#ff7700]3-web-of-[/color][color=#ff0000]circles [/color][/i][/b]has "[b][i][color=#0000ff]normal-form[/color][/i][/b]", see next applet.[/size][br][size=85] [b][i]Implicitly[/i][/b], the [b][i][color=#ff7700]bicircular quartic[/color][/i][/b] has an [b][i][color=#9900ff]equation[/color][/i][/b] of the type: [/size][list][*][math]\left(x^2+y^2\right)^2-2\cdot A_x\cdot x^2-2\cdot B_y\cdot y^2+1=0[/math][br][/*][/list][size=85]For each [b][i][color=#bf9000]symmetry [/color][/i][/b]there exists a family of [b][i][color=#ff0000]circles[/color][/i][/b] that [b][i][color=#999999]double-touch[/color][/i][/b] the [b][i][color=#ff7700]quartic[/color][/i][/b].[br]For each point exactly 2 circles of such a group pass through, if the point and the circles are on the same side,[br]and the point does not lie on the point of contact. This is the place where the circles touching the quartic twice[br]touch.[br]Three of the arrays lie on the same side of the quartic and create a 6-corner mesh.[/size][br][size=85][br][br]Zu jeder [color=#BF9000][i][b]Symmetrie[/b][/i][/color] existiert eine Schar von [color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color], welche die [color=#ff7700][i][b]Quartik[/b][/i][/color] [color=#999999][i][b]doppelt-berühren[/b][/i][/color].[br]Durch jeden [color=#999999][i][b]Punkt[/b][/i][/color] gehen genau [color=#cc0000][i][b]2[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] einer solchen Schar, falls der [color=#ff0000][i][b]Punkt[/b][/i][/color] und die [color=#ff0000][i][b]Kreise [/b][/i][/color]auf derselben Seite liegen,[br]und der [/size][size=85][size=85][color=#ff0000][i][b]Punkt[/b][/i][/color][/size] nicht auf den [color=#980000][i][b]Berührort[/b][/i][/color] liegt. Das ist der Ort, auf welchem sich die die [color=#ff7700][i][b]Quartik[/b][/i][/color] doppelt-berührenden Kreise[br]berühren.[br][color=#cc0000][i][b]Drei [/b][/i][/color]der Scharen liegen auf derselben Seite der [color=#ff7700][i][b]Quartik[/b][/i][/color] und erzeugen ein [color=#9900ff][i][b]6-Eck-Netz[/b][/i][/color].[br][br]Im Applet unten wollten wir versuchen, eine Art [i][b]Steiner-Kette[/b][/i] von [color=#9900ff][i][b]6-Ecks-Netz-Kreisen[/b][/i][/color] zu erzeugen;[br]also eine Kette von endlich vielen [color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color], die ein [u][i]abgeschlossenes[/i][/u] [color=#9900ff][i][b]Netz[/b][/i][/color] bilden.[br]Man könnte die Kette oben durch Bewegen der [color=#ff0000][i][b]Punkte[/b][/i][/color] [color=#ff0000][b]p[sub]0[/sub][/b][/color] und [color=#ff0000][b]p[sub]1[/sub][/b][/color] auseinenander-ziehen.[br]Dabei wirkt sich hinderlich aus, dass die [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] einer Schar die Ebene doppelt überlagern.[br][br]Die Frage nach [color=#0000ff][i][b]endlichen[/b][/i][/color] [color=#9900ff][i][b]6-Eck-Netzen[/b][/i][/color] aus [color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color] bleibt weiter spannend![br][br]W. Wunderlich, "Über ein besonderes Dreiecksnetz aus Kreisen". Sitzungsber. Akad. Wiss 147 (1938) 385 - 399.[br][br][br]2-part bicircular quartics possess 4 pairwise orthogonal symmetry circles [br]and 4 focal points on one of the symmetry circles.[br]If one chooses the coordinate axes and the unit circle as symmetry circles [br]and place the focal points on the axis, the special triangle mesh[br]as above. Implicitly, the bicircular quartic has an equation of the type: [br][br][br]For each symmetry there exists a set of circles that double-touch the quartic.[br]For each point exactly 2 circles of such a group pass through, if the point and the circles are on the same side,[br]and the point does not lie on the point of contact. This is the place where the circles touching the quartic twice[br]touch.[br]Three of the arrays lie on the same side of the quartic and create a 6-corner mesh.[br][br]In the applet below, we wanted to try to create a kind of Steiner chain of 6-cornered net circles;[br]that is, a chain of finitely many circles that form a closed net.[br]You could draw the chain above by moving the points p0 and p1 apart.[br]This is hindered by the fact that the circles of a chain overlap the plane twice.[br][br]The question of finite 6-corner meshes of circles remains exciting![br][/size]