Beweisen Sie nun beide Teile des Schwerpunktsatzes:[br]a) Alle Seitenhalbierenden schneiden sich in einem Punkt [math]\vec{S}[/math].[br]b) Dieser Punkt [math]\vec{S}[/math] teilt die Seitenhalbierenden im Verhältnis 2:1, also [math]\vec{S}=\frac{1}{3}(\vec{A}+\vec{B}+\vec{C})[/math] .[br][br]Hier die dazu notwendigen Schritte (Das Applet oben kann Ihnen dabei helfen):[br][br]1. Geben Sie Geradengleichungen für die zwei Geraden [math]g[/math] und [math]h[/math] an, auf denen die beiden Seitenhalbierenden [br][math]s_a[/math] durch [math]\vec{A}[/math] und [math]\overrightarrow{M_a}[/math] (Gerade [math]g[/math]) und [br][math]s_b[/math] durch [math]\vec{B}[/math] und [math]\overrightarrow{M_b}[/math] (Gerade [math]h[/math]) liegen.[br][br]2. Drücken Sie beide Geradengleichungen nur durch [math]\vec{A}[/math], [math]\vec{B}[/math] und [math]\vec{C}[/math] aus. (Sie dürfen hier nicht den zweiten Teil des Schwerpunktssatzes benutzen, aber Sie wissen etwas über [math]\overrightarrow{M_a}[/math].)[br][br]3. Der gesuchte Schwerpunkt ist der Schnittpunkt der beiden Geraden. Das führt auf eine Gleichung, die nach Umformen nur noch von den beiden Vektoren [math]\overrightarrow{BA}[/math] und [math]\overrightarrow{BC}[/math] abhängt. [br][br]4. Diese Gleichung ist nur für den einfachen Fall erfüllt (s. Applet oben).[br][br]5. Daraus ergeben sich zwei Gleichungen mit den Parametern [math]t[/math] (Parameter der Geradengleichung zu [math]g[/math]) und [math]u[/math] (Parameter der Geradengleichung zu [math]h[/math]). [br][br]6. Die Lösung dieses Gleichungssystems liefert [math]\vec{S}=\frac{1}{3}(\vec{A}+\vec{B}+\vec{C})[/math].[br][br]
1. Für die Geraden [math] g [/math] und [math] h [/math] gilt:[br][math] g: \ \vec X = \vec A + t \cdot \overrightarrow{AM_a} [/math][br][math] h: \ \vec X = \vec B + u \cdot \overrightarrow{BM_b} [/math][br][br]2. Wir drücken [math]\overrightarrow{AM_a}[/math] mit [math]\overrightarrow{A}, \overrightarrow{B}[/math] und [math]\overrightarrow{C}[/math] aus, indem wir nutzen, dass die Seitenhalbierende die entsprechende Strecke in der Mitte schneidet:[br][math] \overrightarrow{AM_a}= \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2} \overrightarrow{BC} [/math][br]Gleiches für [math]\overrightarrow{BM_b}[/math]:[br][math]\overrightarrow{BM_b}=\overrightarrow{BA}+\frac{1}{2} \overrightarrow{AC}[/math][br]Dies wollen wir gleich in die Geradengleichung einsetzten. Damit die Berechnung dann einfacher ist, drücken wir [math]\overrightarrow{AM_a}[/math] und [math]\overrightarrow{BM_b}[/math] nur durch die Vektoren [math]\overrightarrow{BA}[/math] und [math]\overrightarrow{BC}[/math] aus:[br][math]\overrightarrow{AM_a}=-\overrightarrow{BA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}[/math][br][math]\overrightarrow{BM_b}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BA}+ \frac{1}{2} \left( \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow{BA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BC} [/math][br][br]3. Einsetzen in die Geradengleichungen und Gleichsetzen liefert:[br][math] \vec A + t \cdot \overrightarrow{AM_a}=\vec B + u \cdot \overrightarrow{BM_b} [/math][br][math] \Leftrightarrow \vec A + t \cdot \left( -\overrightarrow{BA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC} \right)=\vec B + u \cdot \left( \frac{1}{2}\overrightarrow{BA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BC} \right) [/math][br]Sortieren nach [math]\overrightarrow{BA}[/math] und [math]\overrightarrow{BC}[/math] ergibt:[br][math] \Leftrightarrow \vec A - \vec B - t \cdot \overrightarrow{BA} - \frac{u}{2} \cdot \overrightarrow{BA} =\frac{u}{2} \cdot \overrightarrow{BC} - \frac{t}{2} \cdot \overrightarrow{BC} [/math][br][math] \Leftrightarrow \left( 1- t - \frac{u}{2} \right) \cdot \overrightarrow{BA}=\left ( \frac{u}{2} - \frac{t}{2} \right) \cdot \overrightarrow{BC} [/math][br][br]4./5. Da [math]\overrightarrow{BA}[/math] und [math]\overrightarrow{BC}[/math] nicht parallel sind (Warum?), ist die Gleichung nur erfüllt, wenn [math]\left( 1- t - \frac{u}{2} \right)=0[/math] und [math]\left ( \frac{u}{2} - \frac{t}{2} \right)=0[/math][br][br]6. Lösen dieses Gleichungssystems ergibt: [math]u=t=\frac{2}{3}[/math][br]Als Schnittpunkt [math]\vec S[/math] von [math]s_a[/math] und [math] s_b[/math] erhält man also:[br][math]\vec S = \vec A + \frac{2}{3} \overrightarrow{AM_a} = \vec A + \frac{2}{3} \left( \frac{1}{2} (\vec B + \vec C) -\vec A \right) = \frac{1}{3} \cdot \left( \vec A + \vec B +\vec C \right) [/math][br][br]Aus [math]\vec S = \frac{1}{3} \cdot \left( \vec A + \vec B +\vec C \right) [/math] folgt durch nachrechnen: [br][math] \vec S = \vec C + \frac{2}{3} \overrightarrow{CM_c}[/math][br]Somit liegt [math]\vec S[/math] auch auf der dritten Seitenhalbierenden [math]s_c[/math] des Dreiecks.