[right][size=85][size=85][size=85][size=85][size=85][size=85][size=50][size=50]Diese Seite ist Teil des [color=#980000][i][b]GeoGebra-Books[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url]. [color=#ff7700][b](17. Januar. 2021)[size=85][size=85][size=50][size=50][color=#ff7700][size=85][size=85][size=50][size=50][color=#ff7700][color=#000000][br][/color][/color][/size][/size][/size][/size][/color][/size][/size][/size][/size][/b][size=85][size=85][size=50][size=50][color=#ff7700][size=85][size=85][size=50][size=50][color=#ff7700][color=#000000]Diese Seite ist auch eine Aktivität des[/color][/color][/size][/size][/size][/size][size=85][size=85][size=50][size=50][color=#ff7700][color=#000000] [/color][/color][/size][/size][/size][/size][/color][/size][/size][/size][/size][b][size=85][size=85][size=50][size=50][color=#ff7700][b][size=85][size=85][size=50][size=50][color=#ff7700][color=#000000][color=#980000][i][b]Geogebra-Books[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/z8SGNzgV][color=#0000ff][u][b]Sechseck-Netze[/b][/u][/color][/url][/color][/color][/size][/size][/size][/size][/b][/color][/size][/size][/size][/size][/b][/color][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/right][size=85][color=#980000][i][b]Eine generell mögliche Erzeugungsweise von 6-Eck-Netzen aus Kreisen:[/b][/i][/color][br][br]Jede [color=#ff7700][i][b]bizirkulare Quartik[/b][/i][/color], also auch die [color=#ff7700][i][b]Kegelschnitte[/b][/i][/color], besitzt mindestens einen [color=#f1c232][i][b]Symmetriekreis[/b][/i][/color]. [br]Zu einer solchen [color=#f1c232][i][b]Symmetrie[/b][/i][/color] gehört eine Schar [color=#999999][i][b]doppelt-berührender Kreise[/b][/i][/color]. Durch jeden Punkt des Gebietes, [br]welches von den Kreisen überstrichen wird, gehen [i][b]genau zwei[/b][/i] der [color=#999999][i][b]doppelt-berührenden Kreise[/b][/i][/color], [br]wenn man von den [color=#ff0000][i][b]Punkten[/b][/i][/color] auf der [color=#ff7700][i][b]Quartik[/b][/i][/color] und auf dem [color=#f1c232][i][b]Symmetrie-Kreis[/b][/i][/color] absieht.[br]Zusammen mit den [color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color] eines [color=#00ffff][i][b]elliptischen Kreisbüschels[/b][/i][/color] zu 2 zum [color=#f1c232][i][b]Symmetrie-Kreis[/b][/i][/color] symmetrisch liegenden [br]Grundpunkten erhält man ein [color=#ff7700][i][b]6-Eck-Netz[/b][/i][/color].[br]Dem Applet oben liegt eine [color=#ff7700][i][b]Ellipse[/b][/i][/color] der Exzentrizität [math]\varepsilon=\frac{1}{\sqrt{2}}[/math] zugrunde. [br]Die im Inneren [color=#999999][i][b]doppelt-berührenden Kreise[/b][/i][/color] und das angezeigte [color=#00ffff][i][b]elliptische Kreisbüschel[/b][/i][/color] bilden ein [color=#ff7700][i][b]6-Eck-Netz[/b][/i][/color]. [br]Wie angedeutet, ist der Sachverhalt für jeden [color=#ff7700][i][b]Kegelschnitt[/b][/i][/color], allgemein für jede [color=#ff7700][i][b]bizirkulare Quartik [/b][/i][/color]richtig.[br]Für die innen-liegenden [color=#999999][i][b]doppelt-berührenden Kreise[/b][/i][/color] von [color=#ff7700][i][b]Ellipsen[/b][/i][/color] ist uns bisher jedoch nur eine Konstruktion [br]der [color=#999999][i][b]doppelt-berührenden Kreise[/b][/i][/color] durch einen vorgegebenen [color=#ff0000][i][b]Punkt[/b][/i][/color] im Sonderfall [math]\varepsilon=\frac{1}{\sqrt{2}}[/math] bekannt![/size]

[size=85][color=#0000ff][b][u][i]Kurze Begründung für die angegebene Erzeugungsweise:[/i][/u][br][/b][/color]Alle [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] sind orthogonal zum [color=#f1c232][i][b]Symmetrie-Kreis[/b][/i][/color].[br]Projiziert man die [color=#ff7700][i][b]Quartik[/b][/i][/color] und die [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] [i][b]stereographisch[/b][/i] auf die [color=#6d9eeb][i][b]Einheitskugel[/b][/i][/color] und dann orthogonal auf die Ebene des [color=#f1c232][i][b]Symmetriekreises[/b][/i][/color], so werden alle zum [color=#f1c232][i][b]Symmetrie-Kreis[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]orthogonalen Kreise[/b][/i][/color] zu [color=#cc0000][i][b]Geraden[/b][/i][/color].[br]Die [color=#ff7700][i][b]Quartik[/b][/i][/color] wird auf eine [i][b]Quadrik[/b][/i] in der Symmetrie-Ebene abgebildet, und die [color=#999999][i][b]doppelt-berührenden Kreise [/b][/i][/color]werden [i][b][br][color=#666666]Tangenten[/color][/b][/i] an die [i][b]Quadrik[/b][/i]. Die [i][b]Quadrik[/b][/i] liegt nur teilweise innerhalb des [color=#f1c232][i][b]absoluten Kreises[/b][/i][/color].[br]Das [color=#00ffff][i][b]elliptische Kreisbüschel[/b][/i][/color] wird zu einem [/size][size=85][i][b][size=85][color=#cc0000][i][b]Geraden[/b][/i][/color][/size]-Büschel[/b][/i] durch einen [color=#00ffff][i][b]Punkt[/b][/i][/color].[br]Nun greift der Satz von [b]GRAF[/b] u. [b]SAUER[/b]: die [/size][size=85][i][b][size=85][color=#cc0000][i][b]Geraden[/b][/i][/color][/size][/b][/i] sind [color=#666666][i][b]Tangenten[/b][/i][/color] einer Kurve 3. Klasse:[br]sie erzeugen ein [color=#ff7700][i][b]6-Eck-Netz[/b][/i][/color] aus [/size][size=85][i][b][size=85][color=#cc0000][i][b]Geraden[/b][/i][/color][/size][/b][/i]![br]Siehe dazu das Kapitel [math]\hookrightarrow[/math] "[url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#chapter/413711]6-Eck-Gewebe aus Geraden[/url]" in diesem [color=#980000][i][b]geogebra-book[/b][/i][/color]. [/size]

[size=85]Das Bild dieser 2-fachen Projektion liefert eine einfache Erklärung dafür, dass viele der [color=#999999][i][b]doppelt-berührenden Kreise[/b][/i][/color] [br]keine reellen [color=#999999][i][b]Berührpunkte[/b][/i][/color] besitzen - dies trifft auch für die im Äußeren liegenden [color=#999999][i][b]doppelt-berührenden Kreise[/b][/i][/color] zu:[br]ein Großteil der [color=#cc0000][i][b]Quadrik[/b][/i][/color] ([i]Ellipse[/i] oder [i]Hyperbel[/i]?) liegt in der Projektionsebene nicht innerhalb des absoluten Kreises.[br]Die [color=#444444][i][b]Tangenten[/b][/i][/color] streifen den absoluten Kreis nur teilweise, der Berührpunkt liegt außerhalb![/size]